ME623A
Planejamento e Pesquisa
5. Experimentos Fatoriais
1. Experimento Fatorial com Dois Fatores
2. Experimento Fatorial Generalizado (k
Fatores)
3. Experimento Fatorial 2k
4. Única Replicação de Um Fatorial 2k
5. Blocagem e Confundimento em Fatoriais
2k
6. Experimento Fatorial Fracionado 2k-p
Blocagem em Fatoriais 2k

Já vimos anteriormente como analisar experimentos
fatoriais com replicações em blocos

Se existem n replicações, cada replicação do fatorial
completo é rodada dentro um bloco, isto é, cada bloco
contém todos os tratamentos
A aleatorização acontece dentro de cada bloco
Vamos voltar no exemplo da pipoca, em que tínhamos
dois fatores (marca e tempo no microondas) e 3
replicações
Suponha agora que os sacos de pipoca usados em cada
replicação foram comprados em supermercados
diferentes. Nesse caso, cada supermercado constitui um
bloco



Exemplo – Pipoca
Fator
Replicação
Marca
(A)
Tempo
(B)
Tratamento
I
II
III
−
−
(1)
28
25
27
+
−
a
36
32
32
−
+
b
18
19
23
+
+
ab
31
30
29
Experimento da Pipoca em Blocos
Total Blocos
Bloco I
Bloco II
Bloco III
(1) = 28
(1) = 25
(1) = 27
a = 36
a = 32
a = 32
b = 18
b = 19
b = 23
ab = 31
ab = 30
ab = 29
B2 = 106
B3 = 111
B1 =
Blocagem em Fatoriais 2k


Todas as SS são calculadas da mesma forma que no
experimento fatorial 2k
A SSBloco é calculada pelo total dos blocos B1, B2 e B3:
Blocagem em Fatoriais 2k

A Tabela ANOVA (compare com a ANOVA sem blocos):

anova(lm(dados~factor(bloco) +
factor(marca)*factor(tempo)))
Confundimento em Fatoriais 2k





A técnica de blocagem é muito útil quando é possível
aplicar todas os tratamentos dentro de cada bloco
Mas e quando não é possível realizar uma replicação
completa dentro de um bloco?
Usamos uma técnica chamada de confundimento
Essa técnica arranja um experimento fatorial
completo em blocos, onde o tamanho
do bloco é menor que o número
de tratamentos numa única replicação
Isso faz com que certos efeitos
(usualmente interações de ordem mais alta)
sejam confundidos com os blocos
Confundimento em Fatoriais 2k

Os experimentos que iremos estudar aqui são
delineamentos em blocos incompletos, já que cada
bloco não contém todos os tratamentos

Ainda assim, a estrutura especial dos fatoriais 2k
permite uma método de análise simplificado

Iremos considerar a construção e análise de
fatoriais 2k em 2p blocos incompletos, onde p < k

Isso quer dizer que podemos usar dois blocos (p=1),
quatro blocos (p=2), oito blocos (p=3) e assim por
diante
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos



Suponha que iremos rodar uma única replicação de um
fatorial 22, ou seja, 4 tratamentos e estes necessitam de
um certa quantidade de matéria-prima
Cada lote de matéria-prima é suficiente para apenas 2
tratamentos serem testados
Então, precisamos de 2 lotes de matéria-prima e cada
lote é considerado um bloco
Bloco 1
(1)
ab
Bloco 2
a
b
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos


A ordem em que cada tratamento são rodados dentro
dos blocos é aleatória
Além disso, aleatoriamente decidimos qual bloco rodar
primeiro
Bloco 1
(1)
ab
Bloco 2
a
b
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos

Tabela dos sinais para um fatorial 22
Tratament
o
(1)
a
b
ab
Efeito Fatorial
I
A
B
AB
+
+
+
+
−
+
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
Bloco
1
2
2
1

Cálculo dos efeitos principais (ignorando os blocos)

Os efeitos de A e B não são afetados pelos blocos
(note um + e um − nos tratamentos de cada bloco)
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos

Vamos agora calcular o efeito da interação AB:

Note que a interação é calculada como a diferença
dos tratamentos no Bloco 1 [(1) e ab] e os
tratamentos no Bloco 2 [a e b]

Então o efeito da interação AB é idêntico ao efeito
do bloco
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos

Nesse caso dizemos que AB está confundida
com blocos (veja a relação na tabela dos sinais)

Essa técnica pode ser usada para confundir
qualquer efeito (A, B ou AB) com blocos

Em geral, usamos essa técnica para confundir a
interação de maior ordem
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

