Cálculo Diferencial e Integral IV Integrais Duplas Professora: Maria Beatriz Menezes Castilhos f :IR2IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] y d R c a b x f 0 em R Q = { (x,y,z) | (x,y) R e 0 z f(x,y)} Volume de Q = V = ? Q z y R x Partição de R y d R yj y yj-1 y2 y1 c a x1 x2 xi-1 xi x Rij (xij , yij) b x n m i 1 j1 f ( x ij , yij )A m,n V = lim z Q f (xij , yij) Vij y R (xij , yij ) x Integral Dupla de f sobre o retângulo R n m i 1 j1 f ( x ij , yij )A m,n lim f ( x , y ) dA R V f ( x , y)dA R Cálculo da Integral Dupla Integrais Iteradas b d f ( x , y ) dA f ( x , y ) dy dx R a c b f ( x , y)dx dy c a d Integrais Duplas em Regiões Genéricas y 1) Regiões inscritas em faixas verticais y = g2(x) D 0 a y = g1(x) b x D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } Integrais Duplas em Regiões Genéricas y 1) Regiões inscritas em d faixas horizontais D x = h2(y) c 0 x = h1(y) x D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } Propriedades das Integrais Duplas [ f ( x , y ) g ( x , y )] dA D f ( x , y ) dA g ( x , y ) dA D D cf ( x , y ) dA c f ( x , y ) dA D D f ( x , y ) dA f ( x , y ) dA f ( x , y ) dA D D1 D2 Massa e Centro de Massa de uma Lâmina (x,y) : densidade no ponto (x,y) D : local ocupado pela lâmina m : massa da lâmina m ( x , y)dA D Centro de Massa : (X,Y) onde X = My/m e Y = Mx/m para : M x y( x, y)dA D e M y x( x, y)dA D