PI7 | PI8 | PI9
MATEMÁTICA
Recursos para a Prova Final de Ciclo
Apresentação
Esta compilação de materiais foi idealizada no sentido de fornecer aos professores adotantes do
projeto Pi 9, de um modo sistematizado, os recursos necessários para uma rápida revisão de
todos os conteúdos abordados ao longo do 3º ciclo, logo, uma mais eficaz ferramenta de
preparação para a Prova Final de Ciclo.
Assim, esta publicação contém:
• 19 rubricas “Resumir” (de todas as unidades do 3º ciclo);
• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Manual);
• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Caderno de Atividades);
• 9 “Provas globais” (Caderno de Atividades).
Deste modo, esperamos contribuir para a melhor preparação possível da sua atividade letiva.
Os Autores
Recursos para
a Prova Final
de Ciclo
7
Unidade 1
Números inteiros
Resumir
Multiplicação de números inteiros
O produto de dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo cujo valor absoluto é igual ao
produto dos valores absolutos dos factores.
Exemplos:
1. +2 × (+3) = +6
2. –5 × (–7) = +35
O produto de dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo cujo valor absoluto é igual
ao produto dos valores absolutos dos factores.
Exemplos:
1. +4 × (–12) = –48
2. –6 × (+10) = –60
Propriedades da multiplicação:
Propriedades
da
multiplicação
4
Propriedade
comutativa
Para quaisquer
números inteiros a e b:
a×b=b×a
Exemplo:
(–2) × (–3) = +6
(–3) × (–2) = +6
Propriedade
associativa
Para quaisquer números
inteiros a, b e c:
a × (b × c) = (a × b) × c
Exemplo:
2 × ((–3) × 4) = 24
(2 × (–3)) × 4 = 24
Existência de
elemento neutro
Sendo a um qualquer
número inteiro:
a×1=a
Exemplo:
(–2) × 1 = 2
Existência de
elemento absorvente
Sendo a um qualquer
número inteiro:
a×0=0
Exemplo:
(–7) × 0 = 0
Propriedade distributiva
em relação à adição
Para quaisquer números
inteiros a, b e c:
a × (b + c) = a × b + a × c
2 × ((–3) + 4) =
= 2 × (–3) + 2 × 4 =
= 6 + 8 = +2
Divisão de números inteiros
O quociente entre dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo. O valor absoluto do
quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.
Exemplos:
2. + 500 : (+100) = +5
1. –10 : (–5) = +2
O quociente entre dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo. O valor absoluto do
quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.
Exemplos:
1. –100 : (+20) = –5
2. +60 : (–3) = –20
O quociente entre zero e qualquer número inteiro, diferente de zero, é igual a zero.
Exemplos:
2. 0 : (+10) = 0
1. 0 : (–12) = 0
Quadro-resumo:
Multiplicação
Divisão
(+) × (+) = (+)
(+) : (+) = (+)
0 : (+) = 0
(+) × (–) = (–)
(+) : (–) = (–)
0 : (–) = 0
(–) × (+) = (–)
(–) : (+) = (–)
(–) : 0 é impossível
(–) × (–) = (+)
(–) : (–) = (+)
(+) : 0 é impossível
Potência de base inteira e expoente natural
Uma potência de base a e expoente n é um produto de n factores iguais a a:
Expoente
an = a
×a×…×a
Base
n factores
5
Unidade 1
Números inteiros
Resumir
Da deﬁnição de potência resulta que:
Uma potência de base positiva é sempre um número positivo.
Exemplos:
1. 52 = 5 × 5 = +25
2. (+1)5 = (+1) × (+1) × (+1) × (+1) × (+1) = +1
Uma potência de base negativa e expoente par é um número positivo.
Exemplos:
1. (–3)2 = (–3) × (–3) = +9
2. (–1)4 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = +1
Uma potência de base negativa e expoente ímpar é um número negativo.
Exemplos:
1. (–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27
2. (–1)5 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = –1
Quadro-resumo:
positiva (+)
negativa (–)
base
par
ímpar
Expoente
par
ímpar
+
+
sinal da
potência
+
–
Da deﬁnição de potência também é evidente que:
Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre igual a zero.
Exemplos:
1. 03 = 0 × 0 × 0 = 0
6
2. 06 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0
3. 07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0
Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b × b = a.
A raiz quadrada de a representa-se por √∫a ou 2√∫a.
Exemplos:
1. Como 52 = 25, então √∫2∫5 = 5.
2. Como 72 = 49, então √∫4∫9 = 7.
3. Como 272 = 729, então √∫7∫2∫9 = 27.
Chama-se quadrado perfeito a um número que é igual ao quadrado de um número inteiro.
Exemplos:
1. 25 = 52, logo 25 é um quadrado perfeito.
2. 49 = 72, logo 49 é um quadrado perfeito.
3. 729 = 272, logo 729 é um quadrado perfeito.
Os 10 primeiros quadrados perfeitos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Raiz cúbica
A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b × b × b = a.
A raiz cúbica de a representa-se por 3√∫a.
Exemplos:
1. Como 23 = 8, então 3√∫8 = 2.
2. Como 53 = 125, então 3√∫1∫2∫5 = 5.
3. Como 123 = 1728, então 3√∫1∫7∫2∫8 = 12.
Chama-se cubo perfeito a um número que é igual ao cubo de um número inteiro positivo.
Exemplos:
1. 8 = 23, logo 8 é um cubo perfeito.
2. 125 = 53, logo 125 é um cubo perfeito.
3. 1728 = 123, logo 1728 é um cubo perfeito.
Os 10 primeiros cubos perfeitos são 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1000.
7
Unidade 2
Sequências e regularidades
Resumir
Sequências numéricas
Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-se termos
consecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência.
11, 21, 31, 41, 51, …
1.o termo
ou
termo de
ordem 1
2.o termo
ou
termo de
ordem 2
3.o termo
ou
termo de
ordem 3
4.o termo
ou
termo de
ordem 4
5.o termo
ou
termo de
ordem 5
Lei de formação: Com excepção do 1.o termo, cada termo obtém-se adicionando
10 unidades ao termo anterior.
Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão
algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral.
O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que
se conheça a sua ordem. O termo geral também permite veriﬁcar se um número é, ou não, termo da sequência.
11, 21, 31, 41, 51, … → Termo geral: 10n + 1
Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a representação do termo
geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simpliﬁcadas, são iguais.
Termo geral:
10n + 1
11, 21, 31, 41, 51, …
Termo geral:
11 + (n – 1) × 10
…
11 + (n – 1) × 10 = 11 + 10n – 10 = 10n + 1 → 11 + (n – 1) × 10 é equivalente a 10n + 1.
8
Sequências pictóricas
Observa a seguinte sequência.
…
A sequência pictórica anterior obedece a um padrão que não é difícil de identiﬁcar: duas maçãs vermelhas são
seguidas de duas maçãs verdes, as quais são seguidas de uma maçã amarela. Desta forma, a manter-se o padrão
apresentado, pode concluir-se que a próxima peça de fruta a aparecer nesta sequência será uma maçã vermelha.
Sequências e Geometria
É possível relacionar padrões geométricos e numéricos.
A seguinte sequência é disso um bom exemplo:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Como podes observar, a cada ﬁgura corresponde um determinado número de pontos. A ﬁgura 1 é composta por
um ponto, a ﬁgura 2 por quatro pontos e a ﬁgura 3 por nove pontos. Desenhando a ﬁgura seguinte segundo o
mesmo padrão, obtém-se uma ﬁgura com dezasseis pontos:
Figura 4
Analisando cuidadosamente a sequência formada pelo número de pontos que constitui cada ﬁgura (1, 4, 9, 16, ...),
conclui-se que esta sequência representa os números quadrados.
9
Unidade 3
Funções
Resumir
Referencial cartesiano
Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles
com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitualmente igual em ambos.
y
2.o quadrante
Eixo das ordenadas
1.o quadrante
Origem do referencial
x
Eixo das abcissas
3.o quadrante
4.o quadrante
A origem do referencial tem
coordenadas (0, 0).
Cada ponto do gráﬁco ﬁca deﬁnido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma
abcissa e por uma ordenada.
(x, y)
abcissa ordenada
Coordenadas cartesianas
Funções
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde
a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.
Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se
por D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-se
por f(x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D’.
10
Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráﬁcos cartesianos ou expressões analíticas:
f(x) = 2x
Elefante
Gato
Aranha
Polvo
Homem
Altura
Número de pernas
4
8
2
Tempo
Veículo
Número de rodas
Bicicleta
2
Triciclo
3
Automóvel
4
Gráficos de proporcionalidade directa
Num gráﬁco de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do referencial.
y
y3
y1 = kx1
y2 = kx2
y2
y3 = kx3
y1
x1
x2
x3
x
Variáveis directamente proporcionais
Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo.
y=k×x
(k ≠ 0)
↓
k designa-se por constante de proporcionalidade directa
Por outras palavras, pode aﬁrmar-se que:
As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados
pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionalidade directa.
11
Unidade 3
Funções
Resumir
Referencial cartesiano
Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles
com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitualmente igual em ambos.
y
2.o quadrante
Eixo das ordenadas
1.o quadrante
Origem do referencial
x
Eixo das abcissas
3.o quadrante
4.o quadrante
A origem do referencial tem
coordenadas (0, 0).
Cada ponto do gráﬁco ﬁca deﬁnido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma
abcissa e por uma ordenada.
(x, y)
abcissa ordenada
Coordenadas cartesianas
Funções
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde
a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.
Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se
por D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-se
por f(x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D’.
12
Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráﬁcos cartesianos ou expressões analíticas:
f(x) = 2x
Elefante
Gato
Aranha
Polvo
Homem
Altura
Número de pernas
4
8
2
Tempo
Veículo
Número de rodas
Bicicleta
2
Triciclo
3
Automóvel
4
Gráficos de proporcionalidade directa
Num gráﬁco de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do referencial.
y
y3
y1 = kx1
y2 = kx2
y2
y3 = kx3
y1
x1
x2
x3
x
Variáveis directamente proporcionais
Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo.
y=k×x
(k ≠ 0)
↓
k designa-se por constante de proporcionalidade directa
Por outras palavras, pode aﬁrmar-se que:
As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados
pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionalidade directa.
13
Unidade 4
Triângulos e quadriláteros
Resumir
Triângulo
A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é
igual a 180o.
f
b
∠a + ∠b + ∠c = 180o
Num triângulo, a amplitude de qualquer um dos seus ângulos externos
é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos que não lhe são
adjacentes.
a
c
d
e
∠d = ∠a + ∠b
A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer triângulo é igual a 360o.
∠d + ∠e + ∠f = 360o
Duas figuras dizem-se congruentes, ou geometricamente iguais, se, quando sobrepostas, coincidem ponto por
ponto, ou seja, quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões. Os lados e os ângulos que coincidem
dizem-se correspondentes ou homólogos.
Dois segmentos de recta são congruentes se têm o mesmo comprimento.
A
B
C
D
AB
CD
Dois ângulos são congruentes se têm a mesma amplitude.
14
Dois polígonos são congruentes se têm lados correspondentes congruentes e ângulos correspondentes congruentes.
A
2
F
G
2
L
2,24
2,24
B
116,57o
153,43o
E
116,57
97,13o
2,24
2,24
146,31o
H
90o
2
C
153,43o
o
3
3,61
116,57o
K
116,57
97,13o
o
3
3,61
2
I
GHIJKL
90o
146,31o
D
ABCDEF
J
Dois triângulos são congruentes se têm os lados correspondentes congruentes e os ângulos correspondentes
congruentes.
