Planejamento de Experimentos
Blocagem e Confundimento nos fatoriais 2k
 Capítulo 7
 Blocagem é uma técnica para lidar com
variáveis de ruído controláveis
 Dois casos são considerados


Planejamentos com replicação
Planejamentos sem replicação
1
2
Blocagem num planejamento com replicação




Esse é o cenário discutido previamente (Capítulo 5,
Seção 5.6)
Se existem n replicações do plano, então cada
replicação é um bloco
Cada replicação é realizada em um dos blocos
(períodos de tempo, lotes de matéria-prima, etc.)
Realizações dentro do bloco são aleatorizadas
3
Blocagem num planejamento com replicação:
exemplo
Considere o exemplo
da seção 6.2; k = 2
fatores, n = 3
replicações
Esse é o metodo
“usual” para calcular
uma soma de
quadrados devida ao
bloco.
Bi2 y...2


12
i 1 4
 6.50
3
SS Blocks
4
ANOVA for the Blocked Design
Page 267
5
Confundimento nos fatoriais 2k




Em muitos problemas não é possível realizar uma replicação
completa de um planejamento fatorial em um bloco.
CONFUNDIMENTO é uma técnica de planejamento para
arrumar um experimento fatorial completo em blocos, no qual o
tamanho do bloco é menor do que o número de combinações
dos tratamentos em uma replicação.
A técnica faz com que a informação sobre certos efeitos de
tratamento (geralmente interações de maior ordem) sejam
indistinguíveis ou confundidas com o bloco.
Apesar desses planos serem planos em blocos incompletos a
estrutura especial do sistema fatorial 2k permite um método de
análise simplificado.
6
Confundimento nos fatoriais 2k


Consideraremos a construção e análise do plano fatorial 2k em
blocos incompletos 2p, com p<k.
Assim, os planos podem ser realizados em dois blocos
incompletos (p=1), quatro blocos incompletos (p=2), oito blocos
incompletos (p=3), etc.
7
Confundimento nos fatoriais 2k em dois blocos





Suponha que deseja-se realizar uma única replicação do
experimento 22.
Cada replicação requer 4 realizações paras as combinações
possíveis dos tratamentos.
Suponha que cada lote de matéria-prima é suficientemente
grande para permitir que apenas duas realizações sejam
testadas.
Desse modo, apenas dois lotes serão necessários para uma
realização completa das combinações de tratamento.
Se os lotes são considerados blocos, então devemos designar
duas das 4 combinações possíveis para cada lote.
8
Confundimento nos fatoriais 2k em dois blocos
Uma possível configuração para esse problema é ilustrada
na figura.
Observe que os blocos são caracterizados pelas diagonais do
quadrado.
A ordem na qual as realizações são testadas em cada bloco é
aleatória.
9
Confundimento nos fatoriais 2k em dois blocos


Também decidimos aleatoriamente a ordem dos
blocos.
Os efeitos principais dos fatores A e B são
calculados por
1
1
A  ab  a  b  (1) e B  ab  b  a  (1)
2
2
Observe que tanto A como B não são afetados pela blocagem,
pois em cada estimativa existe uma combinação de tratamentos
com sinal + e uma com sinal -.
Isto é, qualquer diferença entre o bloco 1 e 2 será cancelada.
10
Tabela de sinais “+” e “-” para o plano 22
Combinação
de tratamento
Efeito fatorial
I
A
B
AB
Bloco
(1)
+
-
-
+
2
a
+
+
-
-
1
b
+
-
+
-
1
ab
+
+
+
+
2
11

Considere o efeito de interação AB:
AB 
1
ab  (1)  a  b
2
Como as combinações dos dois tratamentos com o sinal “+”
( ab e (1)) estão no bloco 1 e as duas com o sinal “-” (a e b)
estão no bloco 2, o efeito de bloco e o efeito de interação AB
são idênticos.Isto é, AB é confundido com blocos.
Essa abordagem pode ser usada para confundir qualquer efeito
(A, B ou AB) com blocos.
Por exemplo, se (1) e b são designados ao bloco 1 e a e ab ao
bloco 2, o efeito principal do fator A será confundido com o bloco.
A prática usual é confundir efeitos de interação de maior ordem.
12
OUTROS MÉTODOS PARA A CONSTRUÇÃO DE
BLOCOS

Existem outros métodos para construir esse planejamento. Um
método usa a combinação linear:
L  1 x1   2 x2     k xk
na qual xi é o nível do i-ésimo fator que aparece numa
combinação de tratamento particular e αi é o expoente que aparece
sobre o i-ésimo fator no efeito a ser confundido.
Para o sistema 2k, temos αi=0 ou 1 e x (nível baixo) ou 1
(nível alto).
Combinações de tratamento que produzem o mesmo valor de L(mod2)
(resto de L na divisão por 2) serão designadas ao mesmo bloco.
Como os únicos valores possívels de L(mod 2) são 0 ou 1, ele designará as
2k combinações de tratamento a exatamente 2 blocos.
13
Ilustração

Considere um experimento 23 com o efeito
ABC confundido com os blocos. Nesse caso
1   2   3  1  L  x1  x2  x3
Combinação
de trat.
L
L(mod 2)
Bloco
(1) 0
0
1
a 1
1
2
b 1
1
2
c 1
1
2
ab 2
0
1
ac 2
0
1
bc 2
0
1
abc 3
1
2
14
15




