Cálculo Diferencial e Integral IV
Integrais Duplas
Professora:
Maria Beatriz Menezes Castilhos
f :IR2IR contínua no
retângulo
R
=
[a,b]
x
[c,d]
y
d
R
c
a
b
x
f  0 em R
Q = { (x,y,z) | (x,y)  R e 0  z  f(x,y)}
Volume
de
Q
=
V
=
?
Q
z
y
R
x
Partição de R
y
d
R

yj
y yj-1
y2
y1
c




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
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





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
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





a x1 x2






xi-1 xi
x
Rij
(xij , yij)




b
x
n
m
i 1
j1
f ( x ij , yij )A


m,n 
V = lim
z
Q
f (xij , yij)
Vij
y
R
(xij , yij )
x
Integral Dupla de f sobre o
retângulo R
n
m
i 1
j1
f ( x ij , yij )A


m,n 
lim
f
(
x
,
y
)
dA


R
V   f ( x , y)dA
R
Cálculo da Integral Dupla
Integrais Iteradas
b d

f
(
x
,
y
)
dA

f
(
x
,
y
)
dy
dx



 

R
a c
b


    f ( x , y)dx  dy

c
a
d
Integrais Duplas em Regiões Genéricas
y
1) Regiões inscritas
em faixas verticais
y = g2(x)
D
0
a
y = g1(x)
b
x
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
Integrais Duplas em Regiões Genéricas
y
1)
Regiões
inscritas
em
d
faixas horizontais
D
x = h2(y)
c
0
x = h1(y)
x
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
Propriedades das Integrais Duplas
[
f
(
x
,
y
)

g
(
x
,
y
)]
dA


D
f
(
x
,
y
)
dA

g
(
x
,
y
)
dA


D
D
cf
(
x
,
y
)
dA

c
f
(
x
,
y
)
dA


D
D
f
(
x
,
y
)
dA

f
(
x
,
y
)
dA

f
(
x
,
y
)
dA



D
D1
D2
Massa e Centro de Massa de uma
Lâmina
(x,y) : densidade no ponto (x,y)
D : local ocupado pela lâmina
m : massa da lâmina
m   ( x , y)dA
D
Centro de Massa : (X,Y)
onde X = My/m e Y = Mx/m
para :
M x   y( x, y)dA
D
e
M y   x( x, y)dA
D