A
Critério Lado-Lado-Lado (critério LLL)
Dois triângulos são congruentes se têm os três lados congruentes, cada um a cada um.
M
B
C
N
P
AB ⬅ MN
AC ⬅ MP
BC ⬅ NP
A
M
B
C
N
P
Critério Lado-Ângulo-Lado (critério LAL)
Dois triângulos são congruentes se têm dois lados congruentes, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado
congruente.
AB ⬅ MN
∠CBA ⬅ ∠PNM
BC ⬅ NP
A
B
C
M
N
P
Critério Ângulo-Lado-Ângulo (critério ALA)
Dois triângulos são congruentes se têm um lado congruente e os dois ângulos adjacentes a esse lado
congruentes, cada um a cada um.
∠CBA ⬅ ∠PNM
BC ⬅ NP
∠ACB ⬅ ∠MPN
15
Unidade 4
Triângulos e quadriláteros
Resumir
Quadriláteros
Quadriláteros
Não trapézios:
Quadrilátero sem lados paralelos.
Rectângulo:
Paralelogramo com quatro ângulos rectos.
Trapézios:
Quadrilátero com lados paralelos.
Paralelogramos:
Quadrilátero com dois
pares de lados paralelos.
Trapézio não paralelogramo:
Quadrilátero com um único
par de lados paralelos.
Quadrado:
Trapézio
isósceles:
Paralelogramo com quatro lados congruentes
e quatro ângulos rectos.
Trapézio em que os lados opostos não paralelos são
congruentes.
Losango:
Trapézio
rectângulo:
Paralelogramo com quatro lados congruentes.
Trapézio em que um dos lados opostos não paralelos
é perpendicular às bases.
Paralelogramo
obliquângulo:
Trapézio
escaleno:
Paralelogramo sem ângulos rectos.
Trapézio em que os lados opostos não paralelos não
são congruentes.
Os papagaios são quadriláteros com dois pares de lados consecutivos congruentes.
Num paralelogramo:
D
• os ângulos opostos são congruentes;
c
d
• os ângulos consecutivos são suplementares;
E
• os lados opostos são congruentes;
a
• as diagonais bissectam-se e dividem o paralelogramo em quatro
triângulos congruentes dois a dois.
16
A
b
B
C
Num losango, as diagonais bissectam-se e são perpendiculares.
B
E
A
C
D
Num rectângulo, as diagonais bissectam-se e são congruentes.
A
D
B
C
Num quadrado, as diagonais bissectam-se, são perpendiculares e são congruentes.
A
D
B
c
Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares.
Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são congruentes e a suas diagonais são congruentes.
B
C
A
D
Área do paralelogramo = base × altura
altura
base
A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360o.
17
Unidade 5
Tratamento de dados
Resumir
Estatística
A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados.
Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando
se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo).
Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da
população trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar
conclusões válidas para toda a população.
Um histograma é um gráfico constituído por rectângulos adjacentes, sendo a área de cada um desses rectângulos proporcional à frequência da classe que representa.
Velocidades máximas dos animais analisados
Número de animais
7
6
5
4
3
2
1
0
[0, 20[
[20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ [80, 100[ [100, 120[
Velocidade (km/h)
Este tipo de gráﬁco deve apresentar as seguintes características:
• deve ter um título adequado;
• os dados devem estar agrupados em classes;
• a área de cada rectângulo deve ser proporcional à frequência da classe que representa;
• no eixo das abcissas representam-se as diferentes classes;
• no eixo das ordenadas representam-se as frequências de cada uma das classes;
• os rectângulos correspondentes às diferentes classes são adjacentes, isto é, não têm espaços entre si.
Medidas de localização
Média de um conjunto de dados
– é o valor que se obtém dividindo a soma dos vaA média de um conjunto de dados, que se representa por x,
lores observados pelo número total de observações.
18
Exemplo:
Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.
5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 10
–
x=
= 7,5
8
Mediana de um conjunto de dados
Depois de ordenado o conjunto de dados, podem veriﬁcar-se duas situações:
• se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me) é o valor central desse conjunto de dados;
• se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto
de dados.
Exemplos:
1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8.
2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.
Mediana:
Mediana:
4 5 6 7 8 8 12
4 5 6
Me = 7
Me =
7 8
8 10 12
7+8
= 7,5
2
Quartis de um conjunto de dados
• a mediana dos dados que ﬁcam à esquerda da Me, designa-se por 1.o quartil, Q1;
• a Me coincide com o 2.o quartil, Q2;
• a mediana dos dados que ﬁcam à direita da Me, designa-se por 3.o quartil, Q3.
Exemplos:
1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8.
2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.
Quartis:
Quartis:
1.o Quartil: 4 5 6 7 8 8 12
1.o Quartil: 4 5 6
5+6
Q1 =
= 5,5
2
Q1 = 5
2.o Quartil = Mediana = 4 5 6 7 8 8 12
Q2 = 7
3.o Quartil: 4 5 6 7 8 8 12
Q3 = 8
7 8 8 10 12
2.o Quartil = Mediana = 4 5 6
7+8
Q2 =
= 7,5
2
3.o Quartil: 4 5 6 7 8
8 + 10
Q3 =
=9
2
8 10
7 8
8 10 12
12
Medidas de dispersão
Amplitude = máximo – mínimo
Amplitude interquartis = 3.o quartil – 1.o quartil
19
Unidade 6
Equações
Resumir
Uma equação é uma igualdade onde ﬁgura pelo menos uma letra.
Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um
membro da equação: a que ﬁca à esquerda do sinal é o primeiro membro e a que ﬁca à direita é o segundo
membro.
x – 3 = 5 – 2x
o
1. membro 2.o membro
Cada um dos membros da equação pode ser constituído por um ou mais monómios, que se designam por termos
da equação. Os termos que contêm incógnita denominam-se termos com incógnita. Os termos sem incógnita
chamam-se termos independentes.
x – 3 = 5 – 2x
Termos
com incógnita
(x, –2x)
Termos
independentes
(–3, 5)
Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal.
Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se as soluções ou raízes
dessa equação. Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes (⇔).
Regra da adição: Se se adicionar (ou subtrair) a ambos os membros da equação um mesmo número, obtém-se
uma equação equivalente à inicial.
Regra prática da adição: numa equação, podemos mudar um termo de um membro para outro desde que se
lhe troque o sinal:
x+a=b⇔x=b–a
Regra da multiplicação: Se se multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número, diferente
de zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial.
ax = b ⇔ c . ax = c . b e ax = b ⇔
20
a
b
x = , em que c é um número diferente de zero.
c
c
De acordo com as regras anteriores, pode deﬁnir-se uma sequência de procedimentos que permitem chegar rapidamente à solução de uma equação:
1.o desembaraçar de parênteses, aplicando a propriedade distributiva;
2.o agrupar os termos semelhantes (termos com incógnita no primeiro membro e termos independentes no
segundo membro);
3.o reduzir os termos semelhantes;
4.o aplicar a regra da multiplicação e simplificar para obter o conjunto-solução.
Exemplo:
2(x – 6) = –12 ⇔
← Desembaraçar de parênteses.
⇔ 2x – 12 = –12 ⇔
← Adicionar em ambos os membros o termo +12.
⇔ 2x – 12 + 12 = – 12 + 12 ⇔
← Simpliﬁcar ambos os membros, adicionando os termos semelhantes.
⇔ 2x = 0 ⇔
0
← Dividir ambos os membros por 2.
⇔x= ⇔
2
← Simpliﬁcar, tornando a fracção irredutível.
⇔x=0
C.S. = {0}
Classiﬁcação de equações
Uma equação que admite uma e uma só solução diz-se possível e determinada.
Quando uma equação tem mais do que uma solução diz-se possível e indeterminada.
Uma equação que não admite solução diz-se impossível.
Principais passos na resolução de um problema
1.o ler atentamente o enunciado, distinguindo o que é dado do que é pedido;
2.o escolher uma letra (incógnita) que represente o número que é pedido;
3.o escrever uma equação que traduza o problema;
4.o resolver a equação;
5.o verificar se a solução da equação também é solução do problema;
6.o apresentar a resposta ao problema.
21
Unidade 7
Figuras semelhantes
Resumir
Figuras semelhantes
Duas ﬁguras dizem-se semelhantes se tiverem a mesma forma.
se veriﬁca
uma ampliação
Duas ﬁguras dizem-se
semelhantes se:
são congruentes
se veriﬁca
uma redução
Razão de semelhança
A razão constante entre os comprimentos dos lados correspondentes de ﬁguras semelhantes chama-se razão
de semelhança (r > 0), sendo comum utilizar-se as letras r ou k para a simbolizar.
Razão de
semelhança
(r > 0)
r>1
Ampliação
r<1
Redução
r=1
Congruentes
Construção de figuras semelhantes
Para construir ﬁguras semelhantes podem utilizar-se diferentes métodos. Por exemplo:
Método da quadrícula
Método da homotetia
A
A’
O
C’
B’
C
D’
B
22
Pantógrafo
D
Polígonos semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se e só se os ângulos correspondentes são congruentes e os comprimentos dos
lados correspondentes são proporcionais.
Exemplo:
B
1,4
C
2
135o
45o
A
Notação
Ângulos
correspondentes
Lados
correspondentes
ABCD ~ EFGH
↓
é semelhante a…
∠A ⬅ ∠E
∠B ⬅ ∠F
∠C ⬅ ∠G
∠D ⬅ ∠H
AB = BC = CD = DA
EF FG GH HE
1,4
135o
45o
D
4
F
2,8
G
4
135
o
135
2,8
o
45o
E
45o
8
H
Triângulos semelhantes
Para veriﬁcar se dois triângulos são semelhantes não é necessário comparar os três lados e os três ângulos dos
dois triângulos. Basta utilizar um dos seguintes critérios.
Critérios de semelhança
Critério lado-lado-lado
(LLL)
Critério ângulo-ângulo
(AA)
Critério lado-ângulo-lado
(LAL)
Dois triângulos são semelhantes
se têm os três lados
proporcionais.
Dois triângulos são semelhantes
se têm dois ângulos
congruentes.
Dois triângulos são semelhantes
se têm dois lados proporcionais
e os ângulos por eles formados
congruentes.
F
C
3
A
6
F
F
C
4
C
2
3
B
4
2
D
6
DF 6
= =2
AC 3
FE
4
= =2
CB 2
DE 6
= =2
AB 3
E
A
B
D
∠ACB ⬅ ∠DFE
∠CBA ⬅ ∠FED
Pelo critério AA, o triângulo ABC é
semelhante ao triângulo DEF.
Pelo critério LLL, o triângulo ABC é
semelhante ao triângulo DEF.
E
A
3
B
D
E
6
FE
4
= =2
CB 2
DE 6
= =2
AB 3
∠CBA ⬅ ∠FED
Pelo critério LAL, o triângulo ABC é
semelhante ao triângulo DEF.
Perímetros e áreas de figuras semelhantes
• Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre os respectivos perímetros é igual à razão de semelhança.
• Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre as respectivas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.
23
TESTAR
24
1.
Associa um número inteiro a cada uma das seguintes situações.
[1]
1.1. A Mariana ganhou 8 € num sorteio.
[1]
1.2. A Carla perdeu uma nota de 5 € que levava no bolso.
[1]
1.3. O João depositou 500 € na sua conta bancária.
[1]
1.4. O Sr. Fernando passou um cheque de 2600 € para pagar o conserto do seu automóvel.
2.
Escreve:
[2]
2.1. um número inteiro compreendido entre –5 e 7;
[2]
2.2. um número inteiro compreendido entre –12 e –10;
[2]
2.3. um número não inteiro compreendido entre –4 e –7.
3.
