O TRIÂNGULO E A NATUREZA: UMA RELAÇÃO ABSTRATA OU CONCRETA
MOURA, William da Silva
GALDINO, Luiz da Silva
RESUMO
Este estudo trata de uma pesquisa bibliográfica que tem como objetivo investigar a
existência de relações importantes entre o modelo matemático, no caso, o triângulo, e
possíveis semelhanças com ocorrências na natureza. Mesmo admitindo que esse modelo
matemático é fácil de ser compreendido, em algumas situações, não é fácil perceber de forma
imediata como possíveis relações possam ser concebidas. A discussão a ser desenvolvida tem
como intenção construir argumentos que possam dar sustentação a algumas indagações, tais
como: o triângulo é um elemento da natureza ou é fruto da imaginação humana? Como
perceber a ocorrência dos triângulos na natureza? Para compreender tais situações seria
necessários revisitar algumas ideias de pensadores matemáticos tais como: Tales de Mileto,
Pitágoras de Samos e Euclides de Alexandria, visando identificar o ponto de partida que
fundamentou as concepções adotadas, no sentido de compreender os conceitos matemáticos
por eles construídos. Para realização deste estudo serão adotados como referencial teórico as
ideias desenvolvidas por Boyer (2010), em seus estudos sobre a história da matemática e
Garbi (2010), quando trata a compreensão da matemática como a Rainha das ciências. A falta
de respostas para algumas indagações justifica a relevância deste estudo. Espera-se um bom
aprimoramento da metodologia dos professores. Tendo como recurso o uso das relações
triângulo-natureza como recurso de ensino-aprendizagem.
Palavras-chave: Triângulo. Natureza. Abstrato. Concreto.
1. RELEVÂNCIA HISTÓRICA DA MAMATEMÁTICA
Com base na história, percebem que o passado da humanidade deixaram registro e
marcas na Idade da Pedra, propagando sua cultura à Europa e partes da Ásia e da África.
Percebendo registros cronológicos das civilizações que deixaram marcas foram encontradas
em vales de rio, como do Egito, Mesopotâmia, Índia e China, e dispondo de informações
seguras sobre o povo ao longo do Nilo e no crescente fértil do Tibre e Eufrates. Antes de
milênio a.C. uma forma primitiva de escrita estava em uso tanto no vale mesopotâmico como
no Nilo, onde o barro era abundante, marca em forma de cunha eram feitas com estilete
sobre tabelas moles que depois era cozida em forno ou ao calor do sol. O significado a ser
transmitido em cuneiforme era determinado pelos arranjos das marcas em cunho, por isso
muitos milhares de tais tabelas sobrevivem até hoje.
No período Mesopotâmico foi notável progressão cultural trazendo o uso da escrita, da
roda e dos metais, havendo uma civilização de alto nível. Ali, os sumérios tinham construído
casas e templos decorados com cerâmica e mosaicos artísticos em desenho geométricos. Nem
os egípcios, nem babilônios introduziram uma medida de ângulos, isso evidentemente não
pode ser fruto do acaso. Não só o arranjo foi cuidadosamente planejado, mas as dimensões do
triângulo também seguem uma regra. Confirma BOYER (2010, p. 27): O teorema de
Pitágoras, por exemplo, não aparece em forma alguma nos documentos egípcios encontrados,
mas tabelas até do período babilônio antigo mostram que na Mesopotâmia o teorema era
largamente usado. Assim, o conhecimento babilônio do teorema de Pitágoras não se limitava
ao caso do triângulo, usando também para a diagonal do quadrado.
2. DO CONCRETO AO ABSTRATO: COMPREENDENDO IMPORTÂNCIA DOS
TRIÂNGULOS PELAS IDEIAS DOS ESTIRADORES DE CORDAS ÀS MARGENS
DO NILO.
Tendo como base a inundação do Nilo, que apagavam as marcações de terra feitas, era
necessário os conhecimentos dos estiradores de corda. Diziam que os egípcios tinham
conhecimento do Teorema de Pitágoras, mas não há traços disso nos Papiros de Ahmes, e que
os problemas geométricos encontrados não tinha registro do Teorema. Assim, a área do
triângulos isósceles era achada tomando a metade do que chamaríamos de base e
multiplicando isso pela altura. Assim, Ahmes diz: que os triângulos isósceles pode ser
pensado como dois triângulos retângulos. Hoje, a área do triângulo isósceles pode ser achada
usando o Teorema de Pitágoras, a altura ao quadrado igual a o lado ao quadrado menos a
metade da base (lado) ao quadrado, assim sua altura é igual a lado raiz de três sobre dois, logo
sua área é igual altura vezes a base sobre dois, usando a altura encontrada, encontram a área
igual a lado a quadrado vezes raiz de três sobre dois. O trapézio isósceles é calculado de
modo que a base maior é seis, a menor é quatro e a distância entre elas é vinte. Tomando a
metade da base, de modo a fazer um retângulo, Ahmes multiplica isso por vinte para achar a
área. Porem, em transformações como essa, vê o início de uma Teoria de congruências e da
ideia de provar em geometria, mas os egípcios não foram além. Percebe também que a área
do trapézio isósceles pode ser encontrada das seguintes forma, usando o Teorema de
Pitágoras para encontrar a altura do trapézio, atribuindo valores a base do triângulo reto
formado pela altura e o lado congruente do trapézio e pela forma trigonométrica do seno ou
cosseno, de modo que, o seno do ângulo congruente da base maior do trapézio, sendo assim, a
altura é igual a o seno do ângulo vezes o lado congruente do trapézio, ou a altura é igual a
cosseno do ângulo da base maior do trapézio vezes a base formada pela altura do mesmo.
