Proporcionalidade
e Estatística
Proporcionalidade e Estatística
Razões
A ideia de razão
A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a : b, que pode
ser indicado por
ou qualquer outra forma equivalente.
antecedente
consequente
Exemplos:
• A razão entre 4 e 2 é
=2
• Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, a razão entre o número de
meninos e o número de meninas é:
=
= 0,75 = 75%
2
Proporcionalidade e Estatística
Porcentagem como razão
Porcentagem é a razão que tem o consequente (2o termo) igual a 100.
Exemplos:
40%
Razão entre 40 e 100 =
Razão entre 12 e 50
=
=
=
= 24%
3
Proporcionalidade e Estatística
Proporção
A ideia de proporção
Se duas razões são iguais, elas formam uma proporção.
Assim, se a razão entre os números a e b é igual à razão entre os números
c e d, dizemos que
=
é uma proporção.
Exemplo:
=
= 0,2
1 e 30 são extremos
6 e 5 são os meios
Lemos: 1 está para 5 assim como
seis está para 30.
4
Proporcionalidade e Estatística
Propriedades das proporções
Fundamental:
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Simbolicamente: se
Exemplo:
=
é uma proporção, então a . d = b . c.
• 3 . 10 = 30 (produto dos extremos)
=
• 5 . 6 = 30 (produto dos meios)
Outras propriedades:
=
então
=
e
=
=
então
=
e
=
5
Proporcionalidade e Estatística
Grandezas proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
Exemplo:
Com 1,40 m de tecido se faz duas bermudas; se fossem 6 bermudas seria:
1,40 m
×
3
4,2 0 m
Se para fazer duas bermudas ela gasta 1,40 m, como 6 é o triplo
de 2, ela gastará o triplo de 1,40 m.
Em casos como esse, dizemos que as grandezas correspondentes a número
de bermudas e metros de tecido são diretamente proporcionais ou apenas que
são proporcionais.
Quando o valor de uma dobra, triplica ou é reduzido à metade, o valor da
outra também dobra, triplica ou é reduzido à metade, e assim por diante.
6
Proporcionalidade e Estatística
SARA ZINELLI / PHOTOGRAPHER'S CHOICE / GETTY
IMAGES
SCOTT MARKEWITZ / PHOTOGRAPHER'S CHOICE RF /
GETTY IMAGES
15 km/h
gastou 120 minutos
×6
×2
×3
ROY OOMS / ALL CANADA PHOTOS / GETTY
IMAGES
Grandezas inversamente proporcionais
30 km/h
gastou 60 minutos
90 km/h
gastou 20 minutos
Velocidade (km/h)
Tempo (min)
15
120
30
60
90
20
:2
:6
:3
7
Proporcionalidade e Estatística
×6
×2
×3
Velocidade (km/h)
Tempo (min)
15
120
30
60
90
20
:2
:6
:3
Em um caso como esse, dizemos que as duas grandezas são
inversamente proporcionais.
Quando o valor de uma é multiplicado por um número, o valor
correspondente da outra é dividido pelo mesmo número.
8
Proporcionalidade e Estatística
Coeficiente de proporcionalidades
×2
Bolos
Ovos
2
6
4
12
×2
As razões entre os valores correspondentes das duas grandezas
formam uma proporção:
=
Simplificando
.
e
obtemos
.
é a razão de proporcionalidade ou o coeficiente de proporcionalidade
entre a grandeza dada pelo número de bolos e a grandeza dada pelo
número de ovos.
9
Proporcionalidade e Estatística
Razão especial
Escala
Brasil político
Escala é a razão entre uma medida de
comprimento no desenho e a medida
de comprimento correspondente na
realidade.
distância no desenho
escala =
distância real
No mapa, a escala é de 1 cm para
485 km, isto é, cada 1 cm no mapa
corresponde a 485 km
(ou 48 500 000 cm) na realidade.
1 : 48 500 000 ou
Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro, 2009.
ou
1 cm : 485 km
10
Proporcionalidade e Estatística
Grandeza velocidade média
Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto.
Exemplo:
Se um automóvel percorre 240 km em 3 horas, a sua velocidade média,
em km/h, é a calculada fazendo a razão entre 240 e 3.
=
= 80 km/h (lê-se 80 quilômetros por hora)
11
Proporcionalidade e Estatística
Grandeza densidade demográfica
Densidade demográfica de uma região é a razão entre o número
de habitantes e sua área.
Link para
ambiente online
Exemplo:
Se um município tem população de 12 000 habitantes e área de 150 km2,
dizemos que a densidade demográfica desse município é de 80 habitantes por
quilômetro quadrado (80 hab./km2).
