Geometria
e medidas
Guia do professor
Experimento
Qual é a área do quadrilátero?
Objetivos da unidade
1. Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área
de quadri­láteros;
2. Analisar situações e fazer escolhas coerentes com a realidade.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Qual é a área
do
quadrilátero?
Guia do professor
Sinopse
Neste experimento, serão apresentadas aos alunos diferentes formas para
o cálculo, algumas vezes aproximado, da área de um quadrilátero. Em
seguida, será pedido que construam um quadrilátero para ser estudado
por alguns colegas de sala. Na etapa final, cada grupo fará aproximações
para a área do polígono que recebeu, utilizando os métodos apresentados
e discutirão qual forma foi a mais eficiente.
Conteúdos
Geometria Plana, Áreas e Perímetros.
Objetivos
1. Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área de quadri­
láteros;
2. Analisar situações e fazer escolhas coerentes com a realidade.
Duração
Uma aula dupla.
.
Introdução
Motivação
Todos os professores de Matemática já devem ter ouvido alguma história
sobre a demarcação de terras no antigo Egito como sendo a origem do que
hoje chamamos de Geometria. A questão era: como restituir as proprie­
dades sobre as áreas plantáveis que ficavam às margens do Rio Nilo após
suas enchentes? As respostas para esse tipo de pergunta são dadas pelo
conceito de área.
Mas será que esse tipo de questão ainda é pertinente, dado o avanço dos
conhecimentos matemáticos e dos recursos tecnológicos disponíveis?
Acreditamos que a resposta seja afirmativa. Os governos utilizam
fotos aéreas para medir a área de terrenos urbanos e rurais e então cal­
cular o imposto que deve ser cobrado do proprietário; os cortadores de
cana‑de‑açúcar precisam estimar a área que cortaram ao final de um dia
de trabalho para calcularem o pagamento; trabalhadores da construção
civil precisam determinar áreas tanto para fazer as edificações quanto para
calcular a quantidade de material a ser comprado para uma reforma; mate­
máticos lidam com o conceito de área em contextos abstratos envolvendo
superfícies quaisquer.
Cada uma dessas situações possui demandas e condições diferentes,
e é importante que os alunos tenham afinidade com o conceito de área
e conheçam diferentes abordagens para situações relacionadas a ele.
O cálculo de áreas não precisa ser encarado, necessariamente, como um
conjunto de fórmulas específicas para cada figura geométrica conhecida.
A grande contribuição que este experimento pretende dar aos alunos, muito
mais do que o domínio de técnicas específicas, é mostrar que existem
diferentes métodos para calcular áreas, precisos ou aproximados, cada
qual com suas vantagens e desvantagens, e que a escolha sobre qual deles
utilizar pode ser feita de maneira inteligente.
Qual é a área do quadrilátero? O experimento
Etapa 1 Opções para calcular a área
do quadrilátero
Nesta primeira etapa, o professor deve apresentar os 3 métodos que serão
explorados neste experimento. Tanto o método da média dos lados opostos
quanto o de contar quadrados não apresentam grandes dificuldades,
porém, o Teorema de Pick é pouco conhecido e receberá mais atenção
neste Guia.
O teorema vale para um polígono qualquer construído com seus vérti­
ces sobre os vértices de uma malha quadriculada. Definiremos o número
de picks (P ) do polígono como sendo P = (1/2) · F + I − 1, onde F
é o número de vértices do quadriculado nas arestas do polígonos e I é
o número de vértices dentro do polígono.
O Teorema de Pick nos diz que, se tomarmos a área de cada quadrado
determinado pela malha como unidade, a área do polígono descrito acima
é numericamente igual ao seu número de picks.
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Demonstração do Teorema de Pick
Para demonstrar esse teorema vamos usar dois resultados: todo polígono
com vértices nos pontos do quadrado pode ser decomposto em triângulos
com seus vértices sobre os vértices do quadriculado e que o número
de picks de uma figura obtida pela justaposição de duas mais simples é
igual a soma dos números de picks delas.
Comecemos pelo segundo resultado. Dado dois polígonos, digamos que
o primeiro possui I1 pontos interiores e F1 pontos na fronteira, portanto,
seu número de picks é P1 = 1/2 · F1 + I1 − 1. Analogamente, o número
de picks no segundo polígono é P2 = 1/2 · F2 + I2 − 1.
Os pontos de fronteira do novo polígono serão justamente os pontos
de fronteira dos polígonos anteriores (F
( 1 + F2 ), menos os que perten­
ciam às arestas justapostas (2k, pois cada um desses pontos foi contado
tanto em F1 quanto em F2 ), menos 2k(pois os pontos destacados na figura
acima também foram contados tanto em F1 quanto em F2 ), portanto,
F3 = F1 + F2 − k − 2.
