Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2ª Série
Combinações simples
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
Vítor foi até a lotérica para fazer o seu jogo da Mega-sena. Ele
nunca deixa de fazer a sua aposta. Só que ele não sabe,
exatamente, onde está “pisando”, pois não tem ideia de quantas
combinações são possíveis com os números do cartão. E você,
sabe? Se sua resposta for “não”, aprenda nas próximas páginas.
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Combinações simples
Combinação é um dos tipos de agrupamentos estudados na
Análise Combinatória.
O sorteio dos números da Mega-sena é um caso de combinação,
pois se refere a um tipo de sorteio no qual a sequência em que os
números são sorteados não interfere no resultado final, ou seja,
sortear os números 14, 37, 02, 51, 17 e 28 é a mesma coisa que
sortear 37, 28, 14, 17, 02 e 51.
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Combinações simples
A Análise Combinatória tem por finalidade o estudo das
propriedades dos diversos agrupamentos que se podem formar,
segundo leis pré-estabelecidas, com um número finito de
elementos de natureza qualquer.
Dentre os vários tipos de agrupamentos que são estudados na
Análise Combinatória, destacam-se:
• A permutação simples;
• O arranjo simples;
• A combinação simples.
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Combinações simples
A Análise Combinatória, em particular, propõe-se pesquisar regras
que permitam formar todos esses agrupamentos e calcular seu
número.
Exemplos:
- De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem sentar-se
nos bancos de um carro, sendo um no banco do motorista, um no
banco do passageiro e três no banco traseiro?
- Quantas sequências diferentes são possíveis para se assistir a
três filmes selecionados em uma lista com cinco filmes?
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Combinações simples
Nas resoluções dos problemas, envolvendo Análise Combinatória,
em particular nas combinações, os objetos que vamos utilizar serão
denotados por meio das letras do alfabeto, a, b, c, d, ..., m ou por
meio de uma mesma letra acompanhada de índices a1, a2, a3, a4, ...,
an e, algumas vezes, pelos números, 1, 2, 3, ..., n.
Obviamente, o mais importante, na realização dos cálculos, é o
número desses objetos e não o objeto em si.
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Combinações simples
Admitindo-se que o conjunto dado tenha n objetos, dele extrairemos
um agrupamento contendo p objetos (p  n), que suporemos
dispostos linearmente e segundo uma ordem arbitrária, a1, a2, a3, a4,
..., ap. Um agrupamento diz-se de ordem p, quando contém,
justamente, p objetos.
Exemplo: Um júri foi formado por 7 pessoas, selecionadas de um
grupo de 21 pessoas. Neste caso, temos um agrupamento de
ordem 7 (as 7 pessoas que formam o júri).
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Combinações simples
Chamam-se combinações simples de n elementos tomados p a p (p
 n) aos agrupamentos formados com p elementos, diferindo entre si
pela espécie.
Dizemos
ainda:
Denominam-se
combinações
simples
de
n
elementos tomados p a p (p  n), aos diferentes conjuntos que
contêm p elementos, sem referência à ordem.
Representa-se o número de cominações simples de n elementos
tomados p a p pela notação:
Cn,p ou
ou
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Combinações simples
Fórmula das Combinações Simples
O número de combinações simples de n elementos tomados p a p é
igual a uma fração, cujo denominador é o produto dos p primeiros
números naturais e cujo numerador é o produto dos p inteiros
consecutivos decrescentes a partir de n.
Assim:
Cn,p =
n!
p! (n – p)!
.
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Combinações simples
Propriedades das Combinações
1. O número de combinações de n elementos tomados p a p é igual
ao número de combinações de n elementos tomados n – p a n – p.
Exemplo: Havendo 8 pessoas para se formar uma comissão, o
número de combinações possíveis com 3 pessoas é igual ao
número de combinações possíveis com 5 pessoas, ou seja, C8,3 =
C8,5, pois 3 + 5 = 8.
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Combinações simples
Propriedades das Combinações
2. O número de combinações de n elementos tomados p a p, que
contêm r elementos dados, é expresso por Cn-r,p-r.
Exemplo: Em um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma
comissão com 5 pessoas de forma que João e Maria façam parte
dessa comissão. De quantas maneiras podemos formar essa
comissão? Assim, a resposta será dada por C10-2, 5-2 = C8,3 = 56.
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Combinações simples
Propriedades das Combinações
3. O número de combinações de n elementos tomados p a p que
não contêm r elementos dados, é expresso por Cn-r,p.
Exemplo: em um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma
comissão com 5 pessoas de forma que Pedro não faça parte dessa
comissão. De quantas maneiras podemos formar essa comissão?
Assim, a resposta será dada por C10-1, 5 = C9,5 = 126.
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
Se na fórmula das combinações simples fizermos p = n, vem:
Cn,n =
n!
n! 0!
ou 1 = 1 .
0!
que justifica a convenção 0! = 1.
Convém notar as relações:
Cn,n = 1 e Cn,1 = n.
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Combinações simples
Os números representados pelo símbolo Cn,p são denominados
números combinatórios.
