Escola Politécnica de Pernambuco
Departamento de Ensino Básico
Capítulo 01
Introdução a Probabilidade
Prof. Sérgio Mário Lins Galdino
http://epoli.pbworks.com/
Bibliografia
Bibliografia :
• Spiegel, M. Probabilidade e Estatística.
Mc Graw Hill,1993.
Experimentos Aleatórios


Experimentos que mesmo sendo realizados inúmeras
vezes sob condições idênticas não apresentam o
mesmo resultado.
Exemplos: Ao se jogar uma moeda { Cara, Coroa } ou
dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Espaços amostrais



Conjunto de todos resultados possíveis de um
experimento.
Cada resultado é chamado de ponto amostral.
O espaço amostral pode ser representado
graficamente como abaixo.

(0,1)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
Os pontos representam as possibilidades ao se
jogar uma moeda duas vezes.Sendo 0
equivalente a cara e 1 coroa.
Eventos


Evento é um subconjunto do espaço
amostral. Consiste em um elemento do
espaço.
Pode se chamar evento simples ou evento
elementar quando consiste em um único
ponto do espaço.
Conceito de Probabilidade

A chance de um evento ocorrer ou não
pode ser medida, calculada. Geralmente
um numero entre 0 e 1 e atribuído, sendo
respectivamente a certeza que não
ocorrerá e a certeza de que ocorrerá.
Conceito de Probabilidade




Existem 2 formas de se obter tal estimativa:
Processo clássico: se divide o número (h) de maneiras
diferentes em que o evento pode ocorrer pelas (n)
maneiras possíveis, todas igualmente prováveis.
Processo da freqüência: após um número grande de
repetições (n), se observa que ocorreram (h) eventos
desejados.
Para os dois casos a probabilidade e ( P 
h
).
n
Axiomas da probabilidade

Para cada evento A associamos um número real P(A)
que é a função de probabilidade do evento, desde que
sejam obedecidos os seguintes axiomas:

Axioma 1 – Para todo evento: P(A) ≥ 0

Axioma 2 – Para o evento certo S : P(S) = 1

Axioma 3 – Para um número qualquer de eventos
mutuamente exclusivos:
P(A1  A2  A3   An )  P(A1 )  P (A2 )  P(A3 )   P(An )
Alguns teoremas importantes

Teorema 1:
A1  A2


, então
P(A1)  P(A2)
Teorema 2:
Para todo evento 0 ≤ P(A) ≤ 1
Teorema 3:
P(  ) = 0, evento impossível tem probabilidade 0.
Alguns teoremas importantes

Teorema 4: Se A' e complemento de A então:
P(A')  1 - P(A)
Teorema 5: Se A  A1  A2  An e A1 , A2 , , An
são eventos mutuamente excludentes, então:

P(A) P(A1 )  P(A2 )  ...  P(An )
Alguns teoremas importantes

Teorema 6:
Sendo A e B dois eventos quaisquer, então:
P(A B)  P(A) P(B) – P(A B)

Teorema 7:
Para dois eventos A e B quaisquer:
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B')
Alguns teoremas importantes

Teorema 8: Se A deve resultar em um dos eventos
excludentes A1, A2, … An , então:
P(A) = P(A ∩ A1) + P(A ∩ A2)+... + P(A ∩ An)
Atribuições de Probabilidade



Dado um espaço amostral composto por tais eventos
elementares A1, A2, ..., An. Então P(A1 ) + P(A2) +...
+P(An) = 1
Se admitirmos probabilidade igual para todos os
eventos podemos representar da seguinte forma:
P(Ak) = 1 / n , k = (1, 2,..., n)
Se A for formado por h desses eventos, então:
P(A) = h/n
Probabilidade Condicional
• Considerando A e B serem dois eventos tal
que P(A) > 0.
• Denote P(B | A) ser a probabilidade da
ocorrência de B, na hipótese de A ter
ocorrido.
• Como A ocorreu, A passa a ser o novo espaço
amostral. O que leva à definição:
P(A  B)
P(B| A) 
P(A)
Teoremas Sobre Probabilidade
Condicional
• Teorema 1:
Para três eventos quaisquer A1, A2, A3:
P(A1∩A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3| A1 ∩A2)
• Teorema 2:
Se um experimento A deve ter como resultado
um dos eventos mutuamente excludentes A1, A2, ...,
An então:
P(A) = P(A1)P(A | A1)+P(A2)P(A | A2)+...+P(An)P(A | An)
Eventos Independentes
• Se a probabilidade de ocorrência de B não é
afetada pela ocorrência de A, dizemos que A e
B são eventos independentes
P(A B)  P(A) P(B)
Teorema (ou regra) de Bayes
• Sejam A1, A2, ... An eventos mutuamente
excludentes, onde um dos eventos deve
ocorrer. Então, se A é um evento, temos:
P(Ak )P(A| A k )
P(Ak | A) 
 P(Aj )P(A| A j )
Análise Combinatória
• Método de contagem usado para calcular o
número de possibilidades existentes em
problemas de grande espaço amostral.
Princípio fundamental da contagem
•
Se determinado acontecimento ocorre em n
etapas diferentes, e se a primeira etapa pode
ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda
de k2 maneiras diferentes, e assim
sucessivamente, então o número total T de
maneiras de ocorrer o acontecimento é dado
por:
T  k1  k 2  k3  k n
Arranjos Simples (Permutações)
•
Arranjos simples são agrupamentos de
elementos distintos, que a ordem faz a
diferença, por exemplo, os números de três
algarismos formados pelos elementos {1,2 e
3} são:
n!
P
n r
–
–
(n – r)!
Como no exemplo a ordem r = n ( 0! = 1)
3!
Logo:
6
3 P3 
(3 – 3)!
{ 312, 321, 132, 123, 213, 231 }
Combinação simples
•
Quando a ordem não importa, mas cada elemento
pode ser contado apenas uma vez (Exemplo: 123 =
321 = 132 = 213 ...)
n
n!
   n Cr 
r!(n - r)!
r
•
O número de combinações costuma-se designar o
coeficiente binomial pelo fato de aparecerem no
desenvolvimento binomial
Coeficientes Binomias
Os números da formula de cominações são frequentemente
chamados de coeficientes binomiais porque eles surgem na
expansão binomial
 n  n1  n  n1 2
 n n
( x  y)  x    x y    x y      y
1
 2
 n
n
n
Aproximação de Stirling para n!
• Quando n é grande demais, n! pode ser
calculado com uma boa precisão usando a
aproximação de Stirling:
n! 2    n  n e
n n