A razão entre 12 000 e 150 é
=
=
= 80
80 hab./km2
12
Proporcionalidade e Estatística
Regra de três simples
Regra de três simples em situações de proporcionalidade direta
Exemplo:
Situação de proporcionalidade direta: dobrando o comprimento da barra, a
massa dobra; triplicando o comprimento, a massa triplica, e assim por diante.
Comprimento (m)
Massa (kg)
6
10
9
x
Grandezas diretamente proporcionais:
=
ou
=
Logo, uma barra de 9 m tem massa de 15 kg.
e daí 6 . x = 9 . 10
6x = 90
x=
x = 15
13
Proporcionalidade e Estatística
Regra de três simples em situações de proporcionalidade inversa
Exemplo:
Com 4 pedreiros trabalhando, a reforma de uma casa é realizada em 15 dias.
Em quantos dias 6 pedreiros realizariam a mesma reforma trabalhando no
mesmo ritmo?
Essa é uma situação de proporcionalidade inversa: dobrando o número de
pedreiros, o tempo cai pela metade; triplicando o número de pedreiros, o
tempo é reduzido à terça parte, e assim por diante.
Número de
pedreiros
Tempo
(em dias)
4
15
6
x
=
e daí 6x = 60
x=
x = 10
14
Proporcionalidade e Estatística
Porcentagem de números usando regra de três
Exemplos:
=
• 60% de 35 = ?
100x = 60 . 35
100x = 2100
= 0,6
60% =
0,6 de 35 = 0,6 . 35 = 21
ou
= 21
x=
Logo, 60% de 35 = 21
• ?% de 60 = 33
33 em 60 =
=
= 55%
=
=
=
ou
60x = 3300
x=
= 55
Logo, 55% de 60 = 33
15
Proporcionalidade e Estatística
Outras aplicações de proporcionalidades
Movimento uniforme: velocidade constante
Exemplo:
Uma motocicleta movimenta-se a uma velocidade constante de 50 km/h.
Duração do percurso (em h)
1
2
3
Distância percorrida (em km)
50
100
150
Um movimento chama-se uniforme quando a velocidade é constante.
As grandezas tempo e distância são
diretamente proporcionais:
=
=
Portanto, a distância percorrida
em 1,5 h é:
h
km
1
50
1,5
x
=
x = 75
A distância percorrida foi de 75 km.
16
Proporcionalidade e Estatística
Ampliação e redução de figuras e fotos
Razão 2 : 1
17
Proporcionalidade e Estatística
Proporcionalidade direta e gráfico
Observe a tabela formada em relação a um automóvel
que tem velocidade constante de 100 km/h.
Tempo
(em h)
Distância (em km)
Distância
(em km)
300
25
200
250
150
50
1
100
1,5
150
2
200
2,5
250
100
50
25
Tempo
(em h)
1
1,5
2
2,5
3
O gráfico de uma situação de
proporcionalidade direta é sempre uma reta.
18
Proporcionalidade e Estatística
Regra de três composta
Link para
ambiente online
Exemplo:
Com 600 kg de ração, é possível alimentar 20 cavalos durante 30 dias.
Com 800 kg de ração, é possível alimentar 25 cavalos durante quantos dias?
Ração
(em kg)
Cavalos
Dias
600
20
30
800
25
x
=
.
Quantidade de ração e número de dias são
diretamente proporcionais.
Número de cavalos e número de dias são
inversamente proporcionais. Precisamos, portanto,
inverter a ordem dos termos de uma razão.
=
15 000x = 480 000
x = 32
Então, com 800 kg de ração é possível alimentar os 25 cavalos por 32 dias.
19
Proporcionalidade e Estatística
Números proporcionais
Números diretamente proporcionais
Exemplo:
O comprimento de um pedaço de cabo e o preço a pagar por ele são
grandezas diretamente proporcionais.
Comprimento do cabo (em m)
2
5
8
10
Preço a pagar (em R$)
6
15
24
30
Em casos como esse, dizemos que os números 2, 5, 8 e 10, nessa ordem, são
diretamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30, respectivamente.
=
=
=
=
de modo geral
=
=
ou
ou
20
Proporcionalidade e Estatística
Números inversamente proporcionais
Exemplo:
Quando certa quantia vai ser distribuída igualmente em um grupo de pessoas,
as grandezas correspondentes ao número de pessoas e ao que vai receber
cada uma são grandezas inversamente proporcionais.
Número de pessoas
2
4
6
Quantia para cada uma (em R$)
90
45
30
Observe as razões:
=
2 × 90
4 × 45
=
= 180
6 × 30
21
Proporcionalidade e Estatística
Divisão de um número em partes proporcionais a números dados
Diretamente proporcionais
Exemplo: O pai de André (de 2 anos), Marília (de 4 anos) e Renato (de 6 anos)
resolveu distribuir 48 biscoitos entre eles, mas de modo que as quantidades
fossem diretamente proporcionais às idades.
