Capítulo 10 Gráficos de controle avançados:
Gráfico padronizado, CUSUM, EWMA, deméritos.
10.1 Introdução
10.2 Gráfico de controle padronizado
10.3 Gráfico de controle CUSUM
10.4 Gráfico de controle EWMA
(exponentially weighted moving average) –
suavização exponencial simples.
10.5 Gráfico de controle de deméritos
10.6 Conclusões
10.7 Questões e exercícios
10.8 Referências
1
10.1 Introdução
Neste capítulo, vamos ver 4 gráficos de controle avançados desenvolvidos
para situações específicas que no mesmo tempo minimizam a ocorrência
de alarmes falsos e alarmes não dados. O gráfico padronizado de seção
10.2 é aplicado para famílias de peças onde as peças individuais
produzidas em lotes relativamente pequenos têm características
levemente diferentes. Numa fábrica de confecções por exemple um único
gráfico de controle padronizado serviria para lotes de camisas de
tamanhos diferentes. Os gráficos de CUSUM e EWMA são
aprimoramentos do gráfico X de Shewhart. Eles levam em conta a
historia dos dados, característica ausente dos gráficos mais simples, e são
capazes de reconhecer pequenas alterações nos processos muito antes
dos alarmes dos gráficos X
O gráfico de deméritos é apresentado. É um gráfico que envolve várias melhorias
em relação ao gráfico de defeitos (c). Este último gráfico é ainda pouco utilizado
na indústria brasileira, embora tenha sido testado e aprovado em situações
diversas, com repercussão sempre positiva pela acurácia e simplicidade de uso.
2
10.2 Gráfico de controle
padronizado
• Pode ser utilizado um único gráfico de controle para o
monitoramento de qualidade para produtos distintos da
mesma família, por exemplo, calças de tamanho
diferente, pistões e cilindros também de tamanhos
diferentes.
• Este gráfico é especialmente útil para produções
pequenas e faltando dados em número suficiente
para montar diversos gráficos de controle tradicional
de Shewhart para cada espécie de item.
3
X
AUTO
VALOR NOMINAL = 100
1
2
3
X
S
Z
MOTOCICLETA
VALOR NOMINAL = 70
1
2
3
X
Tabela 10.1
Resultados de
levantamento
amostral dos
dois tipos de
blocos de motor
S
Z
X
AUTO
VALOR NOMINAL = 100
1
2
3
X
S
Z
MOTOCICLETA
VALOR NOMINAL = 70
1
2
3
X
S
Z
AUTO
VALOR NOMINAL = 100
1
2
3
X
S
Z
AMOSTRA DE BLOCOS DE MOTOR HORA EM
HORA
1
2
3
4
5
99,977
99,982
99,990 100,000
100,007
99,997
99,988
99,981 100,005
99,993
99,993 100,001 100,001
99,984
100,003
99,989
99,990
99,991
99,996
100,001
0,011
0,009
0,010
0,011
0,007
-1,030
-1,038
-0,928
-0,340
0,129
6
7
8
9
10
69,977
69,982
69,990
70,000
70,007
70,006
70,024
70,002
70,000
69,996
69,999
69,992
70,000
69,991
69,989
69,994
69,999
69,997
69,997
69,997
0,015
0,022
0,006
0,005
0,009
-0,382
-0,024
-0,403
-0,543
-0,312
11
12
13
14
15
99,996 100,007
99,984 100,005
99,991
99,999
99,992 100,000
99,991
99,989
100,003 100,025
99,989
99,996
100,002
99,999 100,008
99,991
99,998
99,994
0,003
0,017
0,008
0,007
0,007
-0,188
0,489
-1,145
-0,317
-0,881
16
17
18
19
20
69,996
70,007
69,984
70,005
70,000
69,997
69,988
69,981
70,005
69,993
70,008
70,013
69,996
70,008
69,991
70,000
70,003
69,987
70,006
69,995
0,007
0,013
0,008
0,002
0,004
0,071
0,209
-1,636
3,305
-1,246
21
22
23
24
25
100,006 100,024 100,002 100,000
99,996
100,008 100,013
99,996 100,008
99,991
99,997 100,012
99,995 100,001
99,999
100,004 100,016
99,998 100,003
99,996
0,006
0,007
0,004
0,004
0,004
0,593
2,490
-0,519
0,673
-1,095
4
Figura 10.1 – Gráfico de
controle padronizado Z
4
3
2
1
Z
0
LCS
MËDIA ZERO
LCI
-1
-2
-3
-4
O gráfico representa um processo emitindo alarme para o subgrupo 19
dos blocos para motocicletas onde o valor de Z é 3,305. Este valor deve
chamar atenção a engenharia e a linha inspecionada.
5
10.3 Gráfico de controle
CUSUM
É conhecido na literatura especializada e na prática do chão da fábrica que o
