Jacob Palis
Euclides Roxo
David Hilbert
George F. B. Riemann
George Boole
Niels Henrik Abel
Karl Friedrich Gauss
René Descartes
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Nicolaus Bernoulli II
2
Matemática
SUMÁRIO DO VOLUME
MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
5
1. Noções Básicas
1.1 Introdução
1.2 Eixo orientado
1.3 Sistema cartesiano ortogonal
1.4 Localização de pontos
1.5 Distância entre dois pontos
1.6 Razão de secção
1.7 Ponto médio de um segmento
1.8 Baricentro de um triângulo
1.9 Condição de alinhamento de três pontos
5
5
5
6
6
10
12
13
13
16
2. Noções sobre retas
2.1 Introdução
2.2 Posições Genéricas
2.3 Tipos de equação de reta
2.4 Interseção de duas retas
20
20
20
21
25
3. Teoria Angular
3.1 Condição de paralelismo
3.2 Condição de Perpendicularismo
3.3 Ângulo agudo entre duas retas
3.4 Distância de ponto a reta
31
31
32
38
41
4. Áreas de polígonos
4.1 Introdução
4.2 Área de Triângulo
4.3 Área de polígono não entrelaçado
45
45
45
46
5. Noções sobre circunferência
5.1 Introdução
5.2 Deﬁnição
5.3 Equação reduzida
5.4 Equação geral
51
51
51
51
52
GEOMETRIA PLANA
58
6. Noções Básicas
6.1 Introdução
6.2 Postulados da determinação
6.3 Semirreta
6.4 Segmento de reta
6.5 Ângulo
6.6 Retas no plano
6.7 Distância de ponto a reta
6.8 Distância entre retas paralelas
6.9 Mediatriz de segmento
58
58
58
59
59
62
65
66
66
66
7. Polígonos
7.1 Introdução
7.2 Deﬁnições
7.3 Nomenclatura
7.4 Triângulo
7.5 Quadrilátero convexo
7.6 Polígonos convexos quaisquer
70
70
70
71
71
92
101
8. Circunferência
8.1 Introdução
8.2 Deﬁnições e elementos
8.3 Posição relativa entre ponto e circunferência
8.4 Posição relativa entre reta e circunferência
8.5 Posição relativa entre duas circunferências
8.6 Ângulos na circunferência
8.7 Polígono inscrito numa circunferência
8.8 Polígono circunscrito a uma circunferência
107
107
107
108
109
110
115
122
123
9. Elementos notáveis de um triângulo
9.1 Introdução
9.2 Base média
9.3 Pontos notáveis
131
131
131
131
SUMÁRIO COMPLETO
MATEMÁTICA
Volume 1
UNIDADE: GEOMETRIA ANALÍTICA
1. Noções Básicas
2. Noções sobre retas
3. Teoria Angular
4. Áreas de polígonos
5. Noções sobre circunferência
UNIDADE: GEOMETRIA PLANA
6. Noções Básicas
7. Polígonos
8. Circunferência
9. Elementos notáveis de um triângulo
Volume 2
UNIDADE: GEOMETRIA ANALÍTICA
10. Noções sobre cônicas
11. Reconhecimento de equações e lugares geométricos
12. Duas curvas no plano
13. Regiões planas
UNIDADE: GEOMETRIA PLANA
14. Segmentos proporcionais
15. Relações métricas no triângulo retângulo
16. Relações métricas num triângulo qualquer
17. Relações métricas no círculo
18. Relações métricas num polígono regular
19. Medidas lineares na circunferência
20. Noções sobre áreas
Volume 3
UNIDADE: GEOMETRIA ESPACIAL
21. Poliedros convexos
22. Noções sobre prisma
23. Noções sobre pirâmides
24. Noções sobre cilindro
25. Noções sobre cone circular
26. Noções sobre esfera
27. Inscrição e circunscrição
UNIDADE: ÁLGEBRA II
28. Noções sobre números complexos
29. Noções sobre polinômios
30. Noções sobre equações algébricas (Polinomiais)
5
Matemática
Noções Básicas
GEOMETRIA ANALÍTICA
1. NOÇÕES BÁSICAS
1.1 Introdução
O
filósofo e matemático francês René
Descartes (1596-1650), com o objetivo de
transferir às demais ciências os métodos
matemáticos, associou a Álgebra à Geometria
Euclidiana, criando a Geometria Analítica
(ou Geometria Cartesiana).
