Identificação
Unidade Curricular
Cálculo Infinitesimal I
Curso
Física
Grau
Licenciatura
Nível
100
Código
M111
Tipo
Obrigatória
ECTS
7,5
Departamento
Matemática
Objectivos
•
Proporcionar aos alunos conhecimentos básicos sobre a análise em uma variável real, incluindo o cálculo
diferencial e integral das funções reais de variável real.
Competências Principais
•
•
•
Competências de resolução de problemas.
Compreensão teórica.
Competências matemáticas
Avaliação
Exame final.
Programa Resumido
Sucessões e séries numéricas; critérios de convergência. Limites e continuidade de funções reais de variável real. Cálculo
diferencial; derivadas; extremos locais; primitivação. Cálculo integral; integral de Riemann e as suas propriedades básicas;
métodos de integração; mudança de variável; integrais impróprios. Séries de Taylor. As funções exponencial e
trigonométricas e as suas inversas.
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1
Planeamento (exemplo)
Objectivos de Aprendizagem
Actividades
Horas
T
TP
EP
Total
3
2
7
12
O corpo ordenado completo dos números reais. Q e o seu
compementar são densos em R. Subconjuntos de R
definidos por inequações. Revisão sobre propriedades
fundamentais das seguintes funções e sua representação
gráfica: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante,
cossecante. Funções trigonométricas inversas.
1,5
1
3,5
6
Sucessões de números reais. Convergência de sucessões
de números reais. Álgebra de limites. Sucessões de
Cauchy e sucessões limitadas. Toda a sucessão de Cauchy
é convergente. Convergência de sucessões monótonas
limitadas. Subsucessões. Teorema de BolzanoWeierstrass.
3
2
7
12
Séries de números reais. Critério de convergência de
Leibniz e de Dirichlet. Critérios de convergência para
séries positivas: comparação, raiz e quociente.
Convergência absoluta e condicional. Produto de Cauchy
de séries absolutamente convergentes.
4,5
3
10,5
18
Limites de funções. Álgebra de limites. Limites no
infinito e limites infinitos. Continuidade num ponto:
definição de Cauchy e equivalência à definição de Heine.
Álgebra das funções contínuas. Continuidade da função
composta.
3
2
7
12
Teorema do valor intermédio e alguns corolários.
Teorema de Weierstrass da existência de máximo e de
mínimo de uma função contínua definida num intervalo
compacto
(i.e.
fechado
e limitado).
Função
uniformemente contínua. Toda a função contínua num
intervalo compacto é uniformemente contínua.
3
2
7
12
A derivada de uma função de variável real. Interpretação
geométrica da derivada. Interpretação cinemática da
derivada. Uma função derivável é contínua. Derivadas
laterais. Funções deriváveis. Derivada de uma função.
Regras de derivação. Derivação da função composta.
Derivação da função inversa.
3
2
7
12
Teorema de Lagrange do valor médio. Teorema de Rolle.
Derivadas de ordem 2 e superiores. Funções de classe C¹.
Regra de L’Hopital. Teorema de Darboux.
3
2
7
12
Linguagem da teoria dos conjuntos. Funções. Composição Aulas
de funções. Funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Sessões Problemas
Função inversa. Revisão sobre propriedades fundamentais Estudo Privado
das seguintes funções e sua representação gráfica: função
módulo, funções potências de expoente inteiro, funções
polinomais de grau 1 e 2, homografias, Função
exponencial real. Função logaritmo real. Funções
potências de expoente real e argumento positivo.
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P
1
Valores extremos. Funções monótinas. Assímptotas
verticais e horizontais. Concavidade e pontos de inflexão.
3
2
7
12
Primitiva de uma função. Primitivação por partes.
Primitivação por substituição. Substituições especiais.
Primitivação de funções racionais.
3
2
7
12
Definição e noção intuitiva do integral de Riemann.
Propriedades elementares do integral de Riemann. As
funções contínuas definidas num intervalo compacto são
intergáveis à Riemann. Fórmula de mudança de variável.
Teorema fundamental do cálculo. Teorema do valor
médio para o integral.
3
2
7
12
Integrais
impróprios.
Integrais
absolutamente
convergentes. Critério do integral de convergência de
séries. Cálculo de comprimentos, áreas e volumes usando
o integral de Riemann numa variável.
3
2
7
12
Funções logaritmo, arco seno, arco cosseno e arco
tangente como integrais. Polinómio de Taylor com resto
de Lagrange e com resto integral. Série de Taylor de uma
função. Série de Taylor de algumas funções: polinomiais,
exponencial, logaritmo, seno, cosseno, potência de
expoente real, arco tangente.
3
2
7
12
Tópicos adicionais
3
2
7
12
34,5
34,5
132.5
202,5
Revisão de testes e exames
Totais
42
28
0
Bibliografia
•
•
R. A. Adams, Calculus: A Complete Course, 5ª edição, Addison-Wesley Longman 2003.
Marsden, J. Calculus I-III, 2nd ed., Springer-Verlag, 1985
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