Modelo de Mundo Pequeno
Alunos: Arthur Freitas Ramos (afr)
Hugo Neiva de Melo (hnm2)
Roteiro
Introdução
 Experiência de Milgram
 Modelo Exponencial
 Modelo de Watts-Strogatz
 Redes de Mundo Pequeno
 Consequências
 Conclusão

O quão pequeno é o mundo?

1990 – John Guare e a peça “Six Degrees
of Separation”.

Seria apenas um mito, um elemento de
ficção?

Quantos contatos separam uma pessoa de
outra, em qualquer lugar do mundo?
O quão pequeno é o mundo?

Karinthy acreditava que o mundo estava
“encolhendo”.

Obra “Everything is Different” – 5 intermediários.
O quão pequeno é o mundo?

1960 – The Small World Experiment por
Stanley Milgram e Jeffrey Travers.

Queria descobrir o quão conectadas eram
duas pessoas nos EUA.
Experimento de Mundo Pequeno

296 pessoas de Nebraska e Boston.

Destinatário em Massachusetts.

Regras para envio eram:
Experimento de Mundo Pequeno
Adicione seu nome a lista, para que a próxima
pessoa que receber esta carta saiba de onde
ela veio.
2) Retire um cartão postal do fim desta carta,
preencha e retorne-a para a Universidade de
Harvard. Este cartão é importante para que
possamos conferir o progresso desta carta, a
medida que alcança o destinatário.
3) Se você conhecer o destinatário, envie esta
carta diretamente para ele(a). Faça-o apenas
se já houver se encontrado com o destinatário
e o(a) conhecer pelo primeiro nome.
1)
Experimento de Mundo Pequeno
4) Caso não conheça pessoalmente o
destinatário, não tente contatá-lo. Mande esta
carta para um conhecido que você acha que
provavelmente conhece pessoalmente o
destinatário, desde que você conheça
pessoalmente a pessoa para quem você irá
enviar esta carta.
Experimento de Mundo Pequeno
1900ral
1900ral
Número de correntes
1900ral
1900ral
1900ral
N = 64
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Número de intermediários
Experimento de Mundo Pequeno
1900ral
1900ral
1900ral
N = 232
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Número de remoções onde a carta não foi reenviada
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Número de correntes incompletas
1900ral
Modelo de Crescimento Exponencial
Você : 1
 Seus amigos : 100
 Os amigos dos seus amigos : 10000

Modelo de Crescimento Exponencial
Em apenas 5 passos, 1005 pessoas seriam
alcançadas, o que é maior que a população
mundial.

Esse modelo despreza a probabilidade de
cada pessoa ter amigos em comum.

Modelo de Crescimento Exponencial

Porém, um modelo que representa melhor a
realidade é o seguinte:
Modelo de Crescimento Exponencial

O modelo exponencial toma como base que os
amigos de uma pessoa não se conhecem.

Não serve para representar os relacionamentos
sociais no mundo real.

Mundo real – muitos triângulos.

Como é possível então, que as redes sociais
possuem muitos triângulos em escopo local e
mesmo assim constituírem um mundo pequeno?
Modelo de Watts-Strogatz

Essa pergunta continuou sem resposta por
mais de 30 anos após o experimento de
Milgram.

Falta de existência de técnicas e capacidade
computacional para a criação de um modelo
que simulasse as redes sociais.

A solução surge em 1998, com o modelo de
Watts-Strogatz.
Modelo de Watts-Strogatz

Criado por Duncan J. Watts e Steven Strogatz,
em 1998.

Introduz o conceito
clusterização.

Consegue simular tanto redes aleatórias como
as redes sociais do mundo real.
de
coeficiente
de
Coeficiente de clusterização
Construção do grafo

O modelo de Watts-Strogatz usa os seguintes parâmetros:

N -> número de nós;

K -> grau de cada nó;

(0 <= P <= 1) -> coeficiente que modela o grafo, quanto
maior P, maior a desordem;

C -> coeficiente de clusterização;

L -> distância média entre dois nós da rede.
Coeficiente de clusterização
Estudo do grafo
p = 0 (ordenado)
p = 1 (aleatório)
 L (n
L (ln n /ln k)
C (k / n) 0
/ k)
 C 3 / 4

O que acontece com valores de P
intermediários?
Estudo do grafo
Estudo do grafo

P pequeno - diminui consideravelmente L,
mantém C praticamente constante.