Sem efetuares cálculos, indica o sinal de cada uma das seguintes potências.
[1]
3.1. (–1)4
[1]
3.2. (+7)8
[1]
3.3. (–7)3
[1]
3.4. (+1)8
4.
Calcula.
[3]
4.1. –(–3) + (–2)
[3]
4.2. –(–6 + 4) + (–3 –1)
[3]
4.3. (–3) = (–9)
[3]
4.4. (–12) : (–6)
[3]
4.5. (–3) = (–12) + (–36)
[3]
4.6. (–3 + 4) = (–2) + (–8) : (–8)
[3]
4.7. –7 = (–10 + 3) – (–6)
[3]
4.8. (–6) : (–3) = (–4) : (–1)
5.
Calcula.
[2]
5.1. (–3)2
[2]
5.2. (–4)2 + (+3)3
[2]
5.3. (–5)2 + (–7)2
[2]
5.4. (–6)2 – (–1)250
[3]
5.5. (–3 + 2)4 : (–1)50 – (–3 + 7)2
6.
Escreve sob a forma de uma só potência.
[3]
6.1. (–3)3 = (–2)3 : (+6)2
[3]
6.2. (–2)3 : (–2)2 = (–2)4
7.
Apresentando todos os cálculos que tiveres de efetuar, responde às questões.
[2]
7.1. Qual é o valor absoluto do produto de –5 por 12?
[2]
7.2. Qual é o quociente entre o simétrico de –6 e o valor absoluto de –2?
[2]
7.3. Qual é o quadrado do valor absoluto de 12?
[2]
7.4. Qual é o quadrado da soma de +5 com o simétrico de –6?
8.
Uma capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo número.
Por exemplo, 75 957 e 30 003 são capicuas.
[3]
8.1. Escreve três capicuas diferentes das referidas no exemplo.
[3]
8.2. Indica o menor quadrado perfeito que seja capicua.
[3]
8.3. Indica os quadrados perfeitos inferiores a 1000 que são capicuas.
9.
Depois de copiares para o teu caderno, completa os enquadramentos colocando nos espaços
vazios dois números inteiros consecutivos.
Exemplo: 2 √∫7 3 (2 e 3 são números inteiros consecutivos)
[2]
9.1. ? √∫2∫4 ?
[2]
9.2. ? 3√∫5∫5 ?
[2]
9.3. ? √∫5∫7 ?
[2]
9.4. ? 3√∫5∫8∫3 ?
10.
Sabendo que o quadrado de um número positivo é 49, calcula o cubo da soma desse número
com 1.
[6]
11.
[5]
Calcula a área de um quadrado cujo lado tenha o dobro do comprimento do lado de um quadrado de 20 m2 de área.
(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.)
12.
[9]
Calcula a área lateral de um cubo cujas arestas tenham o triplo do comprimento das arestas
de um cubo com 30 m3 de volume.
(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.)
25
Unidade 2
Sequências e regularidades
TESTAR
1.
Observa a seguinte sequência de ﬁguras, onde estão empilhados azulejos brancos e cinzentos, segundo uma determinada regra.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
[4]
1.1. Indica o número de azulejos brancos e o número de azulejos cinzentos necessários para
construir a ﬁgura 5.
[6]
1.2. Na sequência acima representada, existirá alguma ﬁgura com um total de 66 azulejos?
Explica a tua resposta.
[8]
1.3. Tendo em conta o número de cada ﬁgura (1, 2, 3, …, n, … ), escreve uma fórmula que permita calcular o número de azulejos cinzentos utilizados em cada uma das ﬁguras.
o
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3. Ciclo, 2003
2.
Considera a sequência de termo geral 10n – 8.
[2]
2.1. Determina os quatro primeiros termos da sequência.
[3]
2.2. Determina o termo de ordem dez da sequência.
[4]
2.3. Veriﬁca se os números 72 e 100 são, ou não, termos desta sequência. Em caso aﬁrmativo, indica a ordem de cada um desses termos.
3.
De seguida, apresentam-se diversas sequências numéricas:
Sequência 1: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
Sequência 2: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Sequência 3: –5, –2, 1, 4, 7, 10, …
1 1 3 2 5
Sequência 4: , , , , , …
3 2 5 3 7
[9]
3.1. Indica os três próximos termos de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio.
[5]
3.2. Indica um possível termo geral de cada uma das sequências.
4.
Como sabes, uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono. Observa a tabela, que relaciona diversos polígonos com
o número das suas diagonais.
[7]
Polígono
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Número de diagonais
0
2
5
9
Indica quantas diagonais tem um heptágono. E um octógono? Explica o teu raciocínio.
26
5.
A Maria utilizou fósforos para construir as seguintes ﬁguras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
As ﬁguras fazem parte de uma sequência.
[3]
5.1. Representa, no teu caderno, a próxima ﬁgura da sequência.
[6]
5.2. Completa a seguinte tabela indicando os valores de a e b.
Número da figura
1
2
3
7
10
Número de fósforos
4
10
16
a
b
A expressão algébrica que permite determinar o número de fósforos utilizados para construir a ﬁgura de ordem n é 6n – 2.
[3]
5.3. Determina o número de fósforos utilizados na ﬁgura 35.
[6]
5.4. Haverá alguma ﬁgura com 50 fósforos? Se sim, indica a sua ordem, justiﬁcando convenientemente.
6.
As ﬁguras seguintes são constituídas por quadrados.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
[4]
6.1. Desenha a ﬁgura seguinte.
[3]
6.2. Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados da ﬁgura de
ordem n.
[5]
6.3. Comenta a aﬁrmação: “Uma das ﬁguras desta sequência é constituída por 43 quadrados”.
[6]
6.4. Tomando a área do quadrado como unidade, determina a área de cada uma das 3 ﬁguras.
[8]
6.5. Escreve uma expressão algébrica que permita determinar a área de cada uma das 3 ﬁguras.
[8]
6.6. Dois amigos, o Rui e o Nuno, responderam à alínea 6.2. O Rui diz que a expressão algébrica
é 3(n + 1) – 3, enquanto o Nuno diz que é –(3 – 3n) + 3. Será que algum deles tem razão?
Justiﬁca.
27
Unidade 3
Funções
TESTAR
1.
No referencial cartesiano estão assinalados quatro pontos,
A, B, C e D.
[4]
1.1. Indica as coordenadas de cada um dos pontos assinalados.
[3]
1.2. Indica quais dos pontos assinalados têm abcissa
maior do que a ordenada.
[3]
1.3. Qual dos quatro pontos assinalados está mais próximo
( )
do ponto X
2.
[8]
5
, 2 ? Justiﬁca.
2
Indica, justiﬁcando, quais das seguintes correspondências são funções.
I.
II.
III
V.
3.
IV.
VI.
x
10
20
30
40
50
x
y
a
b
c
d
e
y
1
4
2
5
6
3
7
8
4
5
9 10 11 12 13
Observa a tabela, que representa a função m:
x
1
y
5 10 15 20
2
3
4
[6]
3.1. Indica o domínio e o contradomínio da função m.
[8]
3.2. Constrói um gráﬁco cartesiano que represente a função m.
3.3. Depois de copiares as seguintes expressões para o teu caderno, completa-as:
[3]
a) m(4) = ?;
[3]
b) m(?) = 10;
[5]
28
3.4. Indica, justiﬁcando, qual das seguintes expressões algébricas pode representar a função m.
1
1
[A] y = 2x
[B] y = 5x
[C] y = x
[D] y = x
5
2
4.
[8]
Qual dos seguintes gráﬁcos mostra a relação entre a altura de uma vela e o tempo que decorre desde o instante em que foi acesa? Num pequeno texto explica a tua opção, indicando
as razões que te levaram a rejeitar os restantes gráﬁcos.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2004)
5.
Considera a tabela que relaciona o comprimento do lado de um quadrado e o seu perímetro.
Comprimento do lado (m)
a
b
c
8
Perímetro (m)
4
6
20
d
[6]
5.1. Determina os valores de a, b, c e d.
[4]
5.2. O perímetro do quadrado é diretamente proporcional ao comprimento do seu lado? Em
caso aﬁrmativo, indica o valor da constante de proporcionalidade e qual o seu signiﬁcado
no contexto do problema.
[8]
5.3. Representa por l o comprimento do lado do quadrado e por P o perímetro do quadrado.
Escreve uma expressão que relacione l com P.
6.
O André e o Filipe, ambos praticantes de skate, vivem em Braga. Num
determinado dia, ambos tiveram de
se deslocar ao Porto para participar
numa prova de skate.
O gráﬁco mostra a viagem
Braga--Porto-Braga, de cada um dos
dois amigos.
[3]
6.1. Qual dos dois amigos saiu primeiro de Braga?
[3]
6.2. A que horas saiu o André de Braga?
[3]
6.3. Qual dos dois amigos chegou primeiro ao Porto?
[4]
6.4. Às 13:30 h, a que distância do Porto se encontrava o Filipe?
[4]
6.5. No percurso Braga-Porto, o Filipe esteve parado. Quanto tempo?
[4]
6.6. Qual dos dois amigos permaneceu mais tempo no Porto?
[4]
6.7. Em que instantes se encontravam os dois amigos à mesma distância de Braga?
[6]
6.8. Qual foi a velocidade média a que se deslocou o Filipe no seu percurso Porto-Braga?
29
Unidade 4
Triângulos e quadriláteros
TESTAR
1.
Observa a ﬁgura, onde b//c.
[2]
1.1. Determina a amplitude do ângulo α. Explica o teu raciocínio.
[4]
1.2. Classiﬁca o triângulo ABC quanto à amplitude dos ângulos e quanto ao comprimento dos
lados.
[6]
1.3. Passando por C, traçou-se uma reta t, paralela à reta AB. Seja P o ponto de interseção
da reta t com a reta c. Prova que os triângulos ABC e BPC são congruentes.
2.
Observa os polígonos.
Indica, pela letra correspondente, todos os:
[2]
2.1. paralelogramos;
[2]
2.2. losangos;
[1]
2.3. quadrados;
[2]
2.4. quadriláteros com pelo menos dois ângulos retos, que não sejam quadrados;
[3]
2.5. polígonos com pelo menos um eixo de simetria.
3.
O professor da Catarina e da Andreia pediu-lhes que descrevessem um quadrado.
De seguida, apresentam-se as descrições fornecidas por cada uma delas:
[6]
Catarina: “Um quadrado é um paralelogramo com quatro lados congruentes.”
Andreia: ”Um quadrado é um losango com quatro ângulos retos”.
Uma das amigas não deﬁniu corretamente um quadrado. Qual delas foi? Explica o teu raciocínio.
4.
[4]
30
Resolve o seguinte problema e explica o teu raciocínio.
Sou um quadrilátero com um único par de lados paralelos, não tenho ângulos retos e as minhas diagonais não são congruentes. Quem sou eu?
5.
Constrói, no teu caderno:
[3]
5.1. o triângulo ABC, em que AB = 5 cm, BC = 8 cm e ABC = 48o;
[4]
5.2. um paralelogramo em que dois lados consecutivos meçam 6 cm e 3 cm e o ângulo por
eles formado tenha 90o de amplitude;
[5]
5.3. um trapézio retângulo cuja base maior meça 6 cm e a base menor 3 cm.
6.
Determina a amplitude do ângulo α e justiﬁca que ABCD não é
um paralelogramo.
[6]
7.
[10]
8.
[12]
Considerando que cada quadrícula tem 1 cm de lado, determina quantas vezes é a área do paralelogramo ABCD maior
que a área do triângulo BED. Explica o teu raciocínio.
Na ﬁgura seguinte BCDE é um trapézio e ABE um triângulo
isósceles. Determina as amplitudes dos ângulos α, β e ε.
