ME623A
Planejamento e Pesquisa
Experimentos Fatoriais
6.1 Algumas Definições e Princípios Básicos
 Experimentos que envolvem dois ou mais fatores
 Permitem investigar o efeito de cada fator na
variável resposta, assim como o efeito de
interações entre eles
 É o tipo de delineamento mais eficiente para esse
tipo de experimentos
 Cada repetição completa do experimento permite
investigar todas as possíveis combinações dos
níveis dos fatores
Experimentos Fatoriais

Exemplo: temos a níveis do fator A e b níveis do
fator B, então cada repetição terá ab tratamentos
Fator A
1, 2, ..., a
Fator B
1, 2, ..., b
ab
tratamentos

Fatores arranjados num experimento fatorial são
ditos serem cruzados
Experimentos Fatoriais
Definições
 Efeito principal de um fator: é a mudança na
variável resposta produzida pela mudança no nível
do fator
Refere-se aos fatores primários de interesse

Interação: ocorre quando a diferença na resposta
entre os níveis de um fator não é
a mesma em todos os níveis do
outro fator
Experimentos Fatoriais

Exemplo I: Temos dois fatores (A e B) e cada fator
apresenta dois níveis, alto (+) e baixo (−)
Efeitos Principais
Efeito de A em cada nível de B
A = 40 – 20 = 20 (B–)
A = 52 – 30 = 22 (B+)
Experimentos Fatoriais

Exemplo II: Considere o mesmo cenário, mas
note que os valores observados são diferentes
Efeito de A em cada nível de B
A = 50 – 20 = 30 (B–)
A = 12 – 40 = –28 (B+)
Aqui, o efeito de A depende do
nível de B escolhido. Portanto,
existe interação entre A e B.
A magnitude da interação é:
Exemplo I: Interação ou Não?
Linhas aproximadamente paralelas: não temos
indicação de interação entre A e B
Exemplo II: Interação ou Não?
Linhas não paralelas: indicação de interação entre A
eB
Vantagens dos Experimentos Fatoriais
Pode-se estudar os efeitos de dois ou mais fatores
simultaneamente e as interações entre os eles
 São mais eficientes que os experimentos “um fator
por vez”
 Necessário quando existe interação entre os
fatores
 Permite estimar os efeitos de um fator dentro dos
níveis do outro fator, resultando em conclusões
mais abrangentes

Experimentos Fatoriais com Dois Fatores





É o tipo mais simples dos experimentos fatoriais
Existem a níveis do fator A e b níveis do fator B
Cada replicação do experimento contém todas as
ab combinações de tratamentos
Em geral, temos n replicações
Exemplo: uma pesquisadora deseja produzir um
novo tipo de vinagre a base de kiwi.
Os fatores em estudo foram:
◦ Fator A: quantidade de açúcar (a=2 níveis: 8% e 20%)
◦ Fator B: adição de nutrientes (b=2 níveis: com e sem)
◦ n = 7 repetições
4 x 7 = 28 unidades experimentais
◦ variável resposta: concentração de etanol
Fatoriais com Dois Fatores: Exemplo
Projeto de uma bateria: um engenheiro está
projetando uma bateria para usar em um certo
dispositivo
 Fatores em estudo
Fator A: material (tipos 1, 2 e 3)
Fator B: temperatura (15oF, 70oF e 125oF)
 4 baterias são testadas para cada combinação de
material e temperatura, num total de
36 baterias, testadas em ordem aleatória
 Delineamento experimental:
inteiramente aleatorizado

Exemplo Bateria

O engenheiro quer responder as seguintes
perguntas:
1. Qual o efeito do tipo de material e temperatura
na vida das baterias?
2. Existe um material que produz uma bateria com
vida mais longa independente da temperatura?

Nota: como existem dois fatores com três níveis
cada, esse experimento é chamado de Fatorial 32
Dados em Experimentos Fatoriais com Dois
Fatores
Fator B
Fator A
1
2
...
b
y111, y112, y121, y122
1
..., y11n ..., y12n
y1b1,y1b2,
..., y1bn
y211, y212, y221, y222
2 ..., y
..., y22n
21n
y2b1,y2b2,
..., y2bn
.
.
.
ya11, ya12, ya21, ya22
a ..., y
..., ya2n
a1n
yab1,yab2,
..., yabn
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos

As observações podem ser descritas pelo modelo:

Restrições:
Hipóteses de Interesse
Ambos os fatores A e B são de igual interesse
 Queremos testar a igualdade dos efeitos dos níveis
de A, ou seja,

e a igualdade dos efeitos dos níveis de B:

Também estamos interessados em determinar se
existe interação
Análise Estatística – Efeitos Fixos

Considere a seguinte notação:
Decomposição das Somas de Quadrados

Mostre que a SST pode ser composta como:
Esperança dos Quadrados Médios
ANOVA – Fatorial com Dois Fatores
Fórmulas Simplificadas para as SS

A SST pode ser calculada como:

As soma de quadrados dos efeitos principais são:

A soma de quadrados da interação é calculada em
dois passos.
Fórmulas Simplificadas para as SS

Inicialmente calculamos o que é chamado de SSSubtotais

Essa soma de quadrados também contém SSA e SSB.
Então calculamos SSAB como:

Por fim, a SSE é calculada por subtração:
Exemplo Bateria - Dados
Tipo de
Materia
l
15
70
125
2
130
74
150
159
155
180
188
126
34
80
136
106
40
75
122
115
20
82
25
58
70
58
70
45
3
138
168
110
160
174
150
120
139
96
82
104
60
1

Temperatura (ºF)
Usando os dados acima, calcule a tabela ANOVA e
responda às perguntas do engenheiro