Essa associação permite expressar, de forma
bem sintetizada, as relações entre grandezas,
proporcionando uma interpretação imediata das
informações relativas a essas grandezas.
Para formalização dessa associação, foi necessária
a criação de alguns elementos, tais como eixo
orientado, plano cartesiano, coordenadas e par
ordenado, dentre outros. Esses elementos serão
conceituados e estudados a seguir.
• Sugestão de pesquisa:
Pesquise sobre os trabalhos de René Descartes e
você verá que ele trouxe grandes contribuições para
o avanço das ciências em geral.
• a Idade Antiga inicia-se por volta de 4000 a.C. e
termina por volta de 476 depois de Cristo (d.C.),
com a queda do Império Romano. Nesse período,
a partir do ano 1, inicia-se a Era Cristã;
• a Idade Média inicia-se em 476 (d.C.) e estende-se
até 1453, com a tomada de Constantinopla pelos
turcos otomanos;
• a Idade Moderna inicia-se em 1453 e estende-se
até 1789, com o início da Revolução Francesa;
• a Idade Contemporânea inicia-se em 1789 e
estende-se até os dias de hoje.
Formalmente, dizemos que eixo orientado
é a reta na qual se tomam um ponto (O) como
origem (marco zero), uma unidade arbitrária para
identificação dos números inteiros e um sentido
de orientação positiva. Nesse aparato, os demais
números reais são localizados entre dois números
inteiros, conforme figura a seguir:
Formalmente, consideremos A e B dois pontos
de um eixo orientado, associados aos números xA
e xB, respectivamente, conforme figura a seguir:
1.2 Eixo orientado
A
xA
E
m diversas situações, nas quais apenas uma
grandeza precisa ser representada (analisada), usase um recurso gráfico chamado eixo orientado
para avaliar essa grandeza.
Tomemos como exemplo a “periodização
didática da História”:
B
xB
+
A distância entre esses pontos pode ser calculada
como segue:
AB = |xA – xB| ou AB = |xB – xA|
Exercício resolvido
1
Seja A um ponto de um eixo orientado,
associado ao número 3. Obtenha o número
associado ao ponto que dista 8 unidades de A.
Resolução:
Seja xB o número procurado:
3
A
Com uma simples análise visual desse gráfico,
podemos verificar que:
• por volta de 4 000 anos antes de Cristo (a.C.),
termina a Era Pré-Histórica e inicia-se a História,
com a invenção da escrita;
xB
B
Da deﬁnição, temos:
AB = |xA – xB| ⇒ 8 = |3 – xB|
–8 = 3 – xB ⇒ xB = 11
8 = 3 – xB ⇒ xB = –5
∴ O número procurado pode ser –5 ou 11.
6
Matemática
Noções Básicas
1.3 Sistema cartesiano ortogonal
N as
situações em que duas grandezas
se relacionam, o recurso gráfico a ser
considerado é aquele que associa cada grandeza
a um eixo orientado. Desse modo, cada
informação completa, chamada de par ordenado,
será composta por duas informações parciais
(as quais serão chamadas de coordenadas), cada
uma associada ao seu respectivo eixo orientado.
Nesse nosso estudo, adotaremos um sistema
de coordenadas no qual os eixos orientados são
perpendiculares entre si. Esse sistema recebe o
nome de sistema cartesiano ortogonal (o termo
cartesiano refere-se a Cartesius, nome de René
Descartes em latim).
Convencionalmente, nesse sistema, a primeira
coordenada recebe o nome de abscissa, e a segunda
recebe o nome de ordenada.
Exemplo:
• Os pontos A, B e C da figura representam,
respectivamente, as pessoas de nomes: Antônio,
Beatriz e Cristina.
Essa representação foi feita a partir das alturas
(abscissas) e das idades (ordenadas) de cada uma
dessas pessoas.