Finalmente, temos que o número de picks do polígono resultante da
justaposição, por definição, é igual a:
P3 = 1/2 · F3 + I3 − 1
P3 = 1/2 · (F1 + F2 − 2k − 2) + (I2 + I1 + k) − 1
1
1
P3 = /2 · F1 + /2 · F2 − k − 1 + I2 + I1 + k − 1
P3 = (1/2 · F1 + I1 − 1) + (1/2 · F2 + I2 − 1)
P3 = P1 + P2
fig. 1
Ao unir os dois polígonos justapondo uma ou mais de suas arestas,
os pontos que estavam no interior de cada um dos polígonos vão continuar
no interior do novo polígono. Já os pontos de fronteira, que estavam nas
arestas que foram justapostas, passarão a pertencer ao interior do novo
polígono. Portanto, I3 = I2 + I1 + k , onde k é o número de pontos nas
arestas justapostas (os pontos destacados na figura acima não devem ser
contabilizados em k, pois não passaram a fazer parte do interior do novo
polígono).
Qual é a área do quadrilátero? Dessa forma, ao unir dois polígonos com seus vértices sobre os vértices
de um quadriculado, o número de picks do novo polígono será igual à soma
do número de picks dos polígonos iniciais.
Esse resultado nos basta para demonstrar que a fórmula de Pick vale
para triângulos, uma vez que todo polígono pode ser decomposto como
triângulos com seus vértices sobre os vértices do quadriculado (essa afir­
mação não será demonstrada aqui, mas pode ser facilmente constatada
com alguns esboços sobre um papel quadriculado).
Agora, vamos verificar se o número de picks de fato corresponde à área
de um triângulo qualquer.
Dado um triângulo qualquer, podemos completá-lo para um triângulo
retângulo como foi feito com o triângulo ABC a seguir.
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Fechamento
fig. 2
E dado um triângulo retângulo, podemos obter, por justaposição de
dois deste, um retângulo. Logo, basta demonstrar a fórmula de Pick para
retângulos.
Os retângulos, por sua vez, podem ser vistos como uma justaposição
de quadrados unitários, para os quais a verificação de que o número de picks
é numericamente igual a área é elementar. Sendo assim, a fórmula de Pick
vale para qualquer polígono que tenha seus vértices sobre os vértices
de uma malha quadriculada. Particularmente, vale para os quadriláteros!
Etapa 2 Utilização do método
Nesta etapa, os alunos deverão aplicar os métodos apresentados e o
professor deve ficar atento ao trabalho deles para que não cometam erros,
especialmente no uso das malhas quadriculadas.
Qual é a área do quadrilátero? O objetivo deste experimento é confrontar métodos variados, precisos ou
aproximados, para o cálculo da área de um quadrilátero qualquer. É impor­
tante que os alunos percebam que cada método tem suas vantagens e des­
vantagens, e que a escolha deve se basear nos objetivos de quem calcula
e nas informações disponíveis e acessíveis. O experimento Qual o prisma
com maior volume? (disponível no Portal do Professor), por exemplo,
é feito com diferentes métodos para o cálculo da área de triângulos.
Note que nenhum dos 3 métodos sugeridos inicialmente funciona com
precisão para um quadrilátero qualquer, o que pode despertar a seguinte
pergunta entre os alunos: “há alguma fórmula que calcule a área exata
de um quadrilátero qualquer?”. A pergunta é extremamente pertinente
e, de fato, existem fórmulas para isso. Mas não apresentaremos aqui
nenhuma delas, pois as expressões não costumam ser muito simples
e o objetivo deste experimento não é que os alunos se prendam a métodos
específicos.
Contudo, há um detalhe sobre essas possíveis fórmulas que deve ser
lembrado: um quadrilátero não é unicamente determinado pela medida dos
seus quatro lados (imagine um paralelogramo inclinado sem deformação
dos seus lados, apenas dos seus ângulos). Isso significa que, nessa possível
fórmula para o cálculo da área de um quadrilátero, deverão aparecer outros
elementos, como as medidas das diagonais ou dos ângulos.
De fato, a fórmula a seguir, cuja expressão se parece muito com a famosa
fórmula de Heron para o cálculo da área de um triângulo, depende da medida
de dois ângulos opostos entre si (α e β ) e dos quatro lados do quadrilátero
(a, b, c e d e o semi-perímetro p):
AQ =

�

(p − a)·(p − b)·(p − c)·(p − d)−a·b·c·d·cos2 α+β
2
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Variações
Bibliografia
Dentre os métodos apresentados, o Teorema de Pick tem uma característica
muito peculiar: a contagem dos vértices na fronteira e no interior do polí­
gono é discreta, enquanto que a medida da área é uma grandeza contínua.
Essa contradição aparente deve despertar algum interesse nos alunos.
Uma das variações que podem ser feitas a partir desse experimento
é justamente explorar o Teorema de Pick em toda sua plenitude, ou seja,
com polígonos quaisquer, inclusive os côncavos. Os dois sites apontados
na bibliografia trazem explorações bastante completas e interessantes
deste teorema que podem servir inclusive como um roteiro para que os
alunos possam demonstrá-lo.
http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/pick2.html – acessado em 6/6/2009.
Qual é a área do quadrilátero? http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1867
(em inglês).
– acessado em 6/6/2009
http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/treinamento_2006/notas_aula/nota_aula_02.pdf
acessado em 3/9/2009.
–
Lima, E. L. Meu Professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro:
Editora SBM, 1997.
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Ficha técnica
Autor
Leonardo Barichello
Projeto gráfico
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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