Devemos dividir 48 em partes diretamente proporcionais aos números 2, 4 e 6.
sendo x, y e z as partes, então:
=
=
=
,
=
Portanto: x + y + z = 48, escrevemos:
=
=4
=
=
=4
x = 4 . 2 = 8 (André)
=4
então:
=
=4
e
=
y = 4 . 4 = 16 (Marília)
z = 6 . 4 = 24 (Renato)
22
Proporcionalidade e Estatística
Inversamente proporcionais
Exemplo:
Vamos dividir o número 156 em partes inversamente proporcionais aos
números 2, 3 e 4.
Nesse caso, as partes procuradas x, y, z devem ser diretamente proporcionais
aos inversos dos números 2, 3 e 4, respectivamente,
2, 3, 4
1, 3, 2
1, 3, 1
1, 1, 1
2
2
3
2 . 2 . 3 = 12
Portanto:
= 12
x = 72
então:
=
=
,
e
.
Dividimos 156 em partes
diretamente proporcionais
aos números 6, 4 e 3.
,
=
= 12
,
=
y = 48
= 12
= 12
z = 36
23
Proporcionalidade e Estatística
Regra de sociedade
Quando as quantias investidas são diretamente proporcionais às partes no
lucro ou no prejuízo a divisão recebe o nome de regra de sociedade.
Exemplo:
Aline, Gina e Marta entraram, respectivamente, com os seguintes capitais
na abertura de uma empresa: R$ 30 000,00, R$ 20 000,00 e R$ 25 000,00.
No final do primeiro ano de sociedade, a empresa teve um lucro R$ 15 000,00.
Qual foi o ganho correspondente a cada sócia?
Sendo a, g e m os lucros de Aline, Gina e Marta, respectivamente temos:
=
= 30
=
= 20
=
= 25
24
Proporcionalidade e Estatística
=
= 15
=
=
Como a + g + m = 15, então:
=
=
=
=
=
portanto:
=
a=6
=
g=4
=
m=5
Como havíamos dividido as parcelas por 1000, multiplicamos os
resultados por mil.
Assim, Aline ficou com R$ 6 000,00 do lucro, Gina com R$ 4 000,00 e
Marta com R$ 5 000,00.
25
Proporcionalidade e Estatística
Porcentagem
Link para
ambiente online
Exemplo:
Carol foi a uma loja de roupas para comprar uma blusa que custava
R$ 80,00. Como pretendia pagar à vista, ela pediu um desconto.
A vendedora da loja deu-lhe um desconto de 15% para o pagamento à vista.
Qual foi o valor pago por Carol?
15% de R$ 80,00 =
.
80 =
= 12
O desconto dado foi de R$ 12,00, então:
80 – 12 = 68
O valor pago por Carol foi de R$ 68,00.
26
Proporcionalidade e Estatística
Juros
O preço à vista é diferente do preço a
prazo, porque estão sendo cobrados
juros pelo parcelamento da dívida.
O juro é uma compensação em dinheiro
que a loja cobra por estar parcelando a
dívida do comprador.
MAURO SOUZA / ARQUIVO DA EDITORA
Capital, montante e taxa de juros
No exemplo, os juros cobrados pela loja para parcelar a dívida de R$ 549,00
em 18 vezes foram de R$ 250,20 (R$ 799,20 – R$ 549,00).
A dívida ou a quantia que uma pessoa investe chama-se capital.
A soma do capital com os juros é chamada de montante (capital + juros).
A taxa de porcentagem que se paga pelo empréstimo do dinheiro chama-se
taxa de juros.
27
Proporcionalidade e Estatística
Juros simples
Exemplo:
Cíntia aplicou R$ 400,00 e recebeu 2% de juros simples ao mês. Qual será
seu montante no fim de 5 meses de aplicação em juros simples?
Mês
Montante
no início de
cada mês
Juros do mês
Montante
no final de
cada mês
1o
400
2% de 400 = 8
408
2o
408
2% de 400 = 8
416
3o
416
2% de 400 = 8
424
4o
424
2% de 400 = 8
432
5o
432
2% de 400 = 8
440
28
Proporcionalidade e Estatística
Juros compostos
Exemplo:
Cíntia aplicou R$ 400,00 num banco que paga juros compostos de 2% ao mês. Qual
será seu montante no fim de 5 meses de investimento?