Uma simples visualização do gráfico permite
verificar que:
• Antônio é o de menor estatura (abscissa hA) e
o que tem a menor idade (ordenada IA). Desse
modo, o ponto A pode ser representado pelo par
ordenado A (hA, IA);
• Beatriz é a mais alta e tem idade situada entre a
de Antônio e a de Cristina. O ponto B pode ser
representado pelo par ordenado B (hB, IB);
• Cristina tem estatura situada entre a de Antônio e
a de Beatriz e é a que tem a maior idade. O ponto C
pode ser representado pelo par ordenado C (hC, IC).
Formalmente, dizemos que o sistema cartesiano
ortogonal é constituído por dois eixos orientados,
→
→
Ox e Oy , perpendiculares entre si. Por
comodidade, esses eixos são tomados na horizontal
→
→
(Ox ) e na vertical (Oy ). Assim:
→
• o eixo Ox é chamado eixo das abscissas.
→
• o eixo Oy é chamado eixo das ordenadas.
→
→
• o ponto O, intersecção dos eixos Ox e Oy , é
chamado de origem.
y
O
x
Um sistema assim definido é denotado por
sistema cartesiano ortogonal xOy.
1.4 Localização de pontos
D e modo formal, estabelecido o sistema xOy,
podemos localizar qualquer ponto do plano por
meio de um par ordenado (x, y) de números reais.
Assim, dado um ponto P(xP, yP) do plano, temos
que:
• o número real xP é chamado abscissa do ponto P;
• o número real yP é chamado ordenada do ponto P;
• os números reais x P e y P são chamados
coordenadas do ponto P.
→
• um ponto situado sobre o eixo Ox tem ordenada
→
nula e um ponto situado sobre o eixo Oy tem
abscissa nula.
• dois pares ordenados são iguais quando
representam o mesmo ponto. Assim:
A(xA, yA) = B(xB, yB) ⇒ xA = xB e yA = yB.
→
→
Os dois eixos (Ox e Oy ) dividem o plano em
quatro regiões (Fig. 1) denominadas quadrantes,
cuja identificação é feita no sentido anti-horário
(Fig. 2), como sendo (I Q., II Q., III Q. e IV Q.).
7
Matemática
Noções Básicas
De um modo geral:
• se P ∈ 1o quadrante, então: xP > 0 e yP > 0
• se P ∈ 2o quadrante, então: xP < 0 e yP > 0
• se P ∈ 3o quadrante, então: xP < 0 e yP < 0
• se P ∈ 4o quadrante, então: xP > 0 e yP < 0
Exercícios de sala
4
Seja A um ponto do eixo das abscissas,
associado ao número –3. Obtenha, nesse eixo,
um ponto B, tal que AB2 = 16.
5
Represente cada ponto a seguir e indique a
qual(is) quadrante(s) pertence cada um:
a) A(2, 4)
c) C(0, 3)
b) B(– 2, – 3)
d) D( – 2, 0)
6
Se P(a, b) pertence ao IV quadrante, a qual
quadrante pertence o ponto Q em cada caso?
a) Q(a, – b)
b) Q(b, – a)
7
Determine m para que o ponto M(m, m – 2)
pertença:
• Para discutir com os colegas:
A qual quadrante pertence a origem O(0, 0) do
sistema cartesiano ortogonal?
Exercícios resolvidos
2
O ponto (a, b) pertence ao III quadrante.
A qual quadrante pertence o ponto Q (a, –b)?
Resolução:
Se P(a, b) pertence ao III quadrante, temos
então que: a ≤ 0 e b ≤ 0.
Desse modo, a ordenada – b do ponto Q será
tal que (– b) ≥ 0. Assim, Q(a, – b) pertence ao
II quadrante, pois a ≤ 0 e (– b) ≥ 0.
∴ O ponto Q(a, – b) pertence ao II quadrante.
3
Estude, em função de m, a posição do ponto
P(m2 – 4, m + 3) em relação aos quadrantes.