Dois números combinatórios dizem-se complementares quando a
soma dos segundos índices reproduz o primeiro.
Dois números combinatórios complementares são iguais.
Cn,p = Cn,n-p (primeira propriedade das combinações)
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Combinações simples
Relação de Stifel
O número de combinações de n elementos tomados p a p é igual
ao número das combinações de n – 1 elementos p a p, somado ao
número das combinações de n – 1 elementos tomados p – 1
a p – 1.
Cn,p = Cn-1,p-1 + Cn-1,p
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
Teorema
Desenvolvendo a Relação de Stifel chegamos ao seguinte
teorema:
O número de combinações de n elementos tomados p a p, é igual
à soma dos números de combinações que se podem fazer
sucessivamente, com n – 1, n – 2, n – 3, ..., p, p – 1 elementos,
tomados sempre p – 1 a p – 1.
Cn,p = Cn-1,p-1 + Cn-2,p-1 + Cn-3,p-1 + ...+ Cp,p-1 + Cp-1,p-1
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
Agora, baseados nessas informações, vamos ajudar Vítor a descobrir
quantas são as combinações possíveis dos 60 números do cartão da
Mega-sena tomados 6 a 6.
Dados n = 60 e p = 6, teremos:
C60,6 =
60!
.
6!(60 – 6)!
Ou seja:
C60,6 = 60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55 ∙ 54!
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 54!
Que nos dá:
C60,6 = 50 063 860 possibilidades.
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Combinações simples
Atividades Resolvidas
1) Um garoto gostaria de convidar 7 amigos para um acampamento,
porém só há lugar para 4 amigos na barraca. Calcular de quantas
maneiras o garoto pode escolher 4 amigos entre 7.
Temos, portanto, um problema de combinação, pois a ordem de
escolha dos 4 garotos não é importante. Logo:
C7,4 =
7!
4!(7 – 4)!
 C7,4 = 7∙6∙5∙4!  C7,4 = 210
4!3∙2∙1
6
C7,4 = 35 maneiras
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
2) Os 32 alunos de uma classe devem fazer um trabalho em equipes
de 4 pessoas. Há 20 garotas e 12 garotos. Quantas equipes podem
ser formadas:
a) Se não houver restrições quanto ao sexo?
b) Com 2 garotas e 2 garotos?
a) Nesse caso, as 4 pessoas devem ser escolhidas entre o total de
32 alunos. Assim:
C32,4 =
32!
4!(32 – 4)!
 C32,4 = 32∙31∙30∙29∙28!
4∙3∙2∙1∙28!
C32,4 = 35 960 equipes
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
b) Nesse caso a escolha deve ser feita em duas etapas:
E1: escolher 2 das 20 garotas;
E2: escolher 2 dos 12 garotos.
Pelo princípio multiplicativo, temos:
C20,2 ∙ C12,2 =
20!
2!(20 – 2)!
.
12!
.
2!(12 – 2)!
C20,2 ∙ C12,2 = 190 ∙ 66
C20,2 ∙ C12,2 = 12 540 equipes
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
3) Para fazer uma aposta da Lotofácil, devemos marcar 15 números
entre os 25 constantes no volante. De quantas maneiras é possível
preencher um cartão da Lotofácil?
Mais uma vez, como a ordem na escolha dos números não muda a
aposta, teremos:
C25,15 =
25!
.
15!(25 – 15)!
C25,15 = 3 268 760 maneiras
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
4) Considerando 6 pontos, pertencentes a um mesmo plano e
distribuídos de tal forma que 3 pontos não seja colineares,
determinar quantos triângulos podem ser formados com 3 desses
pontos como vértices.
A ordem em que tomamos os vértices de um triângulo não altera o
triângulo. Logo, temos um problema envolvendo combinação.
C6,3 =
6!
3!(6 – 3)!
= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3!
C6,3 = 20 triângulos
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
Atividades Propostas
1) Uma comissão de quatro membros deve ser escolhida entre sete
pessoas. De quantos modos diferentes essa comissão pode ser
formada se seus componentes terão funções idênticas?
2) Cada uma das dez equipes que disputam um campeonato de
futebol enfrenta cada uma das demais, uma única vez. Quantos jogos
compõem esse campeonato?
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
3) Uma salada de frutas deve conter quantidades iguais de quatro
tipos de frutas escolhidas entre uva, maçã, laranja, mamão,
morango e melão. Quantas saladas diferentes podem ser
preparadas se maçã e laranja forem ingredientes obrigatórios?
4) Uma equipe formada por dois arquitetos e por três engenheiros
será escolhida entre cinco arquitetos e seis engenheiros. De
quantas maneiras diferentes essa equipe pode ser formada?
MATEMÁTICA, 2º Ano
Combinações simples
5) Gabriel e Maísa fazem parte de um grupo de dez pessoas, sete
das quais serão escolhidas para formarem um júri em que todos os
jurados terão funções idênticas. Do total de júris que podem ser
formados:
a) Quantos contém Gabriel e Maísa?
b) Quantos não contém Gabriel nem Maísa?
c) Quantos contém Maísa e não contém Gabriel?