gráfico de Shewhart é lento com altos valores de NMA para detectar alterações no
processo.
Isso ocorre porque a análise dos dados segue uma suposição das mais simples
imagináveis, concentrando todos os esforços de diagnostico no posicionamento de
apenas um único ponto em relação aos limites de controle.
Para incluir mais pontos na análise, já vimos no capitulo 7 o diagnostico dos
padrões de pontos da Western Electric, quando cuidadosamente utilizado pode
revelar mais rapidamente alterações no processo.
No entanto, o gráfico de controle mais apropriado para reconhecer o histórico dos
dados é o de somas acumuladas CUSUM. É de uma riqueza e sofisticação
conceitual de alto nível e no final não tão difícil a sua aplicação na fábrica.
Considerando as qualidades do CUSUM, é infeliz a sua ausência na indústria
nos dias de hoje. Nesta seção será apresentado o conceito de soma acumulada
utilizada como ponto no gráfico de controle.
6
Cálculo da CUSUM
CUSUM é a soma acumulada dos desvios das mensurações ao redor da
média ou valor nominal do processo como ponto de referência.
No caso de usar dados individuais, o desvio entre o valor observado Xi e a
media 0 (ou alvo) da variável é calculado para cada observação, e a
seqüência de desvios é acumulada numa soma contínua.
CUSUMi = (Xi - 0).
Se os Xi desviam muito do alvo, levando valores altos para os desvios, então
a soma acumulada vai rapidamente somar para valores cada vez maiores,
alertando o engenheiro do deslocamento do processo.
Em termos mais simples para calcular:
CUSUMi = CUSUMi-1 + (Xi - 0).
Na expressão, vejamos que a última CUSUMi é a soma da penúltima
CUSUMi-1 e o último desvio.
7
Cálculo da CUSUM
Para ilustrar este cálculo melhor, vamos voltar para os dados da tabela 8.5
das temperaturas em graus Celsius de uma composição química.
Foram acrescentadas à tabela 8.5 duas colunas para os cálculos das somas
acumuladas, CUSUM e a CUSUM padronizada para formar tabela 10.2.
Por exemplo, na linha leitura número 5, a entrada para CUSUM é 3,73. É o
resultado do CUSUM anterior e o desvio associado à leitura 5:
3,73 = 0,66 + (102,18 - 99,11).
Na tabela, o valor da CUSUM é relativamente estável até a vizinhança da
leitura número 11 onde uma série de desvios negativos (observados menores que
a média) aumenta rapidamente o valor da CUSUM e pode servir de alarme
necessitando investigação. No entanto, isso não é ainda o gráfico de controle.
Diferente do gráfico básico de Shewhart, a CUSUM é mais flexível teoricamente e
passou por vários aprimoramentos para facilitar o uso.
Nota-se que a unidade de mensuração na tabela é grau Celsius. Para o
gráfico de controle CUSUM, é mais fácil trabalhar com os dados padronizados,
divididos pelo desvio padrão do processo. Então a CUSUM padronizada é a soma
acumulada de desvios padronizados. Veja a última coluna da tabela.
8
Tabela 10.2 –
Temperaturas
em graus
Celsius de
uma
composição
química e a
CUSUM.
Fonte: tabela
8.5
Leitura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Média
Desvio
padrão
Amplitude
Temperatura
Móvel
CUSUM
95,43
4,42
-3,68
99,85
0,24
-2,94
100,09
1,65
-1,96
101,73
0,45
0,66
102,18
3,81
3,73
98,37
2,84
2,99
101,21
4,96
5,09
96,26
2,64
2,24
98,9
1,98
2,03
96,92
1,23
-0,16
95,7
0,65
-3,57
95,05
2,76
-7,63
97,81
0,03
-8,93
97,84
5,25
-10,2
103,09
7,91
-6,22
95,18
2,42
-10,15
97,61
0,39
-11,65
97,22
4,56
-13,54
101,78
1,54
-10,87
103,32
1,29
-6,66
102,03
1,98
-3,74
104,02
5,34
1,17
98,68
0,3
0,74
98,38
0,01
99,11
2,55
2,77
CUSUM padronizada
-1,330
-1,063
-0,709
0,239
1,348
1,081
1,840
0,810
0,734
-0,058
-1,291
-2,758
-3,228
-3,687
-2,249
-3,669
-4,212
-4,895
-3,930
-2,408
-1,352
0,423
0,268
0,004
9
CUSUM positiva e negativa.
No chão da fábrica é importante enxergar a distinção entre
a soma acumulada positiva
e a negativa
X  0 