Resolução:
Primeiramente, obteremos as raízes das
expressões:
expressão da abscissa: m2 – 4 = 0 ⇒ m = ± 2
expressão da ordenada: m + 3 = 0 ⇒ m = – 3
Agora, vamos fazer o estudo de sinal:
Para m < – 3, temos m2 – 4 > 0 e m + 3 < 0,
estando o ponto no IV quadrante.
Para – 3 < m < – 2, temos m2 – 4 > 0 e m + 3 > 0,
estando o ponto no I quadrante.
Para – 2 < m < 2, temos m2 – 4 < 0 e m + 3 > 0,
estando o ponto no II quadrante.
Para m > 2, temos m2 – 4 > 0 e m + 3 > 0,
estando o ponto no I quadrante.
→
a) ao eixo Oy ;
→
b) ao eixo Ox .
8
Matemática
Noções Básicas
8
Sabendo que P(2m – 6, – 3m + 6) pertence
ao terceiro quadrante, determine os possíveis
valores reais de m.
Três objetos puntiformes, P1, P2, e P3,
encontram-se em repouso sobre um mesmo
plano. Suas características são dadas a seguir,
sendo expressas por m(x, y), em que m é
a massa em kg e (x, y) são as coordenadas
cartesianas em metros:
P1 ≡ 2(0, – 1); P2 ≡ 1(1, 0); P3 ≡ 2(2, 6)
a) Qual o centro de massa desse sistema?
b) Qual deve ser o ponto, de massa 1 kg, que
deve ser acrescentado ao sistema, de modo
que o centro de massa seja o ponto P(2, 4)?
9
Sabe-se que os pontos da bissetriz de um
ângulo são equidistantes dos lados desse
ângulo. Baseado nesse fato, dê a condição
para que um ponto P(xP, yP) pertença:
a) à reta bissetriz dos quadrantes pares;
b) à reta bissetriz dos quadrantes ímpares.
10 Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares
é tal que a soma de suas coordenadas é 10.
Qual é esse ponto?
12 O gráﬁco a seguir mostra os pontos P1, P2,
P3, ..., P15, que se referem a três dias de uma
certa pesquisa. Dentre esses quinze pontos,
nove, sendo três a cada dia, representam
o consumo de três alimentos pesquisados
(legumes, arroz e carne).
11 Sabe-se, da Física, que as coordenadas (x , y )
do centro de massa de um conjunto de objetos
puntiformes e coplanares é dado por:
x1 . m1 + x2 . m2 + ... + xi . mi
x =
m1 + m2 + ... + mi
y =
y1 . m1 + y2 . m2 + ... + yi . mi
m1 + m2 + ... + mi
sendo xi a abscissa, yi a ordenada e mi a massa
do objeto situado no ponto Pi (xi, yi).
Matemática
Noções Básicas
A pesquisa consistia em descobrir quantos
quilogramas (kg) de cada produto eram consumidos
nos três primeiros dias de um certo mês, numa
certa comunidade. Os resultados obtidos foram
marcados nesta tabela.
Alimento
Dia
1o
2o
3o
Legumes
Arroz
Carne
3
1
2,5
1,5
1
3
2,5
1,5
3
Nessas condições, indique na tabela a seguir,
em cada dia, quais os pontos que representam
os produtos:
Alimento
Dia
1o
Legumes
Arroz
Carne
2o
Exercícios propostos
14 (MACK-SP) Identiﬁque a sentença falsa:
a) O ponto (0, 2) pertence ao eixo y.
b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x.
c) O ponto (500, 500) pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
d) O ponto (80, –80) pertence à bissetriz dos
quadrantes pares.
e) O ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz
dos quadrantes pares.
15 (USJT-SP) O valor de k para que o ponto
P = (4k – 1; 2k + 3) pertença à bissetriz dos
quadrantes ímpares é:
a) –3
b) 2
c) 4
d) –1
e) 0
16 (UFMG) Os pontos (a, b) e (c, d) estão
representados na ﬁgura.
3o
13 Sabe-se, da Óptica Geométrica, que a imagem
de um objeto puntiforme, obtida através de um
espelho plano, situa-se numa posição simétrica
desse objeto em relação ao espelho, conforme
ﬁgura a seguir:
O ponto (a + b, c – d ) está situado no:
a) 1o quadrante.
d) 4o quadrante.