Tabela dos sinais para um fatorial 23
Efeito Fatorial

Tratamento
I
A
B
AB C
AC BC ABC
Bloco
(1)
+
−
−
+
−
+
+
−
1
a
+
+
−
−
−
−
+
+
2
b
+
−
+
−
−
+
−
+
2
ab
+
+
+
+
−
−
−
−
1
c
+
−
−
+
+
−
−
+
2
ac
+
+
−
−
+
+
−
−
1
bc
+
−
+
−
+
−
+
−
1
abc
+
+
+
+
+
+
+
+
2
Para confundir a interação ABC com blocos, basta
escolher os blocos pelas colunas de sinais
correspondente ao efeito ABC
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
bc
c
abc
ac
ab
b
(1)

Bloco 1
(1)
ab
ac
bc
Bloco 2
a
b
c
abc
a
Esse esquema pode ser usado para confundir
qualquer fatorial 2k em 2 blocos
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

No final das contas, o modelo fatorial em blocos,
em termos de parâmetros é o mesmo que o
modelo fatorial com a interação

Então porque precisamos saber este modelo?
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

No final das contas, o modelo fatorial em blocos,
em termos de parâmetros é o mesmo que o
modelo fatorial com a interação

Então porque precisamos saber este modelo?

Porque alguns experimentos são planejados desta
maneira

Podemos então simplesmente construir a ANOVA?
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

No final das contas, o modelo fatorial em blocos,
em termos de parâmetros é o mesmo que o
modelo fatorial com a interação

Então porque precisamos saber este modelo?

Porque alguns experimentos são planejados desta
maneira

Podemos então simplesmente construir a ANOVA?
Estimar o erro replicando o desenho.
Ler no livro a extensão para 2k em 2p blocos


Experimentos Fatoriais Fracionados
Já dissemos inúmeras vezes que nos experimentos
fatoriais o número de tratamentos aumenta
consideravelmente à medida que os aumentamos o
número de fatores no estudo
 Por exemplo: fatorial 26 = 64 tratamentos
 Com apenas uma replicação, temos 63 graus de
liberdade no total, que se dividem da seguinte forma:
6 gl para os efeitos principais
15 gl para as interações de 1ª ordem (interações
com dois fatores)
42 gl para interações de 2ª ordem e superiores
(interações com 3 ou mais fatores)

Experimentos Fatoriais Fracionados

Em muitos casos, não é possível obter observações
para todos os tratamentos

Se pudermos assumir que interações de ordem
mais altas são não significativas, então podemos
obter informação sobre os efeitos principais e
interações de ordem mais baixa rodando apenas
uma parte (ou fração) de um experimento fatorial
completo

Esses experimentos são chamados de Fatoriais
Fracionados

Muito usados em desenvolvimento de produtos e
melhoria de processos
Experimentos Fatoriais Fracionados

O uso principal desse tipo de delineamento é em
experimentos pilotos (screening experiments)

Experimentos piloto: realizado com muitos fatores
com o propósito de identificar os efeitos que são
realmente significativos

Geralmente realizado na fase inicial e os fatores
identificados como importantes serão então
estudados num experimento mais completo
Fatoriais Fracionados: Idéia Básica
1)
Esparsidade: Quando existem muitas variáveis, o
processo/sistema é dominado por alguns poucos
efeitos principais e interações de baixa ordem
2)
Projeção: Os fatoriais fracionados podem ser
projetados em experimentos mais completos
dentro de um subconjunto de fatores significantes
3)
Experimentação Sequencial: Dois ou mais
fatoriais fracionados pode ser combinados,
sequencialmente, e assim estimar os efeitos
principais e interações de interesse
Meia Fração (1/2) do Fatorial 2k
ou Fatorial 2k – 1

Considere a situação na qual 3 fatores, cada um
com dois níveis, são de interesse

Temos então 23 = 8 tratamentos

O experimentador tem recursos para obter
apenas 4 observações, isto é, metade de uma
replicação completa desse fatorial 23

Metade de um experimento fatorial 23 é chamado
de fatorial 23 – 1
Fatorial Fracionado 2k – 1


Veja a tabela dos sinais
Tratament
o
I
A
Efeito Fatorial
B AB C AC BC ABC
a
+
+
−
−
−
−
+
+
b
+
−
+
−
−
+
−
+
c
+
−
−
+
+
−
−
+
abc
+
+
+
+
+
+
+
+
ab
+
+
+
+
−
−
−
−
ac
+
+
−
−
+
+
−
−
bc
+
−
+
−
+
−
+
−
(1)
+
−
−
+
−
+
+
−
O fatorial 23 – 1 é formado pelos tratamentos que
tem o sinal “+” na coluna ABC
Fatorial Fracionado 2k – 1





