Unidade I
Introdução à Matemática Computacional
Professora: Ana Cristina G. e Silva
Natal-RN
Índice
Vetores no R2, R3, Rn
Espaço Vetorial
Combinação linear
Vetores LI e LD
Base
Resolução de sistemas lineares
Determinação da Inversa de uma matriz
Vetores no R2
Representação:
v  ( a, b)
y
(2, 1)
x
0
Vetores no R3
Representação:
v  (a, b, c)
z
(2, 4, 3)
y
x
Vetores no Rn
Representação:
v  ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
Operações
v  ( x1, x2 , x3 ,..., xn ), u  ( y1, y2 , y3 ,..., yn )  Rn
Adição:
e
kR
v  u  ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )  ( y1 , y2 , y3 ,..., yn )
 ( x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ,..., xn  yn )
Multiplicação por escalar:
ku  k ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
 (kx1 , kx2 , kx3 ,..., kxn )
Espaço Vetorial
Definição:
Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas
operações
Soma:
u, v V  u  v V
Mult. por escalar:
v V , k  R  kv V
E devem satisfazer, para quaisquer
u, v , w , V e
a, b  R
As seguintes propriedades:
1) u  v  v  u
5)
2) (u  v)  w  u  (v  w)
6) (a  b)v  av  bv
a(u  v)  au  av
3)
Existe
0 V
tal que
u0u
7) (ab)v  a (bv)
4)
Existe  u V
tal que
u  (u )  0
8)
1u  u
Combinação Linear
Definição:
Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), v1, v2 , , vn V
e
a1, a2 , , an reais (ou complexos). Então,
v  a1v1  a2v2    anvn
é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de v1, v2 , , vn V
Ex:
R³
v  2i  4 j  3k
v
k
j
i
Dependência e Independência Linear
Definição:
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2 , , vn V . Dizemos que o conjunto
{v1, v2 , , vn} é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I,
se a equação
a1v1  a2v2    anvn  0
Implica que a1  a2    an  0 . Caso exista algum
ai  0 dizemos que
{v1, v2 , , vn} é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D.
Exemplo
O conjunto {(1, 1), (1, 0), (1, 1)}
é LD ou LI ?
{(1, 1), (1, 0), (1, 1)} é LD ou LI ?
Solução:
a(1, 1)  b(1, 0)  c(1, 1)  (0, 0)
(a, a)  (b, 0)  (c, c)  (0, 0)
(a  b  c, a  c)  (0, 0)
a  b  c  0

 a  c  0
De ( II ) vem que
(I )
( II )
O sistema admite infinitas soluções.
Façamos c a variável livre.
ac
Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com
b  2c
Fazendo, por exemplo, c  2 obtemos a  2
e
b  4
Encontramos a seguinte combinação linear
2(1, 1)  4(1, 0)  2(1, 1)  (0, 0)
Logo, o conjunto {(1, 1), (1, 0), (1, 1)} é LD.
Base
Definição:
{v1, v2 , , vn} será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se:
(i)
( ii )
Exemplo:
{v1, v2 , , vn} é LI, e
[v1, v2 , , vn ]  V
{(1, 1), (0, 1)} é uma base de R 2 ?
Solução:
Temos que verificar se
(i)
{(1, 1), (0, 1)} é LI, e
( ii ) [(1, 1), (0, 1)]  R2
(i)
a(1, 1)  b(0, 1)  (0, 0)
(a, a)  (0, b)  (0, 0)
(a, a  b)  (0, 0)
(I )
a0
a  b  0 ( II )
Substituindo ( I ) em ( II )
encontramos
b0
Logo,
{(1, 1), (0, 1)} é LI
Base
Exemplo:
( x, y)  a(1, 1)  b(0, 1)
( x, y)  (a, a)  (0, b)
( x, y)  (a, a  b)
(3,1)  R ²
x  a

y  a  b
(3, 1)  3(1, 1)  (4)(0, 1)
(3, 1)  (3, 3)  (0, 4)
ax
b ya

b yx
( x, y)  x(1, 1)  ( y  x)(0, 1)
2
Portanto, [(1, 1), (0, 1)]  R
Logo, {(1, 1), (0, 1)} é uma base de R 2 .
Resolução de sistemas lineares
Ex.:
 x1

2 x1
x
 1
3 1
1 4
2 5
4 4


1  3  2 5
 4 x2
 5 x2
 3 x3
 4 x3
 1
 4
 3x2
 2 x3
 5
Seqüência de
operações elementares
Matriz ampliada
do sistema
1 0 0 3 
0 1 0  2 


0 0 1 2 
Forma escada
reduzida por linha
 x1




 3
 2
x2
x3

2
Portanto, o sistema é possível e determinado com solução única
S  {(3, 2, 2)}
Resolução de sistemas lineares
Ex.:
3x1

 x1
4 x
 1
3 1
1 4
2 5
4 4


1  3  2 5
 x2
 2 x2
 2 x3
 x3
 0
 1
 3x2

 5
x3
1
0
1 2
0  7
5
 3


0 0  20 40 
Seqüência de
operações elementares
Matriz ampliada
do sistema
 x1  2 x2

