O Teorema do Sanduíche aplicado a limites
trigonométricos
Existem inúmeros limites trigonométricos que são necessários para o cálculo das
derivadas das funções trigonométricas. Vamos começar colocando alguns limites
óbvios:
Cada uma das funções acima é contínua em Since each of the above functions is
continuous at x = 0, o valor do limite em x = 0 é o valor da função em x = 0; isto
segue da definição de limite..
Pra calcularmos as derivadas de sine e cosine precisamos calcular
Pra encontrarmos estes limites, vamos necessitar do seguinte teorema de geometria
Se x é a medida do ângulo central de um círculo
de raio r, então a área A do setor determinado por
xé
A = r2x/2
Começamos olhando para
Se
estamos na situação da figura da esquerda. Se A1 é a área do triângulo AOP, A2 é a
área do setor circular sAOP, e A3 é a área do triângulo AOQ,
A1 < A2 < A3.
A área do triângulo é igual a 1/2 do produto da altura pela base. Segue que
Segue que
e portanto
o que é equivalente a
Estas três funções são facilmente plotaveis; em amarelo temos a função constante 1,
em roxo o cosseno e em vermelho o sen(t)/t.
Do teorema do Sanduíche, segue que
Para encontrar
fazemos algumas manipulações algébricas e reduções trigonométricas:
Portanto, segue que t
Resumindo temos: