Integração Numérica




A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar
fórmulas de integração que sejam exatas para
polinômios de grau ≤ 2n - 1.
Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que
os pontos de integração sejam igualmente espaçados.
Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a
área do trapézio seja a mais próxima possível da área
sob a curva.
Graficamente:
C
.
a
.
D
.
.
A
b
B



Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho
é determinar uma fórmula do tipo:
De modo que ela seja exata para polinômios de
grau ≤ 3.
Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de
variável de x para t, no intervalo [-1,1],
representando em:


I
II
III
IV
Dizer que a fórmula é exata para polinômios de
grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para
Assim:


Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não
linear de ordem 4:
Cuja solução é:

Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b],
precisamos entender como x se relaciona com t:
x
(1,b)
b
(-1, a)
-1

a
1
t
Para relacionar x com t, posso definir uma reta
passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então,
tomando a equação da reta, temos que:

Para relacionar x com t, posso definir uma reta
passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então,
tomando a equação da reta, temos que:

De modo que:

Assim:

Exemplo: Calcular
usando a
quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

Exemplo: Calcular
usando a
quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

Fórmula Geral
n
i
ti
Ai
1
1
0
2
2
2;1
±0,5774
1
3
2
3;1
0
±0,7746
0,888
0,555
4
3;2
4;1
±0,3400
±0,8611
0,652
0,348
5
3
4;2
5;1
0
±0,538
±0,906
0,568
0,478
0,237
6
4;3
5;2
6;1
±0,239
±0,661
±0,932
0,468
0,361
0,171