CUSUMi max 0; CUSUMi1  i

S 

X  0 

CUSUMi  min 0; CUSUMi1  i

S 

e, por conseguinte a direção do deslocamento do processo.
Uma série de somas acumuladas de desvios negativos, por
exemplo, significa que as leituras observadas Xi são
inferiores aos valores nominais µ0 mostrando um
deslocamento do processo para baixo.
10
k valor de referência
Finalmente, há um último aprimoramento para considerar no cálculo do valor da
CUSUM, a inclusão de valor de referência k. Na prática no chão da fábrica o
engenheiro não se preocupa com toda e qualquer variação no processo. Ele já sabe
que todo processo possui algum grau de variabilidade e, se for de repercussão
menor, uma alteração pequena é tolerada e ignorada à luz da presença de outros
problemas maiores e que exigem esforços mais concentrados.
Logo, a tolerância do engenheiro em deixar de se preocupar com pequenas
modificações no processo pode ser formalizada explicitamente nas equações de
CUSUM com o valor de referência k. Este valor é diminuído dos desvios positivos
e acrescentado aos desvios negativos.
X  0


CUSUMi max 0; CUSUMi1  i
k
S


X  0


CUSUMi min 0; CUSUMi1  i
k
S


11
Tabela 10.3 –
CUSUM positiva e
negativa. k = 0,5
A força da
expressão min() e
max() nas formulas
da CUSUM é para
garantir que a
CUSUM negativa
nunca se torna
positiva e que a
CUSUM positiva
jamais tornará
negativa.
Leitura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Média
Desvio padrão
Temperatura CUSUM(-) CUSUM(+) CUSUM(-)k CUSUM(+)k
95,43
-1,33
0,00
-0,83
0,00
99,85
-1,06
0,27
-0,06
0,00
100,09
-0,71
0,62
0,00
0,00
101,73
0,00
1,57
0,00
0,45
102,18
0,00
2,68
0,00
1,06
98,37
-0,27
2,41
0,00
0,29
101,21
0,00
3,17
0,00
0,55
96,26
-1,03
2,14
-0,53
0,00
98,90
-1,11
2,06
-0,11
0,00
96,92
-1,90
1,27
-0,40
0,00
95,70
-3,13
0,04
-1,13
0,00
95,05
-4,60
0,00
-2,10
0,00
97,81
-5,07
0,00
-2,07
0,00
97,84
-5,53
0,00
-2,03
0,00
103,09
-4,09
1,44
-0,09
0,94
95,18
-5,51
0,02
-1,01
0,00
97,61
-6,05
0,00
-1,05
0,00
97,22
-6,73
0,00
-1,23
0,00
101,78
-5,77
0,97
0,00
0,47
103,32
-4,25
2,49
0,00
1,49
102,03
-3,19
3,54
0,00
2,04
104,02
-1,42
5,32
0,00
3,32
98,68
-1,57
5,16
0,00
2,66
98,38
-1,84
4,90
0,00
1,90
99,11
2,77
12
10.4 Os limites de controle (h) para o gráfico
CUSUM e a aproximação de Siegmund - NMAo
O NMA0 depende diretamente nos valores de referência k e dos limites de
controle h, sempre padronizados em desvio padrão. Na tabela 10.4 na primeira
linha, onde o deslocamento da média do processo é nulo e o processo por
definição está sob controle, encontra-se o valor de NMA0 igual a 370 para várias
configurações de k e h.
Para calcular os parâmetros do gráfico CUSUM, vamos usar uma
equação desenvolvida pelo Siegmund (1985), facilmente programada
em planilha eletrônica. A equação para o NMA0 é a seguinte:
NMA 0 
exp 2k h  1,166   2k h  1,166  1
2k 2
13
10.4 Os limites de controle (h) para o gráfico
CUSUM e a aproximação de Siegmund – NMA1
Para medir a eficiência do gráfico CUSUM para detectar variações na média do
processo temos que calcular o NMA1, o número de subgrupos que vai passar
sem perceber a variação do processo.
A equação para NMA1 leva em conta o tamanho do deslocamento da média do
processo (d).
exp 2d  k h  1,166  2d  k h  1,1661
