Integrais Impróprias
Everton Lopes
Integrais Impróprias
• Quando estudamos integral definida
b
 f(x)dx
a
trabalhamos com uma função y = f(x) definida em
um intervalo limitado [a,b] e supomos que esta é
contínua por partes, sendo que os pontos de
descontinuidade são “do tipo finito”, ou seja, os
limites laterais nestes pontos existem. Em
outras palavras, a função y = f(x) é limitada em
[a, b ]
Integrais Impróprias
Por exemplo, podemos calcular a integral, onde a
função é dada pelas sentenças
1
 x , se 1  x  2

f ( x )  x - 1 , se 2  x  5
2 , se 5  x  7


6
y
5
4
3
Neste caso, basta dividir a integral
em 3 outras integrais,
-1
ou seja,
7
2
5
7
1
1
2
5
 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
2
1
x
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
Integrais Impróprias
;
;
• Vamos agora estender o conceito de integral
definida para dois outros casos:
1º Caso: O intervalo de definição da função não é
limitado, ou seja, é do tipo ]-∞ , b] , [a , +∞[ , ou
mesmo ]-∞ , +∞ [
Neste caso, teremos as integrais

 f ( x ) dx
a
b

-
-
 f ( x ) dx
 f ( x ) dx
2º Caso: A função f tem uma “descontinuidade
infinita” em [a,b] .
Integrais Impróprias
• 2º Caso:
• 1º Caso:
y
y

x =1

1


x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x
1-t



Em ambos os casos, chamamos as integrais
b
 f ( x ) dx
a
de Integral Imprópria.
Integrais Impróprias
1º Caso: Definição de integral imprópria em
intervalos não limitados:
t
a) Se existe a f(x)dx para cada número t > a,

t
então definimos
lim  f(x)dx
 f(x)dx
=
y
a
desde que o limite exista
( seja um número real)
t   a
1
x
3
6
9
12
15
Integrais Impróprias
b
b) Se
 f(x)dx
existe para cada número t < b,
t
então definimos
b
b
-
t
 f(x)dx  t lim
 f(x)dx
 -
desde que o limite exista (seja um número real)

As integrais impróprias
 f(x)dx
a
b
e
 f(x)dx são chamadas
-
convergentes se os limites correspondentes existem,
e divergentes se os limites não existem.
Integrais Impróprias

a
c) Se
 f(x)dx
-
definimos
e
 f(x)dx
são convergentes, então
a

a

-

a
 f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx
No item c) qualquer número real a pode ser usado.
Exercícios em sala
Integrais Impróprias
2º Caso: Definição de integral imprópria em funções ilimitadas
lim f ( x )  
a) Se f é contínua em [a , b [ e
b
t
a
t b a
 f(x)dx  lim  f(x)dx
x b
então
desde que o limite exista.
A figura ao lado mostra uma função
f: [0, 2[ → R ilimitada
14
y
12
10
2
Neste caso temos  f ( x )dx
0
desde que o limite
t
 l i m  f(x)dx
t 2 -
0
exista (finito)
8
reta x =2
6
reta x
4
2
x
1
t
2
3
Integrais Impróprias
b) Analogamente ao caso a), se f é contínua em ]a, b] e
lim f ( x )  
x a
b
, então
b
 f(x)dx  l i m  f(x)dx
ta
a
t
desde que o limite exista (finito).
A integral imprópria
b
 f(x)dx
a
é chamada convergente se o limite
t
lim  f(x)dx
-
tb a
correspondente existir, e divergente se este limite
não existir.
Integrais Impróprias
c) Se f tiver uma descontinuidade em c, a < c < b ,
c
e as integrais
 f(x)dx e
b
a
c
 f(x)dx
então definimos
forem convergentes,
8 y
7
6
b
c
b
 f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx
a
a
reta x = 4
5
4
3
c
2
1
x
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7