Explica o teu raciocínio.
9.
O Fábio foi visitar um enorme desﬁladeiro com uns amigos. Como é muito curioso, o Fábio quis
saber qual era a largura do desﬁladeiro, mas nenhum dos seus amigos lhe soube dar essa informação. Então, o Fábio lembrou-se de um processo que havia aprendido nas aulas de Matemática e procedeu tal como o ilustrado na ﬁgura seguinte.
[10]
9.1. Explica, detalhadamente, qual é o processo utilizado pelo Fábio.
[6]
9.2. Se BD = 15 m, determina a largura do desﬁladeiro.
10.
Observa a ﬁgura, onde estão representadas duas circunferências de centros A e B, e o triângulo ABC.
[12]
Prova, utilizando uma tabela de duas colunas, que o triângulo ABC é equilátero.
31
Unidade 5
Tratamento de dados
TESTAR
1.
De entre os 500 funcionários de uma empresa foram selecionados 150 para se avaliar o grau
de satisfação dos funcionários com o serviço da cantina.
[6]
1.1. O estudo realizado foi um censo ou uma sondagem? Justiﬁca.
[2]
1.2. Qual é a população em estudo?
[2]
1.3. Qual é a amostra escolhida?
2.
Durante o passado mês de agosto, foram registados todos os atrasos existentes nos voos de
uma companhia de aviação. Os resultados obtidos, em minutos, encontram-se registados de
seguida:
3
16
41
25
9
10
24
7
27
13
7
38
48
8
17
30
11
53
22
14
2
55
46
6
29
21
15
39
43
19
[8]
2.1. Considerando as classes [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[, [50, 60[, organiza
os dados numa tabela de frequências.
[8]
2.2. Representa os dados da tabela que construíste na alínea anterior, através de um histograma.
[3]
2.3. Em quantos voos se registaram atrasos de pelo menos trinta minutos?
[4]
2.4. Calcula a percentagem de voos com um atraso igual ou superior a vinte minutos e inferior a quarenta minutos.
[4]
2.5. Sabendo que a companhia de aviação realizou, no referido mês, um total de 50 voos, determina a percentagem de voos que cumpriram o horário inicialmente previsto. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
[5]
2.6. Qual das medidas de localização te parece ter maior valor nesta distribuição, a média ou
a mediana? Explica o teu raciocínio.
3.
A pedido da Maria, todas as pessoas convidadas para a sua festa de aniversário vão levar,
pelo menos, um CD de música.
A Maria perguntou a cada um dos convidados quantos CD tencionava levar e fez uma lista
onde escreveu as respostas.
Depois de ordenadas todas as respostas, por ordem crescente, as primeiras 14 são as seguintes:
[12]
1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5
Sabendo que a mediana de todas as respostas dadas é 4, quantas pessoas foram convidadas
para a festa de aniversário da Maria? Explica o teu raciocínio.
Teste Intermédio de Matemática, 3.o Ciclo, 2008
32
4.
Para angariar fundos para a construção de uma nova sede, o clube de futebol Os Medalhados
decidiu vender rifas a todos os seus associados. O número de rifas vendidas a cada sócio do
clube variou de 1 a 4.
O gráﬁco seguinte mostra, de entre 50 sócios, a percentagem dos que compraram 1, 2, 3 ou
4 rifas.
[6]
4.1. Determina o número de sócios, de entre os 50, que compraram 2 rifas.
[10]
4.2. Fez-se uma lista onde se registou o número de rifas compradas por cada um dos 10 sócios.
A mediana dessa lista de números é 2,5. Destes 10 sócios, houve quatro que compraram
1 rifa, três que compraram 3 rifas e um que comprou 4 rifas.
Quantas rifas poderá ter comprado cada um dos outros dois sócios? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Teste Intermédio do Ensino Básico, 3.o Ciclo, fevereiro – 2009
5.
Os seguintes diagramas representam a precipitação diária (em mm) veriﬁcada em duas cidades
estrangeiras, durante o mês de janeiro de 2006.
A
B
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
Precipitação diária veriﬁcada no
mês de janeiro de 2006
[6]
[4]
5.1. Em qual das cidade se veriﬁcou o dia com maior precipitação?
[6]
5.2. Indica a percentagem de dias em que, na cidade A, se veriﬁcou uma precipitação maior
ou igual a 110 mm. Explica o teu raciocínio.
[7]
5.3. Durante aproximadamente quantos dias se veriﬁcou, na cidade B, uma precipitação igual
ou superior a 50 mm e igual ou inferior a 170 mm? Explica o teu raciocínio.
[7]
5.4. Num pequeno texto, compara a precipitação veriﬁcada nas duas cidades durante o mês
de janeiro de 2006. Nesta explicação deverás fazer, sempre que possível, referência às
medidas de localização e de dispersão que conheces.
5.5. Comenta a aﬁrmação: “Nestas duas cidades choveu durante todo o mês de janeiro”.
33
Unidade 6
Equações
TESTAR
1.
[5]
Indica, justiﬁcando, qual das seguintes expressões é uma equação.
[A] –x = x + 6
[B] 2x ≤ –40
[C] +10 + 3 = +13
[D] 4 = 6 + 2
2.
Considera a equação –2x + 4 + 3x = 2 – 5x.
2.1. Indica:
[1]
a) a incógnita;
[2]
b) o 1.o membro;
[2]
c) o 2.o membro;
[2]
d) os termos independentes.
[4]
2.2. Veriﬁca se –1 é solução da equação.
3.
Qual é a solução da seguinte equação?
[4]
3b – 5(b + 1) = 0
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2002
4.
Veriﬁca se algum dos números 0, 1 ou 2 é solução da equação x + 7 = 2x + 6.
[6]
34
5.
Traduz por meio de uma equação.
[5]
5.1. O Pedro e o Filipe fazem coleção de berlindes. O Pedro tem o triplo dos berlindes do Filipe.
Os dois amigos, em conjunto, têm 40 berlindes.
[5]
5.2. Um retângulo tem 18 cm2 de área e o seu comprimento é o dobro da sua largura.
[5]
5.3. A Joana e a Maria são primas. A Joana é 3 anos mais velha que a Maria. A soma das idades das duas primas é 7 anos.
6.
Resolve e classiﬁca cada uma das seguintes equações.
[3]
6.1. 2 + x = 12
[3]
6.2. 4 – x = –x – 8
[4]
6.3. 2(x – 10) = 2x – 20
[6]
6.4. –(–x + 4) = +(–x + 6) – 2
[6]
6.5. –5(x – 4) = +2(–x – 1)
7.
Considera as seguintes equações:
A. 4x – 12 = 6x + 2
B. –3x + 6x + 2 = –47 – 4x
[4]
7.1. Resolve cada uma das equações anteriores.
[2]
7.2. As equações são equivalentes? Justiﬁca.
8.
Todos os dias um pastor alentejano leva os seus
150 animais a pastar num grande campo verde.
O número de ovelhas é metade do número de cabras e a terça parte do número de carneiros. Determina quantos carneiros fazem parte do
rebanho deste pastor.
[8]
9.
[7]
O Pedro, a Fátima e o Fernando colecionam selos. A Fátima tem mais 90 selos do que o Pedro
e o Fernando tem menos 30 do que a Fátima. Sabendo que, em conjunto, têm 1050 selos, determina quantos selos tem cada um deles.
10.
Escreve a equação que cada ﬁgura sugere e, de seguida, determina o valor de x.
[3]
10.1.
[3]
10.2.
[5]
10.3.
[5]
10.4.
35
Unidade 7
Figuras semelhantes
TESTAR
1.
As ﬁguras A e B são semelhantes.
Figura A
Figura B
Efetua as medições que entenderes necessárias e indica:
[4]
1.1. a razão de semelhança da ﬁgura B para a ﬁgura A;
[4]
1.2. a razão de semelhança da ﬁgura A para a ﬁgura B.
2.
Observa a ﬁgura.
[4]
2.1. Indica a razão de semelhança que transforma o triângulo ABC no triângulo A’B’C’.
[5]
2.2. Admitindo que o perímetro do triângulo A’B’C’ é 36 cm, determina o perímetro do triângulo ABC.
[6]
2.3. Admitindo que a área do triângulo ABC é 9 cm2, determina a área do triângulo A’B’C’.
3.
Na ﬁgura, estão representados três retângulos, A, B e C, cujas dimensões estão indicadas
em centímetros.
[6]
3.1. Apenas dois dos retângulos representados na ﬁgura são semelhantes. Indica a razão
dessa semelhança, considerando-a uma redução.
[8]
3.2. Existe um quadrado que tem o mesmo perímetro do que o retângulo B. Determina, em centímetros quadrados, a área desse quadrado. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 2006, chamada
36
4.
Observa a ﬁgura e comenta as aﬁrmações.
[5]
A. D é uma ampliação de A de razão 3.
[5]
B. A e B são polígonos semelhantes de razão 2.
1
C. B é uma redução de C de razão .
2
[5]
5.
[8]
Indica, justiﬁcando, quais das seguintes aﬁrmações são falsas.
A. Dois quadrados são sempre semelhantes.
B. Dois retângulos são sempre semelhantes.
C. Dois triângulos são sempre semelhantes.
D. Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.
E. Dois círculos são sempre semelhantes.
6.
Sabendo que AB//CD, determina x em cada uma das situações:
[7]
6.1.
6.2.
[7]
7.
No auditório que vai acolher a peça do grupo de teatro
da escola da Liliana foi colocado, a 2 m do solo, um foco
de luz. Realizados os necessários testes, veriﬁcou-se
que este foco, à altura indicada, iluminava uma área circular com 1 m de diâmetro.
[6]
7.1. Determina a que distância do solo deve ser colocado
o foco para se iluminar uma área circular com 2 m
de diâmetro.
[8]
7.2. Depois de alguma discussão, decidiu colocar-se o foco a 3 m do solo. Determina o diâmetro da área circular iluminada.
8.
Prova, por redução ao absurdo, que, na ﬁgura seguinte, o segmento de reta DE não é paralelo
ao segmento de reta AB.
[12]
37
Unidade 1
Números inteiros
Testar
1
“O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”
Prova que a aﬁrmação anterior é falsa, encontrando um contra-exemplo.
2
Sem efectuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.
Potência
(–9)2
(+27)24
(–35)457
(+24)223
Sinal
3
4
Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.
3.1
((–3)2 + (–7)) = (–5 + 6)
3.2
(–5 = (–2 +1))3 : (–5)
3.3
0456 + (–1)789 = (–3√∫1∫2∫5) + (+1)178 = (–32 + √∫3∫6)
3.4
√∫(–∫ 3∫ )∫ ∫ ∫=∫ ∫(∫–∫2∫)∫ ∫+∫ ∫3∫√∫∫2∫∫7 ∫–∫(3∫ ∫√∫∫3∫)3∫ ∫
Observa a ﬁgura.
Como podes observar, a ﬁgura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem
36 mm2 de área, determina o perímetro da ﬁgura.
38
5
Na ﬁgura A está representado um dado equilibrado, cuja planiﬁcação se apresenta esquematizada na
ﬁgura B. A Maria vai lançar este dado duas vezes e multiplicar os números saídos nos dois lançamentos.
–1
1
–1
0
1
0
0
–1
Figura A
6
1
Figura B
5.1
Quais os produtos que a Maria pode obter?
5.2
A Maria acha que o produto dos dois números será negativo, enquanto a sua amiga Leonor
acha que o produto será positivo. Quem achas que tem mais hipótese de acertar? Explica o teu
raciocínio.