Segundo BOYER (2010, p.15), A geometria pode ter sido uma dádiva do Nilo, como
Heródoto acreditava, mas os egípcios pouco aproveitaram. A matemática de Ahmes era a de
seus antepassados e descendentes.
Texto de problemas antigos fornecem problemas que poderíamos chamar de
geometria, mas BOYER (2010, p. 27), afirma que os babilônicos provavelmente
consideravam como aritmética aplicada. Como, um problema em que a escada ou prancha de
comprimento 0;30 está apoiada a uma parede; a questão é , de quanto a extremidade inferior
se afastará da parede se a superior escorregar para baixo de uma distância de 0;6 unidades? A
resposta é encontrada corretamente usando o teorema de Pitágoras. Se o topo escorrega de
três unidades quando a extremidade inferior se afasta da parede de nove unidades, qual o
comprimento da vara? A resposta é dada corretamente como sendo quinze unidades.
Continuando com o pensamento de GARBI:
Existem muitos e belíssimos teoremas na Matemática, mas a aura de surpresa,
originalidade, estética e importância que cerca o teorema de Pitágoras faz dele
algo realmente incomparável em relação aos demais: todos os caminhos da
Rainha das Ciências conduzem a ele (2010, p.27).
Os babilônios antigos conheciam outras importantes relações geométrica. Como os
egípcios, sabiam que a altura de um triangulo isósceles bisseca a base. Esta denominação da
geometria é sintomática da dificuldade em avaliar a influência da matemática pré-helênica
sobre culturas posteriores.
3. A RELAÇÃO DA NATUREZA COM O TRIÂNGULO É UMA FORMA
ABSTRATA OU CONCRETA
Não devemos admitir os conceitos concreto e abstrato como coisas distintas e opostas,
mas vê-los como um contínuo que vai do abstrato para a concretização, sendo todo o processo
interno ao cérebro. Quando nos deparamos com alguma coisa que nunca vimos, ou nos
encontramos em um lugar novo, estamos diante de algo do qual formamos uma ideia abstrata.
Imediatamente começamos a olhar, examinar, mexer, procurar relações e, aos poucos,
começamos a ficar por dentro, a por ordem, a ficar mais seguros, porque começamos a nos
apossar, a ter controle. Assim, o triângulo tem suas formas de aparecer na natureza, devido à
imaginação e criatividade do indivíduo, sendo que a imaginação deve sair de um pressuposto,
de que na natureza é formada de diversas formas geométricas e que tudo existe matemática.
Sendo assim, encontram triângulos em uma árvore, na construção de edifício, localização
geográfica e no espaço.
Conforme ARANÃO:
O conhecimento físico diz respeito às propriedades físicas dos objetos. É por
meio das ações exercidas dobre eles que a criança vai descobrindo e
construindo noções de tamanho, altura, espessura, densidade, textura, além de
que são feitos, sua flexibilidade, temperatura etc. (2011, p. 15).
Como viram até agora, a interação do indivíduo se dá com algo concreto, ou seja, seu
conhecimento é construído à medida que se relaciona e interage com matérias concretos
(objetos) e com pessoas. Como, por exemplo, à distância em linha reta da cidade Maceió à
cidade Rio Largo e Marechal Deodoro, formam assim um triângulo escaleno entre elas. Uma
construção muito conhecida é a torre de Pisa, onde podem imaginar um triângulo retângulo
formado pela sua altura perpendicular ao solo e sua hipotenusa sendo o lado inclinado da
torre em relação ao solo. Devido a ocorrência do triângulo está em todos lugares, onde ele é a
forma geométrica mais rígida que podemos encontrar na geometria, logo que nada se sustenta
sem um triângulo na sua construção.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, analisamos a importância da relação do triângulo na sua forma primitiva
quanto da relação na natureza, e suas mudanças significativas na construção do conhecimento
matemático, assim como, a concepção de sua origem. Que mesmo com as dificuldades
encontradas ao imaginar onde encontrar o triângulo, percebemos que a geometria,
especificamente o triângulo entre outras figuras geométricas, está relacionada ao fruto da
imaginação. Onde aprendemos criar e visualizar objetos ao nosso redor para perceber que
existem triângulos, devido à ocorrência na relação do abstrato para o concreto, dessa maneira,
a imaginação é o ponto de partida para a criação e confecção da figura encontrada. Assim,
incentivando a criatividade do indivíduo na criação de novas figuras, levando o mesmo a
pensar melhor matemática e melhorando sua matemática dedutiva, fazendo diretamente
indivíduo ter uma competência para a interpretação de um mundo abstrato.
BIBLIOGRAFIA
ARANÃO, Ivana Valéria D. A matemática através de brincadeiras e jogos. 7ª Ed.
Campinas, SP: Papirus, 2011.
BOYER, Carl B. História da matemática. 3ª. Ed. São Paulo: Blucher, 2010.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática - elo entre as tradições e a modernidade. 5ª.
Ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2013.
GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo
da matemática. 5ª. Ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.