NMA1 
2
2d  k 
14
Tabela 10.4 – NMA: comparando Shewhart com
várias configurações do gráfico CUSUM
deslocamento NMA
k=0;
em dp
Shewhart h=18,07
0
370,38
370,00
0,25
281,14
68,94
0,5
155,22
36,47
0,75
81,22
24,76
1
43,89
18,74
1,25
24,96
15,07
1,5
14,97
12,60
1,75
9,47
10,83
2
6,30
9,49
2,25
4,41
8,45
2,5
3,24
7,61
2,75
2,49
6,93
3
2,00
6,36
k=0,25;
h=8,01
370,00
84,12
28,77
16,34
11,34
8,67
7,02
5,89
5,08
4,46
3,98
3,59
k=0,5;
h=4,77
370,00
121,28
35,19
16,14
9,87
7,02
5,43
4,43
3,73
3,23
2,84
2,54
k=0,75;
h=3,32
370,00
167,11
49,53
20,15
10,80
7,00
5,10
3,99
3,27
2,77
2,40
2,12
k=1;
h=2,49
370,00
207,23
67,85
27,08
13,34
7,90
5,36
3,99
3,15
2,60
2,21
1,92
3,27
2,29
1,90
1,70
15
Figura 10.2 – NMA comparação entre várias
configurações do gráfico CUSUM e Shewhart.
NMA0 igual a 370 para todos. Fonte: tabela 10.4
50
45
40
NMA Shewhart
NMA
35
k=0; h=18,07
30
k=0,25; h=8,01
25
k=0,5; h=4,77
20
k=0,75; h=3,32
15
k=1; h=2,49
10
5
0
0
25
,
0
5
5
0, 0,7
1
25
,
1
5
5
1, 1,7
2
25
,
2
5
5
2, 2,7
3
Deslocamento do processo em dp
16
Figura 10.3 – Gráfico de controle
CUSUM, k = 0,5; h = 4,77
• Nas últimas duas colunas de tabela 10.3, são
apresentados os valores dos cálculos da CUSUM
positivo e negativo no caso de k = 0,5.
• A escolha para o valor de h (o limite de controle) pela
tabela 10.4 e figura 10.2, e respeitando o valor de
NMA0 de Shewhart de 370, pode ficar com h = 4,77.
• Na figura, esta configuração proporciona valores de
NMA1 entre os menores, reforçando a idéia da sua
eficiência relativa. Finalmente, o gráfico de controle
se encontra na figura 10.3.
17
Figura 10.3 – Gráfico de controle
CUSUM, k = 0,5; h = 4,77
6,00
CUSUM padronizada
4,00
2,00
CUSUM(-)k
CUSUM(+)k
0,00
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23
-2,00
h(+)
h(-)
-4,00
-6,00
Leituras
18
10.4 Gráfico de controle EWMA (Exponentially
Weighted Moving Average) – suavização
exponencial simples.
• Há grande discussão sobre os benefícios e desvantagens dos gráficos
de CUSUM e de EWMA.
• Os dois gráficos servem aos mesmos propósitos, eles são
caracterizados por mais eficiência para a detecção de pequenas
mudanças no processo do que os de Shewhart.
• Os dois em maneiras diferentes utilizam toda a série de dados para
calcular os limites de controle e os pontos no gráfico. No entanto, entre
os dois não há consenso sobre os méritos relativos
19
Média EWMA
A média calculada por suavização exponencial simples é definida
como uma combinação entre a média do período passado Zi-1 e
o valor observado mais recentemente Xi; o parâmetro  que
pondera a combinação será discutido em seguida:
Zi = Xi + (1-)Zi-1
Nota-se que no período anterior, Zi-1 foi calculado usando Xi-1 e Zi-2.
Nesse sentido, se for feita uma série de substituições seqüenciais
para todos os Z no passado, é possível demonstrar que a média
EWMA usa todos os dados da série e que a ponderação da
média declina geometricamente no passado até um valor
teórico de 0,00.
Em outras palavras, o gráfico EWMA possui uma base conceitual
muito intuitiva, dados mais velhos pesam menos no cálculo da
média, enquanto dados mais recentes valem mais.
20
Desvio padrão - EWMA
O desvio padrão de Zi de EWMA é o seguinte:
σ Zi  σX

