ME623A
Planejamento e Pesquisa
Blocagem em Experimentos Fatoriais
Em algumas ocasiões, pode não ser possível
aleatorizar completamente todas as rodadas de um
experimento fatorial
 Por exemplo, a presença de um fator ruído pode
sugerir que o experimento seja realizado em blocos
 Uma variedade de fenômenos podem causar
restrições na aleatorização (blocos): operador, lote
de material, tempo, dia
 Um experimentador pode conseguir uma replicação
completa no dia 1, uma segunda replicação no dia 2,
e assim por diante. Nesse caso, cada dia é
considerado um bloco

Blocagem em Experimentos Fatoriais
Considere um fatorial com dois fatores (A e B) e n
replicações
 O modelo estatístico para esse delineamento é:

onde τi, βj e (τβ)ij representam os efeitos dos fatores
A, B e da interação AB, respecitvamente
 Suponha que precisemos de uma certa matériaprima e esta é disponibilidade em lotes. Se o lote não
for grande o suficiente para executar as abn rodadas,
mas este for suficiente para ab observações, então
faremos o experimento em blocos
Blocagem em Experimentos Fatoriais

O modelo estatístico para para um fatorial com dois
fatores e blocos é dado por:
onde δk representa o efeitos do k-ésimo bloco
 Cada bloco contém uma replicação do fatorial
completo (todos os tratamentos)
 A ordem com que os tratamentos são aplicados é
completamente aleatória dentro de cada bloco
Blocagem em Experimentos Fatoriais

O modelo assume que a interação entre blocos e
tratamentos são desprezíveis.

Isto também foi assumido no experimento de blocos
completos aleatorizados.

Se estas interações existirem, elas não podem ser
distinguidas do componente de erro.

Na verdade, o erro deste modelo consiste realmente
das interações
(td )ik ,(bd ) jk ,(tbd )ijk
Blocagem em Experimentos Fatoriais

Tabela ANOVA para um fatorial com dois fatores e
blocos
Exemplo – Radar
Um engenheiro está estudando métodos
para melhorar a habilidade de detectar alvos num
radar
 Dois fatores são considerados: ruído de fundo (3
níveis) e tipo de filtro colocado na tela (2 tipos)
 O experimento consiste em aumentar a intensidade
de um sinal até que este seja detectado. A variável
resposta é então esta intensidade do sinal emitido
quando o operador consegue detectá-lo
 Diferentes operadores participarão do experimento,
e como eles têm habilidades diferentes, é razoável
considerar cada operador como um bloco

Exemplo – Radar

Dados observados:
Operador
1
Filtro
1 2
Ruído
Baixo
90 86
Médio
102 87
Alto
114 93
2
1
3
2
96 84
106 90
112 91
1
4
2
100 92
105 97
108 95
1
2
92 81
96 80
98 83
Vamos analisar os dados acima e verificar se o nível
de ruído e o tipo de filtro influenciam na detecção
do sinal
 Também veremos se existe interação

Exemplo – Radar

O modelo linear para esse experimento é:
em que τi representa o efeito do nível de ruído, βj
representa o tipo de filtro, (τβ)ij é a interação e δk é
o efeito do operador (bloco)
 As SS dos efeitos principais e da interação são
calculadas da maneira usual. E a SSBloco:
Exemplo – Radar

Tabela ANOVA:
aov(formula = dados ~ filtro * ruido + Error(oper))
 Ambos efeitos principais (nível de ruído e tipo de
filtro) são significantes
 A interação é significante a um nível de significância
de 10%

Experimentos Fatoriais em Quadrados
Latinos

Suponha que existem duas restrições na
aleatorização, ou seja, dois fatores ruído e cada um
tem p níveis

Se além disso, o número de tratamentos no
experimento com k fatores é exatamente p

Então o experimento fatorial pode ser realizado
num quadrado latino p x p
Experimentos Fatoriais em Quadrados
Latinos

Suponha a seguinte modificação para o exemplo do
radar:

Suponha que apenas 6 rodadas podem ser feitas por
dia.

