Probabilidade
• Modelo matemático para incerteza
• Desenvolvimento relativamente recente
– Cardano (século XVI)
– Pascal (século XVII)
• Peter Bernstein, Against the Gods
Primeira Tentativa
• Espaço amostral (W): resultados possíveis
para um experimento aleatório.
• Probabilidade: número não negativo
atribuído a cada um destes resultados, de
modo que a soma seja 1 (intuição:
frequência a longo prazo)
Primeira Tentativa
• Adequado para o caso discreto
W = {w1, w2, ...}
p1 +p2 + ...
= 1
Para cada A  W , P(A) = wi  A P(wi)
Como atribuir probabilidades?
• Estatística: estimar através de frequência
observada
• Explorar simetria: modelos equiprováveis
W = {w1, w2, ..., wn }
p1 = p2 = ... = pn = 1/n
• Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc
Exemplo
• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes.
Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral: W = {0, 1, 2, 3} (número
de caras)
• Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.
Exemplo
• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes.
Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral: W = {0, 1, 2, 3} (número
de caras)
• Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.
Exemplo
• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes.
Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
• Espaço amostral:
W = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}
• Probabilidade de sair 2 caras =
P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.
Observação
• É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de
ocorrer?
• E kkkkkkkkkk e ckkckckckk?
• Mega-sena: 1-2-3-4-5-6 e 7-16-24-28-41-52?
• Nassim Taleb, Fooled by Randomness
Exemplo
• Uma urna tem 6 bolas idênticas, numeradas
de 1 a 6. Dois jogadores se alternam
retirando bolas da urna. O primeiro a tirar o
6 vence. É preferível ser o primeiro ou o
segundo a jogar? Qual é a chance de vitória
de cada um?
• Dois casos:
– Sem reposição
– Com reposição
Sem reposição
Sem reposição
• Chances iguais de vitória
W = {permutações de 1, 2, …, 6}
(equiprováveis)
• O número de permutações em que o 6
ocorre nas posições pares é igual ao número
de permutações em que ocorre em posição
ímpar
Com reposição
Com reposição
• W = {1, 2, 3, 4, …} (lançamento em que o 6 sai
pela primeira vez)
• [1o vence] = {1, 3, 5, …}
P({1}) = 1/6
P({3}) = 5/6. 5/6. 1/6
P({5}) = 5/6. 5/6. 5/6. 5/6 . 1/6
P(1o
1 25 1  25 
vence) =  .   
6 36 6  36 
2
1
1
6
.  ...  6 
25 11
6
1
36
Exemplo: programa de prêmios
Exemplo: programa de prêmios
Exemplo: programa de prêmios
Exemplo: programa de prêmios
O candidato deve trocar de porta ou permanecer com a
escolhida?
Exemplo: programa de prêmios
• Solução: deve trocar, porque se não trocar
só ganha se acertar a porta, o que ocorre
com probabilidade 1/3.
Caso contínuo
• Roleta “real”, com números de 0 a 360.
• Qual é a probabilidade de tirar resultado
igual a 316,43?
• Qual é a probabilidade de tirar resultado
igual a maior que 300?
Caso contínuo
• Roleta “real”, com números de 0 a 360.
• Qual é a probabilidade de tirar resultado
igual a 316,43?
zero
• Qual é a probabilidade de tirar resultado
igual a maior que 300?
1/6
Caso contínuo
• Probabilidade de eventos não pode ser
calculada simplesmente somando as
probabilidades associadas a pontos de W.
• Necessidade de atribuir probabilidades
diretamente aos subconjuntos de W.
• Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da
Medida)
Modelo Probabilístico Revisado
• Espaço amostral (W): conjunto de resultados
possíveis para um experimento aleatório.
• s-álgebra de eventos (A): subconjuntos de
W aos quais se atribui probabilidade.
W  A,
A  A  Ac  A , Ai  A   Ai  A
• Probabilidade (P): função definida em A
P(A)  0, P(W) =1, P( Ai ) = i P(Ai) (Ai disjuntos 2 a 2)
Consequências
•
•
•
•
P(Ac) = 1 – P(A)
P() = 0
An  A  P(An)  P(A)
An  A  P(An)  P(A)
Caso discreto
• A = todos os subconjuntos de W.
• Probabilidades pi atribuídas aos eventos
unitários {wi} (como antes)
Caso contínuo
• W=R
• A = menor s-álgebra que contém todos os
intervalos (s-álgebra de Borel)
• Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou aos
intervalos da forma (–, x]) (tipicamente através
da integral de uma função de densidade)
• Por exemplo, no caso da roleta:
1
ba
P([ a, b])  
dx 
360
360
a
b
Probabilidade Condicional
• Probabilidade condicional do evento A na certeza
do evento B
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)
• Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse o
novo espaço amostral.
Exemplo
• Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4,
qual é a probabilidade condicional de ter saído 1 no
primeiro lançamento?
W = {(1,1), …, (6, 6)}
A = [1 no 1o] = {(1, 1), …, (1, 6)}
B = [soma 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
AB = {(1, 3)}
P( A  B) 1 / 36 1
P( A | B) 


P( B)
3 / 36 3
Observação
• De P( A | B)  P( A  B) , resulta:
P( B)
P(AB) = P(B). P(A | B) = P(A) . P(B | A)
• A e B são independentes quando
P(AB) = P(A). P(B)
Exemplo
• Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas.
As bolas são retiradas sequencialmente, sem
reposição.
Exemplo
1) Probabilidade de a 1a bola retirada ser
branca?
Exemplo
2) Probabilidade de a 1a bola retirada ser
branca e a 2a preta?
Exemplo
3) Probabilidade de a 2a bola retirada ser
preta?
Exemplo
4) Probabilidade de a 1a bola retirada ter sido
preta sabendo que a 2a foi branca?
Teoremas
• Sejam B1, B2, … disjuntos 2 a 2 tais que Bi = W
• Probabilidade Total
P( A)  P( B1 ).P( A | B1 )  P( B2 ).P( A | B2 )  ...
• Bayes
P( B1 ).P( A | B1 )
P( B1 | A) 
P( B1 ).P( A | B1 )  P( B2 ).P( A | B2 )  ...
Exemplo
• Em uma população, 1% das pessoas têm
uma certa doença. Um exame para esta
doença tem probabilidade de falso-positivo
igual a 2% e de falso negativo igual a 1%.
Se uma pessoa escolhida ao acaso é
examinada e o exame dá positivo, qual é a
probabilidade de que ela tenha a doença?
Solução
• Dados:
P(Doente) = 0.01
P(Positivo|Doente) = 0.99
P(Positivo|Doentec) = 0.02
• Pede-se:
P(Doente|Positivo)
Solução
P
0,99
0,01
D
0,01
0,99
Dc
P
0,02
0,98
Solução
P
0,99
0,01
D
0,01
0,99
Dc
P
0,02
0,98
P( D  P)
0,01.0,99
1
P( D | P) 


P( P)
0,01.0,99  0,99.0,02 3