λ
2i
1  1  λ 
2λ

A determinação dos limites de controle depende
exclusivamente de uma criteriosa avaliação dos conceitos de
alarme falso e alarme não dado na formulação de NMA0 e
NMA1, muito semelhante ao diagnostico feito para gráficos de
controle CUSUM.
21
Limites de controle - EWMA
O distanciamento (L) dos limites de controle da linha do meio (alvo ou
média, 0 ) depende diretamente dos valores de . Os conceitos atrás da
escolha entre pares de valores (, L) não será explorada aqui pela sua
complexidade matemática fora do alcance do livro, mas recomendamos
os artigos de Hunter(1989) e Lucas e Saccucci (1990).
Os limites de controle são,
LSC = + LZi
LC = 0
LSC = 0 - LZi
Vamos montar o gráfico de controle EWMA para os dados da tabela 10.2,
com  = 0,25 e L = 3. Esta configuração dos parâmetros significa
NMA0 = 500. É muito parecido com os NMA do esquema do CUSUM
para k = 0,75 e h = 3,32. O resultado dos cálculos se encontra na
tabela 10.5.
22
Tabela 10.5 –
Limites de
controle e
pontos para o
gráfico
EWMA. Fonte
dos dados
originais,
tabela 10.2
Leitura
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3
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9
10
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16
17
18
19
20
21
22
23
24
Média
Desvio padrão
Temperatura EWMA
95,43
98,19
99,85
98,61
100,09
98,98
101,73
99,66
102,18
100,29
98,37
99,81
101,21
100,16
96,26
99,19
98,90
99,11
96,92
98,57
95,70
97,85
95,05
97,15
97,81
97,31
97,84
97,45
103,09
98,86
95,18
97,94
97,61
97,86
97,22
97,70
101,78
98,72
103,32
99,87
102,03
100,41
104,02
101,31
98,68
100,65
98,38
100,09
99,11
LCS
101,18
101,70
101,95
102,09
102,16
102,20
102,22
102,23
102,24
102,24
102,24
102,24
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
102,25
LCI
97,04
96,52
96,27
96,13
96,06
96,02
96,00
95,99
95,98
95,98
95,98
95,98
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
95,97
2,77
23
Figura 10.4 – Gráfico de
controle EWMA,  = 0,25; L = 3.
103,00
102,00
101,00
100,00
EWMA
99,00
EWMA
LCS
LCI
98,00
97,00
96,00
95,00
94,00
93,00
92,00
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
Leituras
Fonte: Tabela 10.5
24
10.5 Gráfico de controle de
deméritos
Na seção 9.5, encontra-se a discussão sobre os gráficos de controle
para a contagem de defeitos na peça ou no subgrupo. Lá foi discutido
um exemplo de controle de defeitos em geladeiras, e nesta seção
vamos elaborar um pouco mais a história.
Infelizmente, o gerente da linha de produção de geladeiras não ficou
muito satisfeito com o gráfico de defeitos (c) porque no final há uma
grande diferença entre a severidade dos próprios defeitos, alguns
pesando muito mais que outros.
Alguns são apenas superficiais e não afetam a utilização do produto
enquanto outros são fatais e tem que ser evitados a qualquer custo.
Há diferenças de graus de severidade em termos de funcionalidade e
aparências. Juntar todos os defeitos no mesmo saco não é
procedimento cabível.
25
Limites de controle
Os limites seguem a norma de três desvios padrão de distância da
