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MATEMÁTICA – XVIII
CONJUNTOS – GEOMETRIA PLANA
1. (IFAL-2011) – Num grupo de 142 pessoas, foi feita uma pesquisa sobre três programas de
televisão A, B e C e constatou-se que:
- 40 não assistem a nenhum dos três programas;
- 103 não assistem ao programa C;
- 25 só assistem ao programa B;
- 13 assistem aos programas A e B;
- O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a metade do número
de pessoas que assistem somente A e B;
- 25 só assistem a 2 programas;
- 72 só assistem a um dos programas.
Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem
a) ao programa A é 30.
b) aos programas A e C é 13.
c) ao programa C é 39.
d) aos programas A ou B é 63.
e) aos três programas é 6.
2. (Uesc 2011) – Ao se aproximar a data de realização de certo concurso, uma escola que se
dedica a preparar candidatos a cargos públicos deu três aulas de revisão intensiva para seus
alunos.
Do total T de alunos, sabe-se que 80 compareceram à primeira aula, 85, à segunda e
65 compareceram à terceira aula de revisão.
Dos alunos que assistiram à primeira aula, 36 não retornaram para as duas aulas
seguintes, 15 retornaram apenas para a segunda e 20 compareceram às três aulas.
Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula, 30 compareceram à segunda
e à terceira aulas.
Com base nessas informações, se
1
do total de alunos não compareceu às aulas de revisão,
3
então o valor de T é
a) 165
b) 191
c) 204
d) 230
e) 345
3. (Ita 2011) – Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 2 3cm . No interior deste
triangulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o
baricentro do triângulo. Este círculo tangência externamente os demais e estes, por sua vez,
tangenciam 2 lados do triângulo.
a) Determine o valor de r.
b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.
c) Para cada circulo que tangencia o triângulo, determine a distancia do centro ao vértice mais
próximo.
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4. (col.naval 2011) – ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e
exterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C). Sabendo
ˆ é igual a 60º, que PA  6 e PC  8, a medida de PQ será
que o ângulo APB
24
a)
7
23
b)
5
19
c)
6
33
d)
14
11
e)
4
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Se 103 pessoas não assistem ao programa C e o grupo possui 142 pessoas, então
142  103  39 pessoas assistem ao programa C.
Resposta da questão 2:
[C]
Considere o diagrama abaixo.
De acordo com as informações do enunciado, segue que
x  80  (20  15  36)
x9
y  85  (20  15  30)  y  20.
z  65  (20  30  x)
z6
Portanto,
2T
 80  30  20  6  T  204.
3
Resposta da questão 3:
Altura do triângulo h =
2 3. 3
3
2
a) Como G é o baricentro temos GM = 2r, já que AG = 4r;
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Logo, 6r = 3  r =
2 3  .
b) A =
2
3
1
2
2
 1
 4 .    (3 3   )sm2
2
4
 1
c) 2r = 2.   = 1cm
2
Resposta da questão 4:
[A]
ˆ e BPC
ˆ determinam o mesmo arco BC, segue que
Como os lados dos ângulos BAC
ˆ  BPC
ˆ  60.
BAP
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo APC, obtemos
2
2
2
ˆ 
AC  PA  PC  2  PA  PC  cos APC
2
2
AC  62  82  2  6  8  cos120  AC  148  AC  2 37.

1
2
ˆ vem que
Como PQ é bissetriz de APC,
2
PQ 
 PA  PC  p  (p  AC),
PA  PC
PA  PC  AC
.
com p 
2
Desse modo,
p
6  8  2 37
 7  37
2
e
2
 6  8  (7  37)  (7  37  2 37)
68
1
  16  3  (7  37)  (7  37)
7
1
  16  3  12
7
36
PQ 
1
46
7
24

.
7

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