→
o
e) eixo Ox.
b) 2 quadrante.
c) 3o quadrante.
→
Nessas condições, supondo que os eixos Ox
→
e Oy representem perﬁs de espelhos planos,
dê as coordenadas das imagens de um objeto
puntiforme, situado no ponto A(2, 3), em relação
a esses espelhos, respectivamente:
17 (FUVEST) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n)
representam o mesmo ponto do plano cartesiano,
então mn é igual a:
a) – 2
b) 0
c) 2
d) 1
e) 1
2
18 (UFPE) No gráﬁco a seguir, temos o nível da
água armazenada em uma barragem, ao longo
de três anos.
O nível de 40 m foi atingido quantas vezes
neste período?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9
10
Matemática
Noções Básicas
19 (UFPE) Na questão a seguir, escreva nos
parênteses a letra V se a aﬁrmativa for
verdadeira ou F se for falsa. O gráﬁco a seguir
fornece o perﬁl do lucro de uma empresa
agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano
zero, ou seja, o ano de sua fundação.
AB2 = AC2 + BC2 ⇒ AB2 = |xB – xA|2 + |yB – yA|2
Evidentemente, |xB – xA|2 = (xA – xB)2 e
Analisando o gráﬁco, podemos aﬁrmar que:
( ) 10 foi o único ano em que ela foi deﬁcitária.
( ) 20 foi o ano de maior lucro.
( ) 25 foi um ano deﬁcitário.
( ) 15 foi um ano de lucro.
( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da
fundação até o ano 15.
20 (UFMG) Seja P = (a, b) um ponto no plano
cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1.
As retas paralelas aos eixos coordenados que
passam por P dividem o quadrado de vértices
(0, 0), (2, 0), (0, 2) e (2, 2) nas regiões I, II, III e
IV, como mostrado nesta ﬁgura:
|yB – yA|2 = (yA – yB)2. Então:
AB = (xA – xB)2 + (yA – yB)2
Exercícios resolvidos
21 Qual a medida do segmento AB de vértices
A(2, 4) e B(– 6, 10)?
Resolução:
A medida de AB é igual à distância entre A e B.
Assim:
AB = (xA – xB)2 + (yA – yB)2
AB = 64 + 36
⇒ AB = (2 + 6)2 + (4 – 10)2
⇒ AB = 10
∴ A medida de AB é 10 unidades.
22 Qual é o ponto P do eixo das abscissas que
equidista dos pontos A(2, 4) e B(3, – 4)?
Considere o ponto Q = ( a2 + b2 , ab).
Então, é correto aﬁrmar que o ponto Q está
na região
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
1.5 Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB),
situados num plano cartesiano ortogonal, pode ser
determinada em função das suas coordenadas.
Vamos ao caso mais geral, considerando um
segmento AB inclinado em relação aos eixos,
coordenados (Fig. 1). Nesse caso, a distância AB
pode ser obtida aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo ABC (Fig. 2) a seguir:
Resolução:
→
P ∈ Ox ⇒ P (x, 0)
O termo equidistante indica mesma distância,
ou seja, PA = PB. Desse modo:
(xP – xA)2 + (yP – yA)2 = (xP – xB)2 + (yP – yB)2
(x – 2)2 + (0 – 4)2 = (x – 3)2 + (0 + 4)2
(x – 2)2 + 16 = (x – 3)2 + 16 ⇒ (x – 2)2 = (x – 3)2
x2 – 4x + 4 = x2 – 6x + 9 ⇒ – 4x + 4 = – 6x + 9
5
– 9 + 4 = – 6x + 4x ⇒ x =
2
∴P 5,0
2
Matemática
Noções Básicas
Exercícios de sala
23 Calcule a medida de AB em cada caso:
a) A(2, 4) B(6, 1)
b) A(5, 3) B(2, 0)
26 Qual o ponto da bissetriz dos quadrantes
ímpares que equidista dos pontos A(6, 7) e
B(–1, 0)?