5.3
Sabendo que o cubo da ﬁgura A tem 27 cm3 de volume, determina a área das faces que contêm números não negativos. Explica como procedeste.
Observa o polígono RSTU.
R
S
T
U
O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, RR’U e SS’T, e um quadrado, RR’S’S, tal como mostra a ﬁgura seguinte.
U
R
R
S
S
R’
R’
S’
S’
T
Sabendo que UR’ = 4 cm e que a área do quadrado RR’S’S é igual a 16 cm2, determina UT.
39
Unidade 1
Números inteiros
Testar
1
“O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”
Prova que a aﬁrmação anterior é falsa, encontrando um contra-exemplo.
2
Sem efectuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.
Potência
(–9)2
(+27)24
(–35)457
(+24)223
Sinal
3
4
Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.
3.1
((–3)2 + (–7)) = (–5 + 6)
3.2
(–5 = (–2 +1))3 : (–5)
3.3
0456 + (–1)789 = (–3√∫1∫2∫5) + (+1)178 = (–32 + √∫3∫6)
3.4
√∫(–∫ 3∫ )∫ ∫ ∫=∫ ∫(∫–∫2∫)∫ ∫+∫ ∫3∫√∫∫2∫∫7 ∫–∫(3∫ ∫√∫∫3∫)3∫ ∫
Observa a ﬁgura.
Como podes observar, a ﬁgura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem
36 mm2 de área, determina o perímetro da ﬁgura.
40
5
Na ﬁgura A está representado um dado equilibrado, cuja planiﬁcação se apresenta esquematizada na
ﬁgura B. A Maria vai lançar este dado duas vezes e multiplicar os números saídos nos dois lançamentos.
–1
1
–1
0
1
0
0
–1
Figura A
6
1
Figura B
5.1
Quais os produtos que a Maria pode obter?
5.2
A Maria acha que o produto dos dois números será negativo, enquanto a sua amiga Leonor
acha que o produto será positivo. Quem achas que tem mais hipótese de acertar? Explica o teu
raciocínio.
5.3
Sabendo que o cubo da ﬁgura A tem 27 cm3 de volume, determina a área das faces que contêm números não negativos. Explica como procedeste.
Observa o polígono RSTU.
R
S
T
U
O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, RR’U e SS’T, e um quadrado, RR’S’S, tal como mostra a ﬁgura seguinte.
U
R
R
S
S
R’
R’
S’
S’
T
Sabendo que UR’ = 4 cm e que a área do quadrado RR’S’S é igual a 16 cm2, determina UT.
41
Unidade 3
Funções
Testar
1
Qual das seguintes correspondências não deﬁne uma função?
[A]
[B]
y
[C]
[D]
y
y
y
x
x
x
x
2
Observa a representação gráﬁca da função g.
y
2
1
0
–2
–1
0
1
2
3 x
–1
3
2.1
Indica o domínio e o contradomínio da função g.
2.2
Qual a imagem, por g, do objecto –1?
2.3
Qual é o objecto que, por g, tem imagem 2?
2.4
Completa as seguintes expressões:
a) g(3) = _______
b) g(_______) = 1
Na papelaria do Sr. António tiram-se fotocópias. A tabela seguinte relaciona o preço a pagar pelo
cliente, em euros, com o número de fotocópias tiradas.
Número de fotocópias
Preço (€)
42
1
2
3
4
5
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
3.1
Prova que o preço a pagar é directamente proporcional ao número de fotocópias tiradas.
3.2
Determina a constante de proporcionalidade e indica qual o seu signiﬁcado.
3.3
Escreve uma expressão algébrica que represente a função que ao número de fotocópias, n,
tiradas associa o preço, P, a pagar pelo cliente.
A Soﬁa é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráﬁco seguinte pode
observar-se a correspondência entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Soﬁa,
em euros.
Quantia a receber (€)
4
y
40
30
20
10
0
2
4
6
8
x
Tempo de trabalho (h)
5
4.1
Que valor recebe a Soﬁa por cada hora de trabalho?
4.2
Se a Soﬁa, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?
4.3
A Soﬁa, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns cálculos e veriﬁcou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um total
de 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Soﬁa?
4.4
Comenta a aﬁrmação: “A quantia a receber pela Soﬁa é directamente proporcional ao número
de horas que trabalhará”.
O Álvaro tem o seu ioiô na mão e lança-o. Quando o lança pela terceira vez, o ﬁo quebra-se e o ioiô cai
no chão.
5.1
Assinala com um X o gráﬁco que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao
chão, desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão.
[A]
[B]
Altura
Altura
Tempo
[C]
[D]
Altura
Altura
Tempo
5.2
Tempo
Tempo
Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros três
gráﬁcos.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – B
43
Unidade 4
Triângulos e quadriláteros
Testar
1
Observa os quadriláteros.
2
3
5
4
6
1
8
9
10
11
7
12
Indica, pelo número correspondente:
2
1.1
os trapézios não paralelogramos;
1.2
os paralelogramos;
1.3
os rectângulos;
1.4
os quadrados;
1.5
os losangos não quadrados.
Na ﬁgura seguinte estão representados os triângulos ABC e BED. Sabe-se que A, B e E estão alinhados, que AC BD e que CB DE.
A
B
E
27o
108o
45o
C
44
45o
D
2.1
Prova que os triângulos ABC e BED são congruentes.
2.2
Determina a amplitude do ângulo ¡. Explica o teu raciocínio.
3
Observa a ﬁgura.
C
110o
F
28o
51o
B
D
A
Determina a amplitude dos ângulos _ e `. Explica o teu raciocínio
4
Determina a área da parte sombreada da ﬁgura. Apresenta todos os cálculos que efectuares.
5 cm
8 cm
14 cm
5
Qual das seguintes aﬁrmações é falsa? (Assinala a opção correcta.)
[A] Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
[B] Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
[C] Num paralelogramo, as diagonais bissectam-se.
[D] Num paralelogramo, as diagonais são sempre congruentes.
6
Pretende calcular-se a distância entre duas árvores situadas à beira
de um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-se uma estaca num
ponto C e outra num ponto D de modo que os pontos B, C e D estão
sobre a mesma recta e CD BC. Colocou-se uma outra estaca em E
tal que A, C e E também estão sobre uma mesma recta e AC CE.
Com esta construção, é possível concluir que a distância entre as
árvores é igual ao comprimento do segmento de recta DE? Justiﬁca
a tua resposta.
B
A
C
E
D
Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros
45
Unidade 5
Tratamento de dados
Testar
1
O Jaime realizou um inquérito para averiguar o número de horas que os seus 23 colegas de turma utilizam semanalmente para estudo individual. Os resultados que obteve encontram-se no seguinte histograma.
Tempo semanal dedicado ao
estudo individual
Número de
alunos
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2
4
6
8
10
12
Número de horas
2
1.1
Indica o número de classes do histograma e a amplitude das mesmas.
1.2
Qual foi a classe que registou uma maior frequência? Como se designa essa classe?
1.3
Quantos alunos dedicam menos de 6 horas semanais ao seu estudo individual?
1.4
Qual é a percentagem de alunos que estuda, pelo menos, 8 horas semanais?
1.5
Qual das medidas de localização te parece ter maior valor nesta distribuição, a média ou a
mediana? Explica o teu raciocínio.
O seguinte conjunto de dados representa a duração, em horas, da carga da bateria de 10 modelos diferentes de telemóveis.
400, 360, 270, 440, 220, 180, 190, 270, 300, 240
2.1
46
Determina as medidas de localização do conjunto de dados.
2.2
3
Constrói um diagrama de extremos e quartis representativo da situação.
O seguinte diagrama de extremos e quartis ilustra a esperança de vida, no ano de 2000, em países cuja
população ascende aos 10 milhões de pessoas.
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
Esperança de Vida
Fonte: The New York Times Almanac 2004
3.1
Indica, aproximadamente, a esperança máxima de vida registada neste estudo.
3.2
Determina a amplitude interquartis da distribuição apresentada e refere o signiﬁcado desse
valor no contexto do problema.
3.3
Determina a percentagem de países cuja esperança de vida seja de, pelo menos, 54 anos.
3.4
Sabendo que este estudo incide sobre um total de 124 países, indica o número de países onde
a esperança de vida é inferior a 54 anos. Apresenta todos os cálculos que efectuares.
3.5
Atendendo à representação do diagrama de extremos e quartis, qual das medidas de localização te parece ter um maior valor: a média ou a mediana? Explica o teu raciocínio.
47
Unidade 6
Equações
Testar
1
2
3
48
Resolve e classiﬁca as seguintes equações.
1.1
2(x – 6) = 2x + 4
1.2
–(–x + 12) = 2(x – 6) – x
1.3
3x – 17 = –(–2x + 10)
1.4
–(–x – 6) –2x = –x
Considera a equação 2x – 12 = –(x + 6).
2.1
Indica o primeiro membro da equação.
2.2
Veriﬁca, sem a resolveres, se 3 é solução da equação.
2.3
Inventa um problema que possa ser traduzido pela equação anterior.
2.4
Prova que a equação considerada é equivalente à equação 2x – 12 = –4x.
A Anabela pensou num número, somou-lhe 10, multiplicou a soma por 2 e obteve o quádruplo do número em que pensou. Em que número pensou o Anabela?
4
O Manuel, a pedido da sua mãe, foi ao supermercado comprar cebolas.
Na ﬁgura seguinte está a representada a pesagem das cebolas que o Manuel pretende comprar.
2 kg
200 g
1 kg
Sabendo que cada quilograma de cebolas custa 1,3 €, determina quanto pagará o Manuel.
5
O André disse ao Afonso: “Tu tens o dobro dos meus cromos, contudo, para ﬁcarmos com o mesmo
número, basta que me dês 12 dos teus”.
Quantos cromos tem o André?
6
Observa os dois polígonos seguintes, que têm a mesma área.
Polígono A
Polígono B
2 cm
(x + 6) cm
4 cm
Comenta a aﬁrmação: “Os dois polígonos não têm o mesmo perímetro”.
7
Considera a equação 3x + k = kx – 8, na incógnita x. Prova que, independentemente do valor de k, a
equação nunca será possível indeterminada.
49
Unidade 7
Figuras semelhantes
Testar
1
Indica qual dos pares de ﬁguras que se seguem representa ﬁguras semelhantes.
[A]
2
[C]
Completa os espaços em branco, de modo a obteres aﬁrmações verdadeiras.
2.1
2.2
2.3
3
[B]
Duas ﬁguras dizem-se semelhantes quando têm a mesma __________________.
Se B é uma ampliação de A em que se triplicaram todos os comprimentos, então a razão de
semelhança de A para B é __________________.
Quando a razão de semelhança entre duas ﬁguras é __________________, as ﬁguras dizem-se
congruentes.
Considera a ﬁgura.
Utilizando o quadriculado seguinte, constrói uma ampliação da ﬁgura anterior de razão 2.
4
O André estava a construir uma ampliação do polígono JLKI, de razão 2, sendo o ponto O o centro da
homotetia, mas não a conseguiu terminar.
O
I
L
J
J’
Termina a construção do André.
50
K
5
Considera um segmento de recta AB com 4 cm de comprimento.
5.1
Efectuou-se uma redução do segmento de recta AB. O segmento de recta obtido tem 0,8 cm
de comprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução?
[A] 0,2
5.2
[B] 0,3
[C] 0,4
[D] 0,5
Na ﬁgura abaixo, está desenhado o segmento de recta AB, numa malha quadriculada em que
a unidade de comprimento é um centímetro.
A
B
1 cm
cm2
de área.
Existem vários triângulos com 6
Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângulos, em que um dos lados é o segmento de recta AB. Apresenta todos os cálculos que efectuares.