 7 x2





x3
5 x3
 20x3


1
3
  40
Soluções do sistema (método do escalonamento)
Ex.:
x  3 y  2z  4

2y  z  3


2z  2

x 




y 
y 
z  t
z  2t
 0
 2
z 
 1
t
6
x  3 y  z 

  4 y  2 z   17

0 z   24

Como o número de
variáveis é igual ao número de
equações. O sistema é possível e
determinado, ou seja, tem solução
única.
Neste caso, o número de
variáveis é maior que o número de
equações. O sistema é possível e
indeterminado, ou seja, tem infinitas
soluções. Isso significa que uma das
variáveis , a variável livre, receberá um
valor arbitrário.
Neste caso a última equação
do sistema é sempre falsa, então o
sistema é impossível e S =.
Determinação da Inversa de uma matriz
Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A.
2
1
A
0

 1
2

1
0

 1
1
0
0
0 1 1
1 1 1
0 0 3
A
L 2  L 2  2L 1
L 4 L 4 L1
1 0 0 0

0 1 0 0
0 0 1 0

0 0 0 1
1 0
0 1
1 1
0 0
L1L 2
I
1

0
0

0
0  1 1 0 1 0 0

1 2  2 1  2 0 0
1 1
1 0 0 1 0

0  1 4 0 1 0 1
0
1

1

3
1

2
0

 1
0 1 1
1
1
0
0
1
0
0
1
3
0 1 0 0

1 0 0 0
0 0 1 0

0 0 0 1
L2:
2 1 0 0 1 0 0 0
 2L 1 :  2 0 2  2 0 0 0 0
0 1 2 2 1 0 0 0
L 4 : 1 0 0 3 0 0 0 1
L 1 : 1 0 2 1 0 1 0 0
0 0 2 2 0 1 0 1
1

0
0

0
0  1 1 0 1 0 0

1 2  2 1  2 0 0
L L3L 2
1 1
1 0 0 1 0 3

0  1 4 0 1 0 1
L 3  L 3
L1L1L 3
L 2  L 2  2L 3
L4 L4L3
1

0
0

0
1

0
0

0
0

0
0 1  3 1  2  1 0

0 1 4 0 1
0 1
0 1 1 0 1
1 2 2 1 2
0
0
0 0  2 1  1  1 0

1 0 4  1 2  2 0
0 1  3 1  2  1 0

0 0 1 1  1  1 1
1

0
0

0
1 0 0

 2 0 0
3  1 2 1 0

4 0
1 0 1
0 1 1 0
1 2 2 1
0 1
0 1
1

0
0

0
0 0  2 1  1  1 0

1 0 4  1 2  2 0 L 1  L 1  2L 4
0 1  3 1  2  1 0 L 2  L 2  4L 4
 L 3  L 3  3L 4
0 0 1 1  1  1 1
1

0
0

0
0 0 0 3 3 3 2 

1 0 0 5 6
2  4
0 1 0 4 5 4 3 

0 0 1 1  1  1 1 
I
Portanto,
 3 3 3 2 

6
2  4
1  5

A 
 4 5 4 3 


1

1

1
1


A-1
Quando A não admite inversa.
Exemplo:
1 0 1

1 2 1
0 2 0

A
1 0 1
A  1 2 1


0 2 0
1 0 0

0 1 0
0 0 1

I
1 0 1

0 1 0
0 0 0

1
0
1
 12
1
2
1
0

0
1

 I
Como a forma escada não é a identidade, a matriz A não tem inversa.
Bibliografia
- BOLDRINE, José L. – Álgebra linear – 3º edição Harbra LTDA
Operações elementares
1)
Li L
j
Ex.:
2) L i  kL i
Ex.:
3)
(permutar duas linhas)
0
1
 4  1


 3 4 
0
1
 3 4 


 4  1
(k  R e k  0)
0
1
 4  1


 3 4 
L i  L i  kL
Ex.:
L2 L3
L 2  3L 2
0
 1
 12 3


  3 4
j
0
1
 4  1

 L 3  L 3  2L 1
 3 4 
0
 1
 12 3


  1 4
L 3 : 3 4
 2L 1 : 2 0
1 4
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Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0 
0 1  1 0 


0 0 1 0
(1) V
0 2 1 
1 0  3


0 0 0 
(1) F
0 1  3 0 1 
0 0 0
0 0


0 0 0  1 2
(1) F
0 1  3 0 2 
0 0 0 1 2 


0 0 0 0 0
(1) V
Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0 
0 1  1 0 


0 0 1 0
(1) V
(2) F
0 2 1 
1 0  3


0 0 0 
(1) F
0 1  3 0 1 
0 0 0
0 0


0 0 0  1 2
(1) F
0 1  3 0 2 
0 0 0 1 2 


0 0 0 0 0
(1) V
(2) V
Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0 
0 1  1 0 


0 0 1 0
(1) V
(2) F
0 2 1 
1 0  3


0 0 0 
(1) F
0 1  3 0 1 
0 0 0
0 0


0 0 0  1 2
(1) F
0 1  3 0 2 
0 0 0 1 2 


0 0 0 0 0
(1) V
(2) V
(3) V
Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0 
0 1  1 0 


0 0 1 0
(1) V
(2) F
0 2 1 
1 0  3


0 0 0 
(1) F
0 1  3 0 1 
0 0 0
0 0


0 0 0  1 2
(1) F
0 1  3 0 2 
0 0 0 1 2 


0 0 0 0 0
(1) V
(2) V
(3) V
(4) V