Incomensurabilidade entre
o lado e a diagonal do
pentágono.
Introdução: O que é um
pentagrama?
O Pentagrama:
O pentagrama é uma figura geométrica
que está intimamente relacionada aos
pitagóricos;
O pentagrama é a figura formada pela
união das diagonais de um pentágono
regular;
A construção deste pentágono
utilizando somente régua e compasso
está detalhada no ambiente Cabri.
Figura 1: Pentagrama.
A matemática envolvida:
O pentagrama é uma de difícil
construção, porém ele é repleto de
“boas propriedades”, que serão
detalhadas posteriormente;
Paralelamente, construímos um
pentagrama no ambiente Geometer´s
Sketchpad semelhante ao da Figura2.
Figura2: O pentagrama e a
incomensurabilidade.
Propriedades do pentagrama:
O pentagrama é baseado em triângulos
isósceles cujos ângulos da base são o
dobro do ângulo remanesnescente;
Todos os ângulos na Figura2 são
múltiplos do ângulos fundamental:
BÂC =36 graus.
Por semelhança de triângulos, temos
que: AF = BE.
Incomensurabilidade:
Aplicando o algoritmo de antifairese
entre o lado AB e a diagonal AD temos:
AB = AE + EB = AD + EG; onde EG é
a diagonal do pentágono menor e é
menor do que AD;
AD = AF + FE; onde FE é o lado do
pentágono menor e é menor do que
AF.
Conclusão:
Aplicando o algoritmo de antifairese,
entre a diagonal e o lado do pentágono
teremos, após dois passos, que repetir
o processo para o pentagrama menor, e
este processo continua indefinidamente.
Usando isso como critério de
incomensurabilidade temos que o lado e
a diagonal do pentágono são
incomensuráveis.
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