Estimação
(adapdado de Levine)
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8-1
Fórmula geral
Intervalo de confiança =
Estimativa puntual ±
(Valor crítico) x (Erro padrão)
Usaremos valores críticos de Z ou de t para a média
opulacional
Usaremos valores críticos de Z para a proporção
populacional
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8-2
Intervalos de confiança
Intervalos de
confiança
Média
populacional
σ
conhecido
Proporção
populacional
σ
desconhecido
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8-3
Intervalo de confiança para μ
(σ conhecido)
σ
X  Z/2 .
n
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8-4
Encontrando o valor crítico, Zα/2


Considere um intervalo de confiança
1    0.95 ou   0.05
de 95%:
α
 0.025
2
Zα/2  1.96
α
 0.025
2
Z units:
Zα/2 = -1.96
X units:
Lower
Confidence
Limit
0
Point Estimate
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Zα/2 = 1.96
Upper
Confidence
Limit
8-5
Níveis de confiança e alfa

Os níveis de confiança mais comuns são
90%, 95%, and 99%
Nível de
confiança
alfa
90%
95%
99%
0.10
0.05
0.01
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Zα/2 value
1.645
1.96
2.58
8-6
Intervalos e níveis de confiança
Sampling Distribution of the Mean
1 
/2
Intervals
extend from
X  Zα / 2
/2
x
μx  μ
x1
σ
x2
n
to
X  Zα / 2
σ
n
Confidence Intervals
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(1-)x100%
of intervals
constructed
contain μ;
()x100% do
not.
8-7
Exemplo

Uma amostra de 11 circuitos apresenta
resistência média de 2.20 ohms. Sabe-se
de ensaios passados que a distribuição se
aproxima da normal, com desvio padrão de
0.35 ohms.

Determine um intervalo de 95% de
confiança para a resistência média da
população.
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8-8
Solução
(continued)
X  Zα/2
σ
n
 2.20  1.96 (0.35/ 11)
 2.20  0.2068
1.9932  μ  2.4068
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8-9
Intervalos de confiança
Intervalos de
confiança
Média
populacional
σ
conhecido
Proporção
populacional
σ
desconhecido
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8-10
Quando não conhecemos o
desvio padrão populacional
(continued)


Use a distribuição t de Student
Estimação do intervalo de confiança:
X  tα / 2
S
n
(onde tα/2 é o valor crítico da distribuição t com n -1 graus de
liberdade e uma área igual a α/2 em cada cauda)
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8-11
Exemplo
DCOVA
Uma amostra aleatória de n = 25 tem média Xbarra = 50 e desvio padrão S = 8. Forme um
intervalo de confiança de 95% para μ.

G.L. = n – 1 = 24
X  t α/2
S
tα/2  t 0.025  2.0639
 50  (2.0639)
n
8
25
46.698 ≤ μ ≤ 53.302
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8-12
Intervalos de confiança
Intervalos de
confiança
Média
populacional
σ
conhecido
Proporção
populacional
σ
desconhecido
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8-13
Intervalo de confiança para a
proporção populacional, π
p(1  p)
p  Zα/2
n
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8-14
Exemplo

Uma amostra aleatória de 100
pessoas mostrou que 25 são
canhotas.

Forme um intervalo de confiança
para a proporção populacional de
canhotos
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8-15
Solução
p  Z α/2 p(1  p)/n
 25/100  1.96 0.25(0.75)/100
 0.25  1.96 (0.0433)
0.1651  π  0.3349
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8-16