GEOMETRIA ANALÍTICA
1 - Introdução
A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através
de processos particulares , estabelece as relações existentes
entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma
circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades
estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século
XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René
Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas
(assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a
representação numérica de propriedades geométricas. No seu
livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a
célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja:
"Penso, logo existo".
PONTO
Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência
biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e
vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita
(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u,
unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos
determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
• Medida algébrica de um segmento
•
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA
e xB , temos:
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que
corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem
desse segmento.
PLANO CARTESIANO ORTOGONAL
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y
perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo
das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY).
Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais,
obtém-se o plano cartesiano ortogonal.
O termo ortogonal refere-se ao perpendicularismo entre os eixos.
Onde as retas x e y se encontram é formado um
ponto, que é chamado de ponto de origem.
•
O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um
quadrante.
Observe o plano cartesiano nos quatro quadrantes
•
•
•
Exemplos:
A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)
•
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.
Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do
eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas.
O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado.
• O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P.
O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P.
(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P.
Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano
ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas.
Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão
indicados.
• O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante.
O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x.
O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante.
O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante.
O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante.
O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.
Distância entre dois pontos
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância
entre eles, temos:
• Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
• Solução:
Exercícios:
1. Dado o diagrama, determine as coordenadas dos pontos marcados no sistema
cartesiano ortogonal abaixo:
2. Represente, no plano cartesiano ortogonal, os pontos:
A(-1,4); B(3,3); C(2,-5); M(-2,-2); P(4,1); Q(2,-5); D(-2,0); H(0,1); K(5,0)
3. Responda:
a) Quais são as coordenadas da origem?
b) Qual é o ponto projeção de A(0,-4) sobre o eixo x?
c) Em que quadrante se encontra o ponto A(-5,3)? E o ponto B(-5,-3)?
d) Se um ponto A tem abscissa diferente de zero e ordenada nula, em que
eixo o ponto se encontra?
e) Se um ponto P está na bissetriz do 1° e 3° quadrantes, podemos dizer que
as coordenadas são iguais?
Bissetriz dos quadrantes ímpares
A bissetriz dos quadrantes ímpares é determinada por uma reta que
intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos quadrantes I e III.
• O coeficiente angular será igual a m = tg 45° = 1. Um dos seus
pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta
b terão as ordenadas e abscissas iguais, por exemplo, (4,4),
(5,5), (6,6), (7,7),... .
• A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y
= x.
Bissetriz dos quadrantes pares
A bissetriz dos quadrantes pares é determinada por uma reta
que intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos
quadrantes II e IV.
• O coeficiente angular será igual a m = tg 135° = -1. Um dos seus
pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta b
terão os valores das ordenadas opostos aos valores das abscissas,
por exemplo, (4,-4), (5,-5), (6,-6), (7,-7),... .
• A bissetriz dos quadrantes pares é a reta y = -x.
Ponto médio
Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao
meio, temos:
• Assim:
• Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
Baricentro de um triângulo
Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os
pontos médios dos lados
,
respectivamente. Portanto,
são as medianas desse
triângulo:
• a mediana de um triângulo é a reta que liga um vértice deste triângulo ao
ponto médio do lado oposto a este vértice. As três medianas de um
triângulos são concorrentes e se encontram no centro de massa, ou
baricentro do triângulo.
Portanto, chamamos de baricentro (G) o ponto de
intersecção das medianas de um triângulo.
Cálculo das coordenadas do baricentro
• Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices
de um triângulo:
Condições de alinhamento de três pontos
Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão
alinhados, então:
Exemplo: Verifique se os pontos A(2,1), B(-3,-2) e
C(4,5), estão alinhados: