Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa
ESTÁTICA
Forças e Equilibrio
Ano Lectivo 2009-2010
Mónica Cruz
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
3. Resultante de um Sistema de Forças Concorrentes
Duas forças F1 e F2
concorrentes num ponto,
podem ser substituídas
por uma única força R
que tenha o mesmo
efeito sobre esse ponto.
A força R é designada
por Resultante e obtémse somando as forças F1
e F2.
x
F1
O
R
F2
y
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
3.1 Lei do Paralelogramo
Lei do Paralelogramo
A resultante de duas forças complanares não paralelas é dada pela
diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas.
x
A

F1

O
R

F2
y
C
B
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Analiticamente a adição das forças F1 e F2 faz-se recorrendo ao cálculo vectorial:
(1)
F1  F2  R
Considerando o referencial ortonormado xy
representado na Figura onde o eixo x é
paralelo à direcção da força F1 tem-se:
F1

O
F2
Sendo o eixo x paralelo a F1 tem-se:
(3)
F1X  F1
F1y  0
R

F1x  F2 x  R x
F1y  F2y  R y
A

( 2 )
x
y
C
B
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Substituindo ( 3 ) em ( 2 ) obtém-se:
A
F1
(na direcção y)

O
F2
Elevando ao quadrado os dois membros das equações ( 4 ):
F12  F22 cos2   2F1F2 cos  R 2 cos2 
R

F2 sen  Rsen 
(na direcção x)

F1  F2 cos   R cos 
(4)
x
C
y
F22 sen2  R 2 sen2
Adicionando ordenadamente as equações anteriores tem-se:
F12  F22 cos2   F22 sen2  2F1F2 cos  R 2 cos2  + R 2 sen2
Simplificando:
(5)
F12  F22  2F1F2 cos  R 2
B
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Considere-se agora o triângulo OAB cujos lados OA e AB são conhecidos. Aplicando o
Teorema dos Cosenos para a determinação do lado OB obtém-se:
2
2
2
( 6 ) OB  OA  AB  2OAAB cos(180  )
cos(180  )   cos 
Como
x
A
a equação ( 6 ) pode simplificar-se:
2
( 7 ) OB  OA  AB  2OAAB cos

O
Ora sendo,
OB  R
F2
OA  F1
AB F2
R
B

2

2
F1
C
y
a equação ( 7 ) pode reescrever-se na seguinte forma:
(8)
R 2  F12  F22  2F1F2 cos
Logo pode concluir-se da igualdade das equações ( 5 ) e ( 8 ) que a diagonal do
paralelogramo desenhado com as forças nos lados adjacentes é a resultante dessas
forças em intensidade, direcção e sentido.
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
3.2 Triângulo de Forças
Princípio do Triângulo de Forças
Desenhando duas forças complanares de forma sequencial, isto é, fazendo
coincidir o final da primeira força com o início da segunda, o vector que une as
extremidades livres das forças representa a resultante.
x
x
A
A


F1
F1
O
R

B
O

F2
C
C
y
y
A
F2
F1
O
R


F2
R
B
B
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
3.3 Polígono de Forças
O Principio do Triângulo de Forças pode ser generalizado para
qualquer número de forças concorrentes num ponto, passando a
designar-se Polígono de Forças, já que a figura geométrica que se
obtém não é um triângulo mas sim um polígono.
O Triângulo de Forças não é mais que um caso particular do Polígono de Forças quando se
pretende calcular a resultante de duas forças concorrentes.
F1
Fn
O
F2
F3
F4
R
F1
F1
F2
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
F1
Fn
R12
O
O
F2
R123
F3
R1234
F4
R
R1...n
Quando se pretende calcular a resultante não de duas mas de n forças
a)
concorrentes num ponto, recorrendo à regra do paralelogramo, teria
que se desenhar n-1 paralelogramos que correspondem ao cálculo de
n-1 resultantes, n-2 são resultantes parciais e só a que se obtém no
último paralelogramo corresponde ao pretendido, ou seja, à resultante
do sistema de forças.
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
F2
F1
O
R12
F3
R123
R123
R1234
F4
R1...n
R
Fn
Com o Método do Polígono de Forças, as forças
são desenhadas sequencialmente, ou
b)
utilizando uma expressão anglo-saxónica “head to tail”, e a resultante do sistema de
forças obtém-se desenhando a linha que une a extremidade inicial da primeira força à
extremidade final da última força.
Com este método obtém-se o resultado pretendido sem necessidade do cálculo de
resultantes parciais.
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
F1
Fn
O
F2
F3
F4
Plano das Acções –
Regra do Paralelogramo
Plano das Forças –
Polígono de Forças
R
Fn
R12
O
R12
O
F2
R
R1234
F3
R123
R123
F3
F4
F2
F1
F1
R1234
F4
R1...n
R1...n
R
Fn
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Exercício de Aplicação
Calcule a resultante do sistema de forças representado na figura:
a) No plano das acções – Paralelogramo de Forças
b) No plano das forças – Polígono de Forças
F2
F1
45º
30º
30º
F3
F1=4.5kN
F2=5.0kN
F3=3.0kN
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças
R1-2
F2
F1
30º
F1=4.5kN
F2=5.0kN
F3=3.0kN
45º
30º
F3
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças
R1-2
R1-2-3
F1
30º
F1=4.5kN
F2=5.0kN
F3=3.0kN
45º
30º
F3
F2
ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio
Resolução do Exercício - Polígono de Forças
R1-2-3
R1-2
F3
F2
R1-2
F2
F1
30º
R1-2-3
45º
30º
F3
F1