P pequeno caracteriza redes de mundo
pequeno.

Condições necessárias: alguma fonte de
ordenação; um pouco de aleatoriedade.
Por que o mundo real é pequeno?

Ordenação -> redes de amigos locais
altamente clusterizadas.

Aleatoriedade -> algum contato que
foge da rede local.
Mundos pequenos

Grade de transmissão de energia nos
EUA:
Número de Bacon

Número de Bacon:
Número de Bacon

http://oracleofbacon.org/
Número de Bacon
Número de pessoas
0
1
1
2512
2
263345
3
846332
4
207260
5
15601
6
1444
7
176
8
29
Facebook

Experiência com 5,8 milhões de usuários.

Distância média: 5,73.

Distância máxima: 12.
Twitter

Estudo da relação de um usuário seguir outro.

5,2 bilhões de relações.

Distância média: 4,67.
Número de Erdõs

Distância “colaborativa” entre o matemático
Paul Erdõs e um outro matemático.
Número de Erdõs
Número de Erdõs
Número de pessoas
0
1
1
504
2
6593
3
33605
4
83642
5
87760
6
40014
7
11591
8
3146
9
819
10
244
11
68
12
23
13
5
Rede neural do C. elegans

Conexões entre neurônios formam uma
rede de mundo pequeno.
Robustez das redes
Hipótese defendida por cientistas como
Barabási.
 São mais robustas em relação às perturbações
que podem ocorrer (ex: remoção aleatória de
um nó).
 O predomínio de redes com características de
mundo pequeno é uma vantagem evolutiva.
 Exemplo: rede de aeroportos e viagens.

Memória de curto prazo

Os neurônios do córtex pré-frontal
responsáveis pelas memórias recentes.
são

As conexões formam uma rede de mundo
pequeno.

Podem estar em dois estados diferentes: ativo
(quando está engajado em “guardar uma
memória”) ou inativo.
Experiência

Simulação do comportamento dos neurônios,
por Sara Solla, Herman Riecke e Alex Roxin:
Experiência

A adição de “atalhos” permite a manutenção
do sinal:
Permeabilidade do solo

Estudo sobre a porosidade das rochas de
um solo permeável.

Descobriu-se que os póros dentro de uma
rocha formam uma rede de mundo pequeno.

A permeabilidade está relacionada à
facilidade de difusão de um fluído dentro da
rocha.
Permeabilidade do solo

A difusão é facilitada devido aos “atalhos”
presentes entre os póros (como rachaduras
ou espaços entre sedimentos).

Apesar disso, a concentração de fluídos nos
póros é dada por uma “probabilidade de
ocupação”.
Permeabilidade do solo
Conclusão
Muitos anos sem avanços teóricos.
 Dificuldades em simular uma rede de mundo
pequeno que reflita a realidade.
 O modelo de Watts-Strogatz descreveu
matematicamente o fenômeno.
 Diversos tipos de rede têm características de
mundo pequeno.

Referências







http://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separati
on
http://en.wikipedia.org/wiki/Small-world_network
http://www.oakland.edu/enp/trivia/
http://cssp.us/pdf/D_Watts_Six_Degrees_CSSP.pdf
http://www.wandora.org/wandora/wiki/index.php?title
=Clustering_coefficient
http://www.cis.upenn.edu/~mkearns/teaching/Networ
kedLife/travers_milgram.pdf
WATTS, Duncan J.; STROGATZ, Steven H..
Collective dynamics of ‘small-world’ networks.
Letters To Nature, New York, p. 440-442. 4 jun.
1998.
Referências
http://online.itp.ucsb.edu/online/brain04/solla/pdf/
Solla.pdf
 http://www.newscientist.com/article/dn5012
 http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1003/1003.48
86v1.pdf
 http://en.wikipedia.org/wiki/Shale
