Aula 8. Inferência para várias
populações normais. ANOVA
Capítulo 15, Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição
Análise de variância
(The ANalysis Of VAriance = ANOVA)
Experimentos com um fator.
http://www.uwsp.edu/psych/stat/12/anova-1w.htm
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html
amostra 1
X 1 , X 2 , , X n
população 1
x1 , x2 , , xn
X i independentes
X i  N ( 1 ,  2 )
μ1 e μ2 são iguais?
amostra 2
população 2
y1 , y2 , , ym
Y1 , Y2 , , Ym
Yi independentes
Yi  N (  2 ,  2 )
amostra 1
X 1 , X 2 , , X n
(sub)população 1
x1 , x2 , , xn
X i independentes
X i  N ( 1 ,  2 )
amostra 2
(sub)população 2
y1 , y2 , , ym
Y1 , Y2 , , Ym
Yi independentes
Yi  N (  2 ,  2 )
amostra 2
(sub)população 3
z1 , z2 , , z p
Z1 , Z 2 ,  , Z p
Yi independentes
Yi  N (  3 ,  2 )
μ1, μ2 e μ3 são iguais?
Ideia básica: Vamos estimar a variância 𝜎2 por dois métodos diferentes: um que não
depende da veracidade de 𝐻0 e outro que depende. Depois comparamos as duas
estimativas. Se os grupos tiverem todos a mesma média (𝐻0 verdadeiro) as duas
estimativas deverão ser próximas, senão deverão diferir significativamente.
Sentre grupos
Decomposição de soma de quadrados total
k
ni
STotal   ( yij  y )
2
i 1 j 1
y1 j
k
k
ni
  ni ( yi  y )   ( yij  yi ) 2
2
i 1
i 1 j 1
j  1,, n1
y1
y2 j
j  1,, n2
y2
y
y3 j
j  1,, n3
y3
y
Decomposição de soma de quadrados total
ni
k
k
k
ni
STotal   ( yij  y )   ni ( yi  y )   ( yij  yi ) 2
2
i 1 j 1
2
i 1
i 1 j 1
k
S Group   ni ( yi  y ) 2
i 1
k
ni
S Erro    ( yij  yi ) 2
i 1 j 1
STotal  SGroup  S Erro
Height of tomato plants (in inches)
y11
y21
y31
y12
y22
y32
Treatments
1
2
3
74 76 87
68 80 91
77
y13
Total
Mean
k
ni
219 156 178
73 78 89
553
79
k
k
ni
STotal   ( yij  y )   ni ( yi  y )   ( yij  yi ) 2
2
i 1 j 1
2
i 1
i 1 j 1
Group
Total
-5
-11
-2
-3
1
8
12
25
121
4
9
1
64
144
368
73
-6
36
78
-1
1
89
10
100
3
108
2
2
2
200
310
Erro
79
310
1
-5
4
-2
2
-2
2
1
25
16
4
4
4
4
58
1. Yij  N ( i ,  )
Model
2
i  1,  , k
j  1,  , ni
2. Yij são i.i.d
y1 j
Y1 j  N (1 ,  2 )
j  1,, n1
Y2 j  N (2 , 2 )
j  1,, n2
Y3 j  N (3 , 2 )
j  1,, n3
j  1,, n1
y2 j
j  1,, n2
y3 j
j  1,, n3
Model
1. Yij  N (  i ,  2 )
1. Yij  i   ij
i  1,  , k
i  1, , k
j  1, , ni
j  1,  , ni
2. Yij são independentes
2.  ij são i.i.d .
 ij  N (0,  2 )
i     i
i  1,, k
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘
𝐴: caso contrário
1. Yij     i   ij
i  1, , k
j  1,  , ni
2.  ij são i.i.d .
 ij  N (0,  2 )
𝐻0 : 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑘
𝐴: caso contrário
Inferência
k
ni
k
k
ni
STotal   ( yij  y )   ni ( yi  y )   ( yij  yi ) 2
2
2
i 1 j 1
i 1
i 1 j 1
STotal  SGroup  S Erro
1. Se modelo vale e a hipótese nula é verdadeira:
1  2    k
k
S Group
2

2
n
(
y

y
)
 i i
i 1
2
  k21
2. Se modelo vale
k
S Erro

2

ni
 ( y
ij
i 1 j 1

2
3. Então
F
 yi ) 2
  N2  k
SGroup /(k  1)
S Erro /( N  k )
N  n1  n2    nk
 Fk 1, N k
Tabela de Análise de Variância
causas de graus de
soma
variação liberades quadrados
quadrados
médios
entre
grupos
k -1
SSGroup
MSSGroup=SSGroup/(k-1)
dentro
grupos
N-k
SSErro
MSSErro=SSErro/(N - k)
total
N -1
SSTotal
F-estatística
nível
descritivo
MSSGroup
MSSErro
p
Tabela de Análise de Variância
causas de graus de
soma
variação liberades quadrados
entre
grupos
3 -1=2
310
dentro
grupos
7-3=4
58
total
7-1=6
368
quadrados
médios
310 / 2 =155
58 / 4 = 14.5
F-estatística
155
=10.7
14.5
nível
descritivo
0.025
Exemplo (Exemplo 15.2 Bussab&Morettin)
Uma escola analisa seu curso por meio de um questionário com 50 questões sobre
diversos aspectos de interesse. Cada pergunta tem uma resposta, numa escala de 1 a
5, em que a maior nota significa melhor desempenho. Na última avaliação, usou-se uma
amostra de alunos de cada período, e os resultados estão na tabela abaixo.
Período
Manhã
Tarde
Noite
4.2
2.7
4.6
4.0
2.4
3.9
3.1
2.4
3.8
2.7
2.2
3.7
2.3
1.9
3.6
3.3
1.8
3.5
4.1
3.4
2.8
Existem as indicações estatísticas para dizer que o desempenho no curso tem uma
influencia de período de aplicação do curso?
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html