Assim, “dias” se torna uma segunda restrição na
aleatorização, resultando em um quadrado latino
6x6
Experimentos Fatoriais em Quadrados
Latinos
Operador
Dia
1
2
3
4
5
6
1
A(90)
B(106)
C(108)
D(81)
F(90)
E(88)
2
C(114)
A(96)
B(105)
F(83)
E(86)
D(84)
3
B(102)
E(90)
F(95)
A(92)
D(85)
C(104)
4
E(87)
D(84)
A(100)
B(96)
C(110)
F(91)
5
F(93)
C(112)
D(92)
E(80)
A(90)
B(98)
6
D(86)
F(91)
E(97)
C(98)
B(100)
A(92)
A = f1g1, B = f1g2, C = f1g3, D = f2g1,
 E = f2g2, F = f2g3 onde f = filtro, e g = ruído

Experimentos Fatoriais em Quadrados
Latinos
O Modelo é:
Yijkl = m + ai + t j + bk + (tb ) jk + ql + eijkl
Onde
ai , q l
São os efeitos dos dias e operadores, que indicam a
restrição na aleatorização.
Experimentos Fatoriais em Quadrados
Latinos
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais

É comum encontrar situações onde a
número de observações nas células é
diferente.
Isso pode acontecer por várias razões:
 O pesquisador pode ter planejado um
experimento balanceado, mas problemas
surgiram no meio do caminho a algumas
UE foram perdidas

Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais

As vezes experimentos não balanceados
são planejados para serem assim

Alguns tratamentos podem ser muito
caros ou mais difíceis de se aplicar, então
poucas observações são feitas nestas
células

Ou algumas combinações podem ser de
maior interesse
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais

Suponha um experimento fatorial(2)
Número de observações em cada célula é
nij
b
 Seja ni. = å nij o número de obs. na ij=1 e
ésima linha

a

n. j = å nij o número de obs. na ji=1
ésima coluna
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais

Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
ni. n. j
nij =
n..
O número de observações em quaisquer
duas linhas ou colunas são proporcionais
 Neste caso, a análise de variância é a
mesma, apenas com algumas modificações
nas somas de quadrados:

Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais

Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
a
SST = å
i=1
b
å
j=1
nij
2
y
2
...
y
å ijk n
..
k=1
a
yi..2 y...2
SSA = å n..
i=1 ni.
b
y.2j.
y...2
SSB = å n..
j=1 n. j
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais

Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
a
SSAB = å
i=1
b
å
j=1
yij.2
y
- - SSA - SSB
nij n..
2
...
SSE = SST - SSA - SSB - SSAB
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Exemplo:

Temperatura
Material
1
15
70
125
130
155
34
40
74
180
80
75
2
159
126
136
115
45
3
138
160
150
139
96

Mostre que é balanceado!
70
58
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Exemplo:

Temperatura
Material
1
15
70
125
130
155
34
40
74
180
80
75
2
159
126
136
115
45
3
138
160
150
139
96

70
58
Exercício: verificar o resultado do R e comparar
com o livro
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Métodos de aproximação:
 Quando os dados não estão “longe” de
serem balanceados.


Faz o problema ficar bem mais fácil, dada
a dificuldade de lidar com dados muito
desbalanceados
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Métodos de aproximação:
 a) Estimar observações faltantes


Se apenas algumas observações faltam

Para um modelo com interação, o
estimador da célula faltante que minimiza
a soma dos quadrados dos erros é y
ij.
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Métodos de aproximação:
 a) Estimar observações faltantes


Então estimamos aquele valor por

A análise procede como usual, exceto que
tiramos graus de liberdade do erro
yij.
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Métodos de aproximação:
 b) Deixar dados de lado

Suponha que em um experimento fatorial
com dois fatores (3 niveis cada), temos 4
observações para cada tratamento, mas
um só tratamento tem 5 observações
 Não compensa estimar todas as outras
observações (18% dos dados)

Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Métodos de aproximação:
 b) Deixar dados de lado


Deixa esta observação de lado e fique
com dados balanceados de n = 4

Escolha uma observação deste
tratamento aleatoriamente
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Métodos de aproximação:
 b) Médias Ponderadas
 Yates(1934)
 Tratar as médias das células como os
dados e fazer a análise usual.

a
MSE =
b
nij
å åå
i=1
(yijk - yij. )2
j=1 k=1
n.. - ab
Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais
Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)
 Métodos de aproximação:
 b) Médias Ponderadas
 Mas MSE estima a variância de 1
observacao y e estamos tratando das
médias de cada célula, então usamos

a
MSE
MSE ' =
å
ab i=1
b
å
j=1
1
nij
Com n.. – ab graus de liberdade
 Grande vantagem computacional

Dados não balanceados em
Modelos Fatoriais

Caso 2: Método exato

Ver artigos citados no livro do
Montgomery

Usar SAS
Exercício

Considere o modelo fatorial de 3 fatores
Yijkl = m + t i + b j + g k + (tb )ij + (bg ) jk + eijk
i = 1…a
 j = 1…b
 k = 1…c
 Note que só há uma replicação. Se todos
os fatores forem fixos, escreva a tabela
ANOVA, incluindo as esperanças dos
erros quadráticos médios.