5.3
O triângulo que construíste na alínea anterior obteve-se de um triângulo XYZ, numa ampliação de razão 3. Determina a área do triângulo XYZ.
Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo do Ensino Básico, 2007
6
Para determinar a distância entre dois pontos A e B, utilizou-se o seguinte esquema.
B
A
C
D
Rio
E
BD//AE
6.1
Prova que os triângulos ACE e BCD são semelhantes.
6.2
Sabendo que BC = 10 m, CD = 4 m e DE = 6 m, determina a distânia entre os pontos A e B.
51
Provas globais
De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objectivo de te prepararem
para o exame que irás realizar no final do 9.o ano de escolaridade.
As provas de exame são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado
em cada exercício, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.
52
Grelhas de conteúdos
Prova global 1
Unidade
Números inteiros
Sequências e regularidades
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3
3.
4. 5.1a) 5.1b) 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4
X
X
X
Funções
X
X
X
Triângulos e quadriláteros
X
X
X
Tratamento de dados
X
Equações
X
X
X
X
Figuras semelhantes
X
Prova global 2
Unidade
Números inteiros
Sequências e regularidades
1.1 1.2a) 1.2b) 1.2c) 2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
4.1
4.2
4.3
X
X
X
X
X
Funções
X
X
X
Triângulos e quadriláteros
X
X
Tratamento de dados
X
Equações
X
Semelhança
X
Prova global 3
Unidade
Números inteiros
1.1
1.2 1.3a) 1.3b) 2.1
2.2
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5 3.6a) 3.6b)
X
Sequências e regularidades
X
Funções
X
Triângulos e quadriláteros
Semelhança
X
X
X
X
Tratamento de dados
Equações
X
X
X
X
X
X
53
Prova global 1
1
2
Numa pequena Vila do interior do país, abriu uma sala de cinema que apresenta, exclusivamente, cinema português. Esta sala é composta por várias ﬁlas, todas com 23 lugares. Numa determinada
sessão, para a primeira ﬁla foram vendidos apenas 2 bilhetes, para a segunda 5 e para a terceira 8.
1.1
Se a regularidade se tivesse mantido, quantos bilhetes teriam sido vendidos para a sexta ﬁla?
1.2
Nessa sessão foram vendidos bilhetes para todas as ﬁlas, sendo que a última ﬁcou completa.
Supondo que a regularidade anterior se manteve, determina quantas ﬁlas tem o cinema.
Explica o teu raciocínio.
Na passada quinta-feira, o aparelho de ar condicionado da sala teve uma avaria durante a exibição de
um ﬁlme. A temperatura, C, da sala, t horas após a avaria e até ao ﬁnal do ﬁlme, pode ser dada, aproximadamente, pela expressão C = 21 + 2t, com C expresso em graus Celsius e t expresso em horas.
2.1
Qual era a temperatura na sala, em graus Celsius, uma hora após a avaria?
2.2
Qual foi, na sala, o aumento da temperatura por hora, em graus Celsius? Explica como chegaste à tua resposta.
2.3
No ﬁnal do ﬁlme, a temperatura na sala era de 24 graus Celsius. Há quanto tempo tinha ocorrido a avaria? Apresenta o resultado em minutos.
Exame Nacional do Ensino Básico, 9.o ano, 2008 – 1.a chamada
3
A ﬁgura ao lado representa a sala de cinema. A Anabela sentou-se no
lugar assinalado com a letra A, a uma distância de 10 m do ecrã.
Numas ﬁlas à sua frente, sentaram-se o Ivanildo (I) e o Janício (J),
que se encontravam a 5 m um do outro. Determina a largura do ecrã,
sabendo que o Ivanildo se encontra distanciado dele 6 m. Explica o
teu raciocínio.
Ecrã
I
J
A
54
4
Tal como a ﬁgura da questão anterior sugere, a sala tem a forma de um quadrado. Sabe-se que a sala
tem 225 m2 de área e um pé-direito (distância do pavimento ao tecto) constante e igual a 15 m. Pretende-se forrar o tecto, e todas as paredes, com um material que melhora o isolamento acústico da
sala e que custa 125 €/m2. Quanto se vai gastar nesta operação? Explica o teu raciocínio.
5
A direcção da empresa responsável pela sala de cinema abriu um concurso para escolha do melhor
logótipo para a empresa. O logótipo vencedor foi o seguinte.
A
D
Português
Cinema
B
5.1
C
E
Sabe-se que:
 ABCD é um paralelogramo
 DCE é um triângulo rectângulo escaleno
 ECD = 72o
 BC = 7 dm; ED = 3 dm; AB = 3,16 dm; CE = 1 dm
Determina a amplitude dos ângulos:
a) DCB;
b) ADC.
5.2
6
Determina a área do logótipo.
O diagrama ao lado representa as idades das
oitenta pessoas que participaram no concurso
para escolha do melhor logótipo.
0
10
20
30
40
50
60
6.1
Qual é a idade da pessoa mais velha a concorrer?
6.2
Indica a percentagem de concorrentes com 32 anos, ou mais.
6.3
Determina quantos dos concorrentes tinham 22 anos, ou menos. Explica o teu raciocínio.
6.4
Sabe-se que entre os oitenta concorrentes, havia mais vinte homens do que mulheres. Quantas foram as mulheres que participaram?
55
Prova global 2
1
O Ezequiel comprou recentemente um terreno agrícola onde cultiva vários produtos: cebola, batata,
diversas frutas, etc. O Ezequiel destinou uma grande parte do terreno à plantação de macieiras. Para
as plantar, utiliza um padrão quadrangular e, para as proteger do vento, planta coníferas à volta do
pomar. Esta situação está ilustrada no diagrama seguinte, no qual se pode ver a disposição das macieiras e das coníferas para um número qualquer (n) de ﬁlas de macieiras.
n=1
n=2
n=3
n=4
X X X
X
X
X X X
X X X X X
X
X
X
X
X
X
X X X X X
X X X X X X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X X X X X X
X X X X X X X X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X X X X X X X X
X = conífera
= macieira
1.1
Completa a tabela.
n
Números de macieiras
Números de coníferas
1
1
8
2
4
3
4
5
1.2
Seja n o número de ﬁlas de macieiras.
a) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de macieiras de uma
qualquer ﬁgura desta sequência.
b) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de coníferas de uma
qualquer ﬁgura desta sequência.
c) Haverá alguma ﬁgura com 98 macieiras? Porquê?
Adaptado de Pisa 2000
2
56
Para combater o bicho da fruta, o Ezequiel utiliza um pesticida que não tem efeitos nocivos para o
meio ambiente. Este pesticida é vendido em sacos de 10 kg.
2.1
Na semana passada o Ezequiel comprou 12
0
12
7
Número de sacos
sacos e pagou 180 €. Com base nesta infor180
45
Preço (€)
mação, completa a tabela ao lado:
2.2
Seja h a função que ao número de sacos comprados, n, associa o valor a pagar pelo Ezequiel.
Escreve uma expressão algébrica de h.
2.3
Este mês, o Ezequiel gastou 150 € na compra de pesticida. Quantos quilogramas comprou?
Explica o teu raciocínio.
3
Na ﬁgura apresenta-se um esquema do terreno comprado do Ezequiel.
D
60 cm
A
E
Pereiras
27o
O
Pessegueiros H
140 cm
G
B
4
F
Macieiras
Limoeiros
80 cm
40 cm
Legumes
C
3.1
Determina a amplitude dos ângulos _, ` e ¡. Explica o teu raciocínio.
3.2
Determina a área destinada às macieiras.
3.3
Prova que os triângulos GOE e HCF são semelhantes.
O Ezequiel tem um minimercado onde coloca à venda cabazes de legumes variados. Cada um desses
cabazes, independentemente do peso e da constituição, é vendido a 7 €. O número de cabazes de legumes vendidos em cada um dos 15 primeiros dias deste mês foi:
10; 12; 8; 8; 6; 7; 9; 15; 10; 14; 17; 18; 7; 14; 7
4.1
Indica, justiﬁcando, qual dos seguintes diagramas corresponde à informação dada.
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
4.2
Uma cliente comprou dois cabazes de legumes, três latas de ananás em calda e dois pacotes
de arroz. Sabendo que a cliente pagou 18,7 € e que o pacote de arroz custa mais dez cêntimos
do que a lata de ananás, determina o preço de cada pacote de arroz. Explica o teu raciocínio.
4.3
Os cabazes que não são vendidos são colocados numa enorme arca frigoríﬁca com a forma de
um cubo. O Ezequiel pretende forrar o chão dessa arca com um material antiderrapante que
custa 15 €/m2. Sabendo que a arca tem 27 000 dm3 de volume, determina quanto terá de
gastar o Ezequiel. Explica o teu raciocínio.
57
Prova global 3
1
Uma grande empresa nacional decidiu construir uma fábrica de enchidos perto de Montalegre. A Câmara Municipal desta vila achou que a construção desta fábrica seria importante porque criaria centenas de novos postos de trabalho, acção importante no combate à desertiﬁcação do interior do País.
Assim, decidiram oferecer à referida empresa um campo, nos arredores da vila, com 22 500 m2 de
área e com a forma de um quadrado, onde a fábrica pudesse ser ediﬁcada.
1.1
Antes de começar a construção, foi necessário vedar o terreno. A vedação foi feita com painéis metálicos rectangulares com 2 m de altura e 3 m de comprimento. Determina o número
mínimo de painéis que foram necessários. Explica o teu raciocínio.
1.2
Depois de construída a fábrica, foi preciso contratar pessoas. A fábrica contratou mais trinta
mulheres do que homens, num total de 68 pessoas. Determina quantos homens contratou a
fábrica, explicando o teu raciocínio.
1.3
Das 68 pessoas contratadas, apenas 25 não moram em Montalegre. A fábrica fez um estudo
acerca do tempo, em minutos, que cada uma dessas pessoas demora a fazer o percurso casa-fábrica. Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte:
Tempo (minutos)
Número de funcionários
[0, 5[
[5, 10[
5
7
[10, 15[ [15, 20[ [20, 25[
8
3
2
a) Indica a classe modal.
b) Elabora um histograma com a informação da tabela.
2
O Diogo foi contratado para gerir a fábrica de enchidos e, de imediato, lançou
uma campanha publicitária que relacionava os produtos com Geometria.
Assim, em todas as encomendas que enviava era colocado um rótulo igual ao
da ﬁgura, acompanhado do seguinte texto: “Sabendo que BCE é um triângulo
equilátero e que ABCD é um quadrado, descubra a amplitude do FBE, enquanto se delicia com o nosso maravilhoso fumeiro”.
2.1
58
Determina a amplitude do FBE, explicando o teu raciocínio.
A
D
E
F
Fumeiro
Montalegrense
B
C
3
O Filipe, quando viu o rótulo pela primeira vez, aﬁrmou: “Os triângulos CFD e BEF são semelhantes”. Concordas com o Filipe? Porquê?
Em Abril do ano passado, a fábrica decidiu apostar num
novo produto: o famoso “Folar de Montalegre”. Assim,
associou-se com uma pastelaria que produz o folar utilizando os enchidos fornecidos pela fábrica.
Admite que a função T, cujo gráﬁco se apresenta ao
lado, permite determinar a temperatura do folar, em
graus Celsius, t minutos após ter sido retirado do forno.
3.1
90
80
70
Temperatura
(oC)
2.2
60
50
40
30
20
Indica a temperatura do folar no instante em
que é retirado do forno.
10
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
Tempo (minutos)
3.2
Qual é a temperatura do folar dois minutos após ter sido retirado do forno?
3.3
Determina T(12) e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.
3.4
Quanto tempo é necessário para que o folar atinja os 30 oC?