média.
Calcula-se os limites de controle como se fossem os limites do
gráfico c, apresentado na seção 9.5 no capítulo sobre gráficos de
controle de atributos.
limites de controle =
c / 3 c
LCS: 2,62 + 3*√(2,62) = 7,5 → 8
LCI: 2,62 - 3* √(2,62) = - 2,2 → 0,00
26
Tabela 10.6 –
Defeitos com
pesos
diferenciados
e Deméritos.
Fonte dos
dados
originais,
tabela 9.2
Geladeira Defeitos Defeitos Defeitos
no.
leves
médios severos
peso
peso
peso
1
3
6
Deméritos
1
0
0
0
0
2
1
1
1
10
3
1
0
0
1
4
0
0
0
0
5
0
0
0
0
6
0
0
0
0
7
0
0
0
0
8
0
0
0
0
9
0
0
0
0
10
1
0
0
1
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Total
Média
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
32
0,64
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
15
0,3
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
9
0,18
4
1
1
0
0
4
10
1
10
10
131
2,62
7,5
LCS
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
-2,2
LCI
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
27
Figura 10.5 – Gráfico de
controle para Deméritos.
14
12
10
Deméritos
8
LCS
6
LCI
4
2
0
1
4
7
10
13 16 19 22 25 28 31 34 37
40 43 46 49
Existem vários pontos fora dos
limites de controle
28
10.6 Conclusões
•
Neste capítulo apresentou quatro gráficos de controle de uso
raro na indústria brasileira, mas que guardam grandes
possibilidades.
•
Não é possível apresentar todos os gráficos de controle
interessantes e disponíveis na literatura, mas pelo menos é
importante mencionar os gráficos de controle multivariados.
Produtos e processos são cada vez mais dependentes de
múltiplas características. Por exemplo, um furo num bloco de
motor tem apenas duas características relevantes, diâmetro e
posição, mas a folha de papel poderia ter dezenas de
peculiaridades e cada uma essencial para garantir a qualidade
do papel.
•
O controle de múltiplas características é considerado a área
mais fértil pelas fábricas de classe mundial para aumentar a
eficiência da linha de produção e melhorar resultado financeira
na área de custos.
29
10.8 Referências
Cunha Alves, Custodio. (2009) O método de equação integral e quadratura
gaussiana para aproximar as propriedades estatísticas do gráfico de
controle multivariado MCUSUM. Tese de doutorado, Engenharia de Produção,
Universidade Federal de Santa Catarina.
Montgomery, D. C. (1996). Introduction to statistical quality control. New York:
Wiley.
Rocha, Rubson (2004) Implementação de sistema gerencial, com avanços em
controle estatístico, em laboratório de nutrição animal. Tese de Doutorado,
Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina
Vargas, V, Lopes, L. F., Souza, A. M. (2004) Comparative study of the performance
of the CuSum and EWMA control charts. Computers & Industrial Engineering,
46, 707–724
Hunter, JS (1989). "A One Point Plot Equivalent to the Shewhart Chart with
Western Electric Rules," Quality Engineering, 2, pp. 13-19.
LUCAS, JM and SACCUCCI, MS (1990). Exponentially weighted moving average
control schemes: properties and enhancements. Technometrics, 32, 1-29.
30