24 Qual o valor de m, de modo que AB = 10, sendo
A(m, 2) e B(0, 8)?
27 Considere um ponto A, ﬁxo nas coordenadas
(2, 4) e um ponto móvel B que se desloca sobre
o eixo das abscissas, a uma velocidade de
2 unidades por segundo. Supondo que B parta
da origem (0, 0) e percorra o sentido positivo
do eixo, após quanto tempo AB irá medir 5 cm?
25 Obtenha, no eixo das ordenadas, um ponto Q
que diste 10 do ponto P(6, – 2).
11
12
Matemática
Noções Básicas
28 Sabe-se, da Geometria Plana, que, para qualquer
triângulo:
• se o quadrado da medida do maior lado for
maior que a soma dos quadrados das medidas
dos outros dois lados, o triângulo é obtusângulo.
• se o quadrado da medida do maior lado for
igual à soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados, o triângulo é retângulo.
• se o quadrado da medida do menor lado for
menor que a soma dos quadrados das medidas
dos outros dois lados, o triângulo é acutângulo.
Nessas condições, classiﬁque o triângulo
ABC quanto aos lados e quanto aos ângulos,
sendo A(2, 4), B(– 1, 0) e C(8, – 2) seus três
vértices.
AC
PC
AP AC PC
=
=
⇒r=
ou r =
PD
BD
PB PD BD
x –x
y –y
r = P A ou r = P A (xB ≠ xP e yB ≠ yP)
xB – xP
yB – yP
Para a razão de secção, adotam-se as seguintes
convenções:
• Caso P seja interno ao segmento AB, consideramos
r > 0 e vice-versa.
AP > 0 ⇒ r > 0
PB
• Caso P seja externo ao segmento AB, consideramos
r < 0 e vice-versa.
PA < 0 ⇒ r < 0
PB
1.6 Razão de secção
C
onsiderando três pontos colineares e distintos
A, B e P, chamamos razão de secção do segmento
AB, determinada pelo ponto P, o número real r,
dado por r = AP .
PB
Nessas condições, o ponto P é chamado de
ponto divisor do segmento AB.
Para obtermos a razão r, consideremos os pontos
alinhados A, P e B (Fig. 1) e percebamos os
triângulos semelhantes APC e PBD (Fig. 2):
• Para discutir com os colegas:
É possível que a razão de secção entre dois
segmentos seja igual a 1? E igual a –1? Quando é
que cada caso ocorre?
Exercícios resolvidos
29 Sejam A(1, –1), B(4, 2) e P(3, 1) três pontos
alinhados. Determinar a razão r =
Resolução:
• 1o modo (usando as abscissas):
x – xA
r= P
⇒r= 3–1
xB – xP
4–3
∴r=2
AP
.
PB
13
Matemática
Noções Básicas
• 2o modo (usando as ordenadas):
y – yA
1 – (– 1)
r= P
⇒r=
yB – yP
2–1
y +y
Analogamente: yM = A B
2
30 Até que ponto C(xC, yC) devemos prolongar, no
sentido de A(2, 4) para B(5, 2), o segmento AB
de modo que ele triplique?
xA + xB yA + yB
,
2
2
∴M
∴r=2
Exercício resolvido
31 M(2, 4) é o ponto médio do segmento de
extremos A(– 3, 6) e B(x, y). Nessas condições,
qual o valor de xy?
Resolução:
Resolução:
Consideremos B o ponto divisor de AC.
Notemos que BC = 2AB. Desse modo, temos:
AB AB
=
BC 2AB
1
⇒ AB = 2
BC
Usando a razão de secção, temos:
yB – yA
x –x
AB
AB
= xB – xA ou
= y –y
BC
BC
C
B
C
B
1 = 5 – 2 ⇒ x = 11
C
2 xC – 5
2–4
1
=
⇒ yC = – 2
2 yC – 2
∴ C(11, –2)
xM =
xA + xB
2
⇒2=
–3+x
2
4=–3+x⇒x=7
yM =
yA + yB
2
⇒4=
6+y
2
8=6+y⇒y=2
∴ xy = 49
1.7 Ponto médio de um segmento
1.8 Baricentro de um triângulo
médio de AB (Fig. 1). Nessas condições, M divide
AB em dois segmentos congruentes AM e MB
(Fig. 2).
de um triângulo o ponto G, intersecção das três
medianas desse triângulo, sendo que mediana é
o segmento de reta que une o vértice ao ponto
médio do lado oposto.