A coluna ABC é que determina a fração do
experimento que será rodada
Então ABC é chamado de gerador da fração
Além disso, como a coluna I é sempre +, dizemos
que
I = ABC
é a relação de definição
No geral, a relação de definição será sempre o
conjunto de todas as colunas que são iguais à
coluna identidade I
No nosso exemplo, a única coluna igual a I é ABC
As Duas Metades de um Fatorial 23
bc
abc
c
ac
ab
b
a
Fração Principal I = ABC
(1)
Fração Alternada I = −ABC
Fatorial Fracionado 23 – 1

Tabela dos sinais para a metade que foi realizada:
Tratamento

Efeito Fatorial
I
A
B
AB C
AC BC
ABC
a
+
+
−
−
−
−
+
+
b
+
−
+
−
−
+
−
+
c
+
−
−
+
+
−
−
+
abc
+
+
+
+
+
+
+
+
Estimativa dos efeitos principais e interações:
Fatorial Fracionado 23 – 1





Notamos que:
[A] = [BC]
[B] = [AC]
[C] = [AB]
Dessa forma, é impossível diferenciar
A de BC, B de AC e C de AB
Na realidade, estamos estimando:
A + BC, B + AC e C + AB
Dois ou mais efeitos com esta propriedade são
chamados de associados (aliases)
Portanto, A e BC são associados e indicamos por
[A]
A + BC
Fatorial Fracionado 23 – 1
No nosso exemplo temos:
[A]
A + BC
[B]
B + AC
[C]
C + AB
 A estrutura dos associados pode ser encontrada
usando a relação de definição I = ABC da seguinte
forma:


Essa meio fração, com I = ABC, é chamada de
fração principal
Fatorial Fracionado 23 – 1
A meia fração complementar desse
experimento é formada pelos tratamentos (1), ab,
ac e bc
 A relação de definição é
I =− ABC
 As combinações lineares para essa fração são:
[A]’
A − BC
[B]’
B − AC
[C]’
C − AB
 Então quando estimamos A, B e C com esta fração
particular, estamos na verdade estimando A − BC,
B − AC e C − AB

Fatorial Fracionado 23 – 1
Na prática, não interessa qual fração é usada
(principal ou complementar)
 Ambas frações pertencem à mesma família, isto é,
as duas meia frações formam um fatorial 23
completo
 Se depois de rodar uma das metades de um
fatorial 23, a outra meia fração também é rodada,
obtemos então informação sobre todos os 8
tratamentos
 A partir disso podemos obter estimativas de
todos os efeitos analisando as 8 rodadas com um
fatorial 23 completo em dois blocos com 4
rodadas cada

Fatorial Fracionado 23 – 1

Estimativas de todos os efeitos podem ser obtidas
também através do seguinte:

Para todos os pares de combinações lineares, temos:
i
A
B
C
½([i] + [i]’)
A
B
C
½([i] − [i]’)
BC
AC
AB
Fatorial Fracionado

O problema é que nem sempre é possível executar
mais de um fração

Nesse caso, temos que escolher, previamente, os
fatores “mais importantes” a serem considerados

Faz sentido um modelo somente com fatores
principais, mas não faz sentido um modelo somente
com interações

Além disso, o modelo deve permitir a existência de
número razoável de gl para os resíduos
Resolução de um Delineamento

Resolução III: Os efeitos principais não estão
associados(aliased) com qualquer outro efeito
principal, mas efeitos principais estão associados com
interações de dois fatores e interações com dois
fatores podem estar associadas entre elas. O fatorial
23 – 1 anterior é de resolução III (2III3 – 1 )

Resolução IV: Os efeitos principais não estão
associados com qualquer outro efeito principal ou
com qualquer interação de dois fatores, mas
interações com dois fatores estão associadas entre
elas.
Resolução de um Delineamento

Resolução V: Os efeitos principais ou interações
com dois fatores não estão associados com qualquer
outro efeito principal ou interação com dois fatores,
mas interações com dois fatores estão associadas
com interações de três fatores
Em geral, a resolução de um fatorial fracionado em
dois blocos é igual ao menor número de letras em
qualquer gerador na relação de definição
 Geralmente, prefere-se delineamentos com a mais
alta resolução possível dentro do nível de
fracionamento requerido

Fatorial 24-1
A
−
+
−
+
−
+
−
+
Fator
B
C
−
−
+
+
−
−
+
+
D=ABC
Tratamento
Taxa
Filtração
−
−
−
+
(1)
ad
45
100
−
−
+
+
+
bd
ab
cd
ac
45
65
75
60
bc
abcd
80
96
+
+
−
+
−
−
+
• O experimento original é uma única replicação de um
fatorial 24
• Exercício: Quais as conclusões se apenas meia fração do
experimento é rodada?