Outro método: o bloco contendo a combinação de
tratamento (1) é chamado bloco principal.
As combinações de tratamento nesse bloco têm uma
propriedade teórica de grupo, a saber, elas formam um
grupo com respeito a multiplicação módulo 2.
Isso implica que qualquer elemento (exceto o (1)) no bloco
principal pode ser gerado pela multiplicação módulo 2 de
dois outros elementos no bloco principal.
Por exemplo, considere um experimento 23 com o efeito
ABC confundido com os blocos.
16
Confundimento

Observe que:
ab.ac  a 2 bc  bc
ab.bc  ab2 c  ac
ac.bc  abc2  ab
Combinações de tratamento no outro bloco (ou blocos) podem ser
geradas pela multiplicação de um elemento no novo bloco por cada
elemento no bloco principal módulo 2. Para o experimento 23
b.(1)  b
com o efeito ABC confundido com os blocos:
b.ab  ab2  a
b.ac  abc
b.bc  b 2 c  c
17
Estimação do erro

Quando o número de variáveis é pequeno, digamos k=2 ou 3,
geralmente é necessário replicar o experimento para obter uma
estimativa do erro. Por exemplo, suponha que um experimento
fatorial 23 deve ser realizado em dois blocos com ABC
confundido, e o experimentador decide replicar o experimento 4
vezes.
18
Estimação do erro

A tabela ANOVA para esse plano é
19
Estimação do erro




A soma de quadrados dos erros consiste das
interações de dois fatores entre replicações e cada
efeito (A,B,C,AB,AC,BC).
Geralmente, é seguro considerar as interações
como nulas e tratar o quadrado médio resultante
como uma estimativa do erro.
Efeitos principais e de interação a dois fatores são
testados em relação ao quadrado médio do erro.
Cochran e Cox (1957) observaram que o quadrado
médio de bloco ou ABC poderia ser comparado ao
erro para o quadrado médio de ABC, que é de fato,
replicações vezes blocos.
20



Se os recursos disponíveis permitem replicações dos planos
confundidos, é geralmente melhor usá-la de forma ligeiramente
diferente. Essa abordagem consiste do confundimento de um
efeito diferente em cada replicação tal que alguma informação
de todos os efeitos é obtida.
Tal procedimento é chamado confundimento parcial e será
discutido na seção 7.7.
Se k é moderadamente grande, maior ou igual a 4, podemos, em
geral, realizar apenas uma replicação. O experimentador
usualmente assume que interações de maior ordem são
desprezíveis e combina suas somas de quadrados como erro. O
gráfico de probabilidade normal dos efeitos pode ser útil para
identificar os efeitos desprezíveis.
21
Experimento do Exemplo 6.2
Suponha que somente 8 realizações possam ser feitas a partir de um lote de
matéria-prima.
22
A Tabela de sinais + & -, Exemplo 6.2
23
ABCD é confundido com blocos
(Page 279)
24
Estimativas dos Efeitos
25
Tabela ANOVA
A interação ABCD (ou efeito de bloco) não é considerada como parte
do termo de erro
26
Outra Ilustração da Importância de Blocagem
Agora as
primeiras 8
realizações
têm taxa de
filtragem
reduzida por
20 unidades
27
A interpretação é mais
difícil, não tão facil
para identificar os
grandes efeitos
Uma interação
importante não é
identificada (AD)
Não usar blocagem
quando é necessário
poderá acarretar
problemas na
interpretação do
resultado de um
experimento e
mascarar a presença
de efeitos existentes
de fatores
28
Confundimento em Blocos

Mais de dois blocos (page 282)




O fatorial 2k pode ser confundido em 2, 4, 8,
… (2p, 1<p<k) blocos
Para quatro blocos, selecionar dois efeitos
para serem confundidos, automaticamente um
terceiro efeito será confundido
Veja exemplo, pg 282
A escolha dos esquemas de confundimento
nem sempre é trivial. Consulte tabela 7.9, pg
285
29
Exemplo
Suponha o fatorial2 5 em 4 blocoscontendo8 realizações (23 ).
Efeitosconfundidos : ADE e BCE
ADE.BCE  ABCDE2  ABCD (consequência)
L1  x1  x 4  x5
L2  x 2  x 3  x 5
30
Combinações de
tratamentos
Sinal de ADE
Sinal de BCE
Sinal de ABCD
Bloco 1
-
-
+
Bloco 2
+
-
-
Bloco 3
-
+
-
Bloco 4
+
+
+
31
32
Confundimento Parcial


A menos que o experimentador tenha uma estimativa a
priori do erro ou assuma que certas interações são
desprezíveis, ele deverá replicar o experimento para
obter uma estimativa do erro.
Vimos um exemplo de um fatorial 23 em dois blocos com
ABC confundido e 4 replicações. Da ANOVA desse
experimento (tabela 7.5), observamos que a informação
sobre a interação ABC não pode ser recuperada porque
ABC é confundido com blocos em cada replicação.
33
Confundimento parcial
Considere o seguinte experimento alternativo
Novamente são 4 replicações de um fatorial 23, mas uma interação diferente
foi confundida em cada replicação.
34
Confundimento Parcial





Como um resultado, a informação sobre ABC pode
ser obtida dos dados nas replicações II, III e IV;
de AB nas replicações I, III, IV, etc.
Dizemos que três quartos da informação pode ser
obtida sobre as interações porque elas não foram
confundidas em três das quatro replicações.
Yates (1937) denominou a razão ¾ de informação
relativa dos efeitos confundidos.
Esse experimento é dito ser parcialmente
confundido.
35
36
Exercícios do Capítulo 7


1 ao 17
Para entregar na quinta-feira dia 4/11: 5, 11 e
12.
37