Consideremos o triângulo ABC da figura a
seguir, cujos pontos médios dos lados são M, N e
P:
S ejam A e B dois pontos distintos e M o ponto
Como AM e MB são dois segmentos
congruentes, temos AM = MB. Desse modo:
r = AM ⇒ r = 1
MB
x –x
x –x
r = xM– x A ⇒ xM– x A = 1
B
M
B
M
x +x
xM – xA = xB – xM ⇒ xM = A B
2
Denomina-se baricentro (ou centro de gravidade)
M é médio de BC ⇒ AM é mediana de BC
N é médio de AC ⇒ BN é mediana de AC
P é médio de AB ⇒ CP é mediana de AB
14
Matemática
Noções Básicas
Sabe-se, da Geometria Plana, que o baricentro
G de um triângulo ABC divide cada mediana na
razão de 2 para 1, ou seja:
AG = 2 ; BG = 2 ; CG = 2
GM 1 GN 1 GP 1
Consideremos o triângulo ABC da figura a
seguir, no qual destacamos a mediana CP e o
baricentro G.
y
yA
Exercícios de sala
33 O ponto A(2, 4) é simétrico do ponto B(x, y) em
relação à origem. Calcule o valor de x . y.
A
G
yC
yB
34 As coordenadas x G e y G do baricentro de
um certo triângulo ABC, nessa ordem, são
termos consecutivos de uma progressão
aritmética. Obtenha a razão dessa progressão,
conhecendo as coordenadas A(–2, 4), B(8, 6)
e C(0, 2).
C
B
xB xA
O
xC
x
Tomando a mediana CP, temos:
CG = 2 ⇒ xG – xC = 2
xP – xG 1
GP 1
xG – xC = 2(xP – xG) ⇒ xG – xC = 2xP – 2xG
3xG = 2
xA + xB
+ xC ⇒ xG = xA + xB + xC
2
3
Analogamente:
yG – yC
= 2 ⇒ yG = yA + yB + yC
yP – yG
3
1
∴G
xA + xB + xC yA + yB + yC
,
3
3
Exercício resolvido
32 O baricentro do triângulo de vértices A(x, 2), B(2, 4)
e C(8, 3) pertence à bissetriz dos quadrantes
ímpares. Calcule x.
Resolução:
As coordenadas do baricentro G são:
xA + xB + xC
yA + yB + yC
xG =
e yG =
.
3
3
Se G pertence à bissetriz dos quadrantes
ímpares, então suas coordenadas são iguais,
ou seja: xG = yG.
xG =
x+2+8
3
2+4+3
yG =
3
⇒ xG = x + 10
3
⇒ yG = 3
x + 10
= 3 ⇒ x + 10 = 9
3
∴ x = –1
35 Divida, usando pontos médios, o segmento AB
em quatro partes iguais, sendo A(8, 16) e B(16, – 8).
Matemática
Noções Básicas
36 Divida, em três partes iguais, o segmento AB
de extremos A(12, 24) e B(36, 12).
38 Da Geometria Plana, sabe-se que uma base
média de um triângulo é o segmento cujos
vértices são os pontos médios de dois lados
desse triângulo. Desse modo, qual o perímetro
do triângulo MNP, cujos lados são as bases
médias do triângulo equilátero ABC, com dois
vértices nos pontos A(1, 9) e B(7, 1)?
39 Dividir harmonicamente um segmento AB numa
razão r. implica obter um ponto M(interno
a AB) e um ponto N(externo a AB), tal que:
AM
AN
=re
= – r. Nessas condições, divida
MB
NB
3
AB na razão r = , sendo A(10, 15) e B(0, 0).
2
37 Até que ponto devemos prolongar o segmento
AB, no sentido de A(2, 8) para B(0, 0), de modo
que ele quadruplique?
15
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