Mês
Montante
no início de
cada mês
Juros do mês
Montante
no final de
cada mês
1o
400
2% de 400 = 8
408
2o
408
2% de 408 = 8,16
416,16
3o
416,16
2% de 416,16 = 8,32
424,48
4o
424,48
2% de 424,48 = 8,49
432,97
5o
432,97
2% de 432,97 = 8,66
441,63
29
Proporcionalidade e Estatística
Pesquisa estatística e termos relacionados a ela
A pesquisa estatística é bastante usada em diversos setores da sociedade e,
geralmente, é utilizada para ajudar a tomar decisões sobre o tema pesquisado.
Exemplo:
A coordenação de uma escola vai realizar uma pesquisa para saber de qual
das seguintes disciplinas os alunos do 7o ano A mais gostam: Língua
Portuguesa, Matemática, Ciências ou História.
População e amostra
No exemplo acima, é possível consultar todos os alunos da classe do 7o ano A,
que constituem a população ou universo estatístico.
Se a pesquisa fosse realizada em todos os 7os anos
da região o 7o ano A dessa escola seria uma amostra
ou amostragem, pois seria impossível consultar todos
os alunos dos 7os anos da região.
U
A
30
Proporcionalidade e Estatística
Indivíduo ou objeto da pesquisa
Quando o universo e a amostra são compostos de pessoas, cada uma delas é
considerada um indivíduo ou objeto da pesquisa.
Variável e valor da variável
Exemplo:
Considere que a questão formulada em uma pesquisa seja:
“Qual é seu esporte favorito?”
Neste caso, “esporte” é a variável da pesquisa.
Judô, futebol e natação são alguns valores dessa variável.
Tipos de variável
• “esporte” é uma variável qualitativa: expõe uma qualidade.
• “idade” e “altura” são variáveis quantitativas: cada uma expõe uma
quantidade.
31
Proporcionalidade e Estatística
Frequência absoluta e frequência relativa de uma variável
Exemplo:
Em uma classe de 15 alunos, 6 alunos são do estado de Minas Gerais,
1 aluno do estado de Alagoas e 8 alunos do estado do Rio de Janeiro.
Variável: Estado brasileiro de origem.
O número de vezes que cada valor da variável é citado é sua
frequência absoluta.
A frequência absoluta do Valor da variável “estado de Minas Gerais” é: 6.
A frequência absoluta do Valor da variável “estado de Alagoas” é: 1.
A frequência absoluta do Valor da variável “estado do Rio de Janeiro” é: 8.
A frequência relativa da variável
“estado de Minas Gerais” é 6 em 15:
ou 0,4 ou 40%.
32
Proporcionalidade e Estatística
Média aritmética
Exemplo:
O gráfico ao lado representa o número
de pontos, de 0 a 100, que cada
aluna da equipe de Sueli fez na final da
competição de ginástica.
Média =
Média =
Média = 75
A média da equipe foi de 75 pontos.
33
Proporcionalidade e Estatística
Média aritmética ponderada
Dependendo da importância atribuída a algum dado, são associados a
ele certos fatores de ponderação (pesos).
Link para
ambiente online
Exemplo:
Para selecionar um entre dois candidatos, uma empresa estabeleceu como
critério a maior média ponderada obtida com as notas da entrevista (peso 2),
da prova escrita (peso 2) e do currículo (peso 1).
Veja as notas obtidas pelos candidatos:
Candidato A
Entrevista: 8
Prova: 8
Currículo: 6
MP =
Candidato B
Entrevista: 9
Prova: 6
Currículo: 7
= 7,6
MP =
= 7,4
A maior média ponderada é a do Candidato A.
34
Proporcionalidade e Estatística
Probabilidade: a medida da chance de um evento acontecer
É possível medir a chance de um evento, de algo acontecer. Essa medida
é chamada de probabilidade e é dada por uma razão entre dois números.
Probabilidade de um evento =
número de resultados favoráveis
número total de resultados possíveis
Obs.: Quando a probabilidade é zero, dizemos que o evento é impossível.
Quando a probabilidade é 1 ou 100%, dizemos que é um evento certo.
Exemplos:
Para obter verbas Rose rifou uma bicicleta. A rifa tinha 100 números e
Rose comprou 4 deles. Qual a chance de Rose ganhar a bicicleta?
Bilhetes comprador por Rose
4 em 100
Rose tem
ou
Número total de bilhetes
ou 4% de probabilidade de ganhar a bicicleta.
35
Proporcionalidade e Estatística
Uma caixa contém 4 bolas azuis, 5 bolas vermelhas e 1 bola amarela.
Retirando uma delas ao acaso, qual é a probabilidade de:
ou
quatro bolas azuis
• ser azul?
ou 40%
total de bolas
• ser vermelha?
ou 50%
probabilidade de sair amarela
probabilidade de sair azul
• não ser azul? 1 –
evento certo (sair uma bola)
=
ou
+
=
ou 60%
probabilidade de sair vermelha
36