3.5
Com o decorrer do tempo, a temperatura do folar tende a igualar a temperatura ambiente. Indica, justiﬁcando, a temperatura ambiente.
3.6
As vendas do folar decorreram a bom ritmo. Na primeira semana, venderam-se 113 folares
e, em cada uma das semanas seguintes, mais oito do que na semana anterior.
a) Completa a seguinte tabela.
Número de semanas
Número de folares vendidos
1
113
2
3
4
…
n
…
b) Por divergências orçamentais, a fábrica e a pastelaria decidiram parar a produção conjunta
numa altura em que vendiam 153 folares por semana. Quantas semanas durou a parceria
entre a fábrica e a pastelaria? Explica o teu raciocínio.
59
Recursos para
a Prova Final
de Ciclo
8
RESUMIR
UNIDADE 1 Isometrias
TRANSLAÇÕES
Movimento de translação: a figura efetua um deslocamento
ao longo de uma reta.
A figura não roda e mantém as suas dimensões.
Translação como transformação geométrica
O quadrilátero A’B’C’D’ pode obter-se do quadrilátero
ABCD por uma translação. Diz-se que A’B’C’D’ é a imagem
de ABCD por uma translação.
A
A’
D
D’
C
B
C’
B’
Para descrever uma translação basta referir a direção, o sentido e o comprimento do deslocamento. As translações são transformações geométricas que não alteram a forma nem o tamanho da figura.
VETORES
Segmento de reta cuja origem é o
ponto A e cuja extremidade é o ponto B:
segmento de reta [A, B].
Segmento de reta cuja origem é o
ponto B e cuja extremidade é o ponto A:
segmento de reta [B, A].
Segmentos de reta equipolentes são segmentos de reta orientados com a
mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Um vetor é definido por um comprimento, uma direção e um sentido. Segmentos de reta orientados equipolentes são diferentes representações do mesmo vetor.
A≥B: vetor definido por todos os segmentos de reta orientados
equipolentes ao segmento de reta [A, B]. Também se pode utilizar
uma letra, normalmente minúscula, para representar um vetor.
Vetores simétricos têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.
→
→
O vetor simétrico de a é – a.
a
–a
62
Adição de vetores
→
→
→
O vetor soma, a + b, tem a origem do primeiro vetor e a extremidade do segundo.
→
→
→
A soma de dois vetores simétricos tem como resultado o
→
→
→
→
vetor nulo, que se representa por 0: – v + v = 0.
Vetores e translações
O pentágono P2 é a imagem do pentágono P1 na translação
→
associada ao vetor u (T→u).
P1
P2
Propriedades de uma translação
• Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo ao primeiro e com o
mesmo comprimento.
• Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude do primeiro.
• Numa translação, qualquer figura é transformada numa figura congruente com a primeira.
ISOMETRIAS
Uma isometria é uma transformação geométrica do plano que conserva os comprimentos dos
segmentos de reta e as amplitudes dos ângulos.
Existem quatro tipos de isometrias no plano: reflexão, rotação, translação e reflexão deslizante.
Isometrias no plano
Reflexão
A reflexão de eixo r transforma qualquer ponto P
do plano num ponto P’ de tal modo que o eixo de
reflexão r é a mediatriz do segmento de reta PP’.
Rotação
Uma rotação de centro em C e ângulo de rotação α
transforma um ponto P do plano num ponto P’ de
tal modo que o segmento de reta CP é igual ao
segmento de reta CP’ e ∠PCP’ = α.
Translação
A translação do plano associada a um vetor v
transforma qualquer ponto P do plano num ponto P’
tal que o segmento de reta [P, P’] tem a mesma
→
direção, comprimento e sentido que o vetor v.
→
→
→
Reflexão
deslizante
A reflexão deslizante do plano associada ao eixo r
→
e ao vetor v, paralelo a r, é o resultado da composição da reflexão do plano associada ao eixo r
→
com a translação do plano associada ao vetor v.
63
RESUMIR
UNIDADE 2 Números racionais
NÚMEROS RACIONAIS
Qualquer número, inteiro ou não inteiro, que possa ser representado por uma fração diz-se um
número racional.
{
Q = m : m, n ∈ Z, n ≠ 0
n
}
Números racionais (Q)
– 3
8
6 2
3
5,75
Números inteiros (Z)
–77
12
–
–3
4
– 4
Números
5
naturais
(N)
–45
–100
1
12 20
95 3
0
12,(2)
• Todos os números inteiros são números racionais.
• Todas as dízimas finitas são números racionais.
• Todos as dízimas infinitas periódicas são números racionais.
4
3
–9,(37)
–3,72
Os números racionais, tal como os números inteiros, podem ser representados como pontos de
uma reta numérica.
Para determinar qual é o maior de dois números decimais, deve começar-se por comparar a
parte inteira do número, seguindo depois para a comparação das diversas casas decimais.
• Para somar dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, somam-se os numeradores e mantém-se o denominador.
• Para subtrair dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, subtraem-se os numeradores e mantém-se o denominador.
• Para somar ou subtrair números racionais representados por frações com denominadores diferentes, deve-se, em primeiro lugar, escrever frações equivalentes às dadas, mas
com o mesmo denominador. Depois, basta usar as duas regras anteriores.
• Para multiplicar números racionais representados por frações, multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores das frações.
• Para dividir números racionais representados por frações, multiplica-se o dividendo pelo
inverso do divisor.
Potências de expoente inteiro
Exemplo
Multiplicação
de potências
com
Divisão de
potências
com
64
a mesma base
an × am = an + m
2–3 × 2+5 = 2–3 + 5 = 2+2 = 4
( 23 ) × ( 53 ) = ( 23 × 53 ) = ( 109 )
5
o mesmo expoente an × bn = (a × b)n
a mesma base
an : am =
o mesmo expoente an : bn =
an
= an – m, a ≠ 0
am
an
=
bn
5
5
5
6–3 : 6–8 = 6–3 – (–8) = 6–3 + 8 = 6+5
( ba ) , b ≠ 0 ( 15 ) : ( 27 ) = ( 15 : 27 ) = ( 15 × 72 ) = (107 )
n
3
3
3
3
3
Exemplo
Potência de uma potência
(ab)c = ab × c
(512)2 = 524
Potência de expoente zero
a0 = 1, a ≠ 0
( 23 ) = 1
Potência de expoente negativo
a-n =
1
=
an
0
( a1 ) , a ≠ 0
n
(– 23 ) = (– 32 )
–2
+2
32
9
= + 22 = + 4
Para a soma e para a subtração de potências não existem quaisquer regras operatórias: determina-se o valor das potências e, de seguida, calcula-se o valor da soma ou da subtração.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Qualquer número A pode ser representado em notação científica como produto de um número, superior ou igual a 1 e inferior a 10, em valor absoluto, por uma potência de base 10.
A = k × 10n, com n ∈ Z e 1 ≤ |k| < 10
Entre dois números escritos em notação científica, se os expoentes das potências de base 10
forem:
• iguais, será maior aquele em que o número que antecede a potência é maior.
Exemplo: 2,1 × 103 > 1,7 × 103
• diferentes, será maior aquele cuja potência tiver maior expoente.
Exemplo: 1,5 × 107 > 3,4 × 105
Multiplicação e divisão de números escritos em notação científica
A = a × 10n e B = b × 10m
• A × B = (a × 10n) × (b × 10m) = (a × b) × 10n + m
( ) × 10
n
• A = a × 10m = a
B b × 10
b
n–m
Adição e subtração de números escritos em notação científica
Para somar e subtrair números escritos em notação científica:
• escreve-se cada termo com a mesma potência de base dez;
• fatoriza-se a expressão, pondo-se em evidência a potência comum, de base dez;
• efetuam-se os cálculos dentro dos parênteses.
65
RESUMIR
UNIDADE 3 Funções e equações
EQUAÇÕES
Passos para resolver equações do 1.o grau com denominadores
1. Desembaraçar de parênteses.
2. Desembaraçar de denominadores.
3. Agrupar os termos com incógnita num dos membros e os termos independentes no outro
membro.
4. Reduzir os termos semelhantes.
5. Determinar o valor da incógnita.
FUNÇÕES
Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y = kx ou, de forma equivalente, f(x) = kx,
diz-se uma função linear. Se k ≠ 0, a função linear é uma função de proporcionalidade direta.
x é um objeto; y = f(x) é a sua imagem; k é a constante de proporcionalidade.
No gráfico de uma função linear, todos os pontos estão sobre uma reta que contém a origem
do referencial.
A representação gráfica de uma função linear (y = kx) é uma reta. A reta passa sempre pelos
pontos (0, 0) e (1, k).
• Se k > 0, a função é crescente.
• Se k < 0, a função é decrescente.
A função afim é uma função com uma expressão algébrica do tipo y = kx + b ou, de forma equivalente,
f(x) = kx + b.
A representação gráfica de uma função afim é uma reta.
A função linear é um caso particular da função afim,
quando b = 0.
A inclinação das retas que representam funções afim
depende do valor de k. As funções afim, cujas expressões
algébricas tenham o mesmo parâmetro k, são representadas graficamente por retas paralelas.
Nas expressões algébricas das funções representadas, o parâmetro b não varia.
As retas que representam funções afim intersetam o eixo das ordenadas no ponto (0, b).
66
Uma equação do primeiro grau com duas incógnitas é uma equação do tipo ax + by = c, em
que a e b são diferentes de zero.
A solução é um par ordenado de números, (x, y), que, substituídos na equação, a transformam
numa igualdade verdadeira. Estas equações têm um número infinito de soluções.
Um sistema de duas equações a duas incógnitas é uma conjunção de duas equações.
ax + by = c
, a, b, d e e diferentes de zero.
dx + ey = d
O par ordenado (x, y) é solução de um sistema de duas equações a duas incógnitas x e y se for
simultaneamente solução das duas equações.
Passos para resolver um sistema pelo método gráfico
1. Resolver as duas equações em ordem a y;
2. Representar, num mesmo referencial, as retas que representam cada uma das equações;
3. Se as retas se intersetam num ponto, a solução do sistema é o par ordenado que corresponde
às coordenadas do ponto de interseção das duas retas.
Passos para resolver um sistema pelo método de substituição
1. Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas.
2. Substituir o valor obtido na outra equação.
3. Resolver a nova equação.
4. Substituir o valor da incógnita na outra equação.
Classificação de sistemas
• possíveis:
– determinados (têm uma solução);
– indeterminados (têm uma infinidade de soluções);
• impossíveis (não têm solução).
67
RESUMIR
UNIDADE 4 Planeamento estatístico
ESTATÍSTICA
A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados.
Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de
população.
Quando se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo).
Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados
referentes a uma amostra da população trata-se de uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar conclusões válidas para toda a população.
Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta
é o número de vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa
é o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pelo número total de observações.
Profissões
Contagem
Frequência absoluta
Médico
IIII II
7
Astronauta
IIII
4
Professor
IIII
5
Comerciante
IIII I
6
Futebolista
III
3
Total
25
Frequência Relativa
7
28%
= 0,28
25
4
16%
= 0,16
25
5
20%
= 0,20
25
6
24%
= 0,24
25
3
12%
= 0,21
25
100%
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
Natureza dos dados
qualitativa
Exemplos:
Cor dos olhos, o clube preferido, o género de uma pessoa.
Dados de natureza
discretos
Exemplos:
O número de irmãos ou o número de divisões de uma casa.
quantitativa
contínuos
Exemplos:
O peso ou a altura de uma pessoa
68
Os dados recolhidos, depois de organizados, podem ser representados por um gráfico.
Exemplos:
Gráfico de barras
Atividade preferida pelos alunos da turma da Maria
Número de alunos
Janeiro
Fevereiro
Março
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Gráfico de linhas
População (mil milhões)
Pictograma
Garrafas recolhidas para reciclagem
Crescimento demográfico mundial
7
6
5
4
3
2
1
0
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Anos
Ler
Abril
Diagrama de caule-e-folhas
Ver
Fazer
Jogar
televisão desporto computador
Atividades
Histograma
Gráfico circular
Modalidade desportiva
1
6
6
2
0
8
4
3
6
3
3
8
9
1
9
7 6 1 3
3 6 4
6 7
caule folhas
Número de animais
Velocidades máximas dos animais analisados
5
6
7
8
9
7
6
5
4
3
2
1
0
Judo
Golf
15%
Natação
[0, 20[ [20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ [80, 100[ [100, 120[
Velocidade (km/h)
12,5%
20%
45%
7,5%
Futebol
Ginástica
Medidas de localização
• Média de um conjunto de dados: A média de um conjunto de dados, que se representa por
–x, é o valor que se obtém dividindo a soma dos valores observados pelo número total de observações.
• Mediana de um conjunto de dados: Depois de ordenado o conjunto de dados, podem verificar-se duas situações:
– se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me ou ~x ) é o valor central desse
conjunto de dados;
– se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto de dados.
• Quartis de um conjunto de dados:
– a mediana dos dados que ficam à esquerda da Me, designa-se por 1.o quartil, Q1;
– a Me coincide com o 2.o quartil, Q2;
– a mediana dos dados que ficam à direita da Me, designa-se por 3.o quartil, Q3.
Extremos
Os extremos são o valor máximo e o valor mínimo de um conjunto de dados.
Exemplo: No conjunto de dados 2 4 5 5 6 7 9, os extremos são 2 (valor mínimo) e 9 (valor máximo).
Medidas de dispersão
Amplitude = máximo – mínimo
Amplitude interquartis = 3.o quartil – 1.o quartil
69
RESUMIR
UNIDADE 5 Sequências e regularidades. Equações
SEQUÊNCIAS
Numa sequência numérica, cada número designa-se por termo. Dois números seguidos dizem-se
termos consecutivos.
2.o termo
4.o termo
4, 8, 12, 16, …
3.o termo
1.o termo
ou termo de ordem 1
Lei de formação: Neste exemplo, cada termo, com exceção do
primeiro, obtém-se adicionando duas unidades ao termo anterior.
Os termos de uma sequência numérica relacionam-se segundo
uma regra que pode ser traduzida por uma expressão algébrica,
à qual chamamos termo geral. Neste exemplo, o termo geral é
4n.
O termo geral de uma sequência permite determinar qualquer
termo da sequência, desde que se conheça a sua ordem. O termo
geral também permite verificar se um número é, ou não, termo
da sequência.
EQUAÇÕES LITERAIS
Uma equação literal é uma equação com mais do que uma variável.
Exemplos:
1. A = b + B × h
2. x + y = 2
2
Resolver uma equação literal em ordem a uma das variáveis corresponde a isolar essa variável
num dos membros.
MONÓMIOS E POLINÓMIOS
Um monómio é um número ou o produto de um número por variáveis.
Dois monómios dizem-se semelhantes quando têm a mesma parte literal.
–5 x2y3
Coeficiente
Parte literal
Monómios semelhantes podem ser adicionados (ou subtraídos), obtendo-se um novo monómio. Para isso, adicionam-se (ou subtraem-se) os coeficientes e dá-se a mesma parte literal.
Exemplo:
3x3y2 – 2x3y2 = x3y2
Dois ou mais monómios podem sempre ser multiplicados. O seu produto é um monómio.
Exemplo:
5x5y × 2xy2 = 5 × 2 × x5 × x × y × y2 = 10x6y3
Um polinómio é um monómio ou uma soma de dois ou mais monómios.
Os monómios que formam o polinómio são os seus termos.
Exemplo:
6x3 + 8x é um polinómio e os seus termos são 6x3 e 8x.
70
Um polinómio com dois termos diz-se um binómio e um polinómio com três termos diz-se um
trinómio.
O grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que o constituem.
Para somar polinómios basta adicionar os termos semelhantes.
O simétrico de um polinómio é um polinómio cujos termos são os simétricos do polinómio dado.
Exemplo:
O polinómio simétrico de 6x3 – 3x2 + 5x – 5 é –6x3 +3x2 – 5x + 5.
Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao primeiro (aditivo) o polinómio simétrico do segundo (subtrativo).
Para multiplicar um monómio por um polinómio basta utilizar a propriedade distributiva da
multiplicação.
Na multiplicação de dois polinómios também se utiliza a propriedade distributiva da multiplicação.
CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO
Quadrado de um binómio
Exemplos:
(a + b)(a + b) = (a + b)2
1. (x + 3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
2. (x – 4)2 = x2 – 8x + 16
Diferença de quadrados
Exemplo:
(a – b)(a + b) = a2 – b2
(x – 3)(x + 3) = x2 – 9
Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores.
EQUAÇÕES DO 2.o GRAU
Uma equação do 2.o grau na forma canónica é uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Lei do anulamento do produto
O produto de fatores é nulo quando pelo menos um dos fatores é zero:
Nota:
O símbolo ⵪
lê-se “ou”.
A×B=0⇔A=0 ⵪ B=0
Para determinar as soluções de uma equação do 2o. grau, escrita na forma canónica, basta fatorizar o primeiro membro da equação e utilizar, de seguida, a lei do anulamento do produto.
71
RESUMIR
UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos
DECOMPOSIÇÃO DE UM POLÍGONO
Qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos e quadriláteros.
Polígono
Área
Losango
Alosango = d × D = d × D
2
2
Trapézio
Atrapézio = b + B × h
2
As medianas de um triângulo são os segmentos de reta que unem cada
vértice com o ponto médio do lado oposto. Ao ponto de interseção das
medianas dá-se o nome de baricentro.
Num triângulo, a distância do baricentro a um vértice é dupla da distância do baricentro ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.
A mediana decompõe o triângulo em dois triângulos equivalentes, ou seja, com a mesma área.
B
As três medianas de um triângulo decompõem-no em seis triângulos equivalentes, ou seja, em
seis triângulos com a mesma área.
Área do triângulo GDA =
= Área do triângulo AGE =
= Área do triângulo EGB =
= Área do triângulo BFG =
= Área do triângulo CFG =
= Área do triângulo CDG
As alturas de um triângulo são os segmentos de reta da perpendicular traçada de um vértice para o lado oposto. Ao ponto de interseção
das alturas dá-se o nome de ortocentro.
A
Ortocentro
C
72
B
A altura referente à hipotenusa decompõe um triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
(a, b, c) diz-se um terno pitagórico se e só se c2 = a2 + b2.
Diagonal facial e diagonal espacial de um paralelepípedo
Aplicando o Teorema de Pitágoras à diagonal da base do prisma,
d = √∫a2∫ ∫ ∫+∫ ∫b2∫ .
Dado um paralelepípedo de dimensões a, b e c, o comprimento
da sua diagonal espacial, D, pode ser obtido através da fórmula
D = √∫a2∫ ∫ ∫+∫ ∫b2∫ ∫ ∫+∫ ∫c2∫ .
ÁREAS DE SÓLIDOS
A área de um sólido é a soma das áreas de todas as superfícies que limitam esse sólido.
Prisma
Área total = 2 × área da base + área das faces laterais
Pirâmide
Área total = área da base + área das faces laterais
Cilindro
Área total = 2 × área da base + área da superfície lateral
Cone
Área total = área da base + área da superfície lateral
Esfera
Área da superfície esférica = 4 × π × r2
73
RESUMIR
UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos
VOLUMES
Sólido
Volume
a
Vcubo = área da base × altura = (a × a) × a = a3
a
a
Prismas
altura
Vprisma = área da base × altura
área da base
Vpirâmide = 1 × área da base × altura
3
altura
Pirâmide
área da base
altura (h)
Cilindro
Vciclindro = área da base × altura = π × r2 × h
raio (r)
área da base
Vcone = 1 × área da base × altura = 1 × π × r2 × h
3
3
altura (h)
Cone
área da base
raio (r)
r
Vesfera = 4 × π × r3
3
Esfera
PONTO, RETA E PLANO
Posição relativa de dois planos
Perpendiculares
Posição relativa
de dois planos
Paralelos
Oblíquos
Concorrentes
Estritamente paralelos
Coincidentes
Posição relativa de duas retas
Não complanares
Complanares
Perpendiculares
Concorrentes
Paralelas
Oblíquas
Posição relativa
de duas retas
Estritamente paralelas
Coincidentes
74
Posição relativa de uma reta relativamente a um plano
Perpendicular
Posição relativa de uma reta
relativamente a um plano
Paralela
Oblíqua
Concorrente
Estritamente paralela
Contida
Critérios de paralelismo e perpendicularidade
Se uma reta é paralela a outra reta contida num plano, então é paralela
a esse plano.
Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano,
então os dois planos são paralelos.
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano,
então é perpendicular a esse plano.
Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, então os dois
planos são perpendiculares.
75
UNIDADE 1
Isometrias
Testar
6%
1 Qual das seguintes ﬁguras representa uma translação?
[A]
[B]
[C]
[D]
Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Grade 5/Abril 2009)
2 Observa a seguinte ﬁgura.
Representa, no teu caderno, a imagem do triângulo ABC através:
A
6%
2.1. da translação associada ao vetor v;
6%
2.2. da reﬂexão de eixo d.
3 Como já sabes, alguns frisos obtêm-se pela repetição de um determinado motivo, respeitando um movimento de translação. Nos frisos seguintes, tenta identiﬁcar um motivo que
lhes dê origem.
4%
4%
76
3.1.
3.2.
4 Observa a seguinte ﬁgura.
6%
4.1. Utilizando as letras da ﬁgura, indica dois vetores:
a) com o mesmo comprimento;
b) com a mesma direção, mas com sentidos opostos.
12%
4.2. Calcula:
a) A≥E + E≥D
12%
b) B≥D + H≥M
c) A≥D + C≥B
4.3. Indica a imagem do ponto A por meio da translação associada ao vetor:
a) A≥D
≥
b) –JA
A
c) D≥C
d) 0
3%
4.4. Comenta a aﬁrmação: “A imagem do ponto A pela translação associada ao vetor F≥G é o
ponto D”.
3%
4.5. Qual é a imagem do segmento de reta AB por meio da translação associada ao vetor B≥C?
9%
4.6. O ponto C é a imagem do ponto J na translação associada a que vetor?
4%
4.7. Constrói, no teu caderno, a imagem da ﬁgura pela TE≥C o TB≥M.
10%
5 Constrói, no teu caderno, a imagem do polígono 1 na reﬂexão deslizante associada ao eixo r
A
e ao vetor v.
A
4%
6 6.1. Constrói, no teu caderno, um triângulo ABC, equilátero, sabendo que o segmento de reta
AB mede 4 cm.
6%
6.2. Identiﬁca as simetrias de rotação do triângulo ABC, que construíste na alínea anterior.
5%
6.3. Desenha o triângulo A’B’C’, imagem do triângulo ABC numa rotação de centro em A e amplitude –90o.
77
UNIDADE 2
Números racionais
Testar
1 O Filipe é nutricionista. Na tabela seguinte apresentam-se os pesos atuais e a respetiva variação em relação à última pesagem de alguns dos seus pacientes.
Paciente
Idade
Peso atual
(em kg)
Variação do peso em relação
à última pesagem
João
45
80
–1,0 kg
Francisco
29
102
–2,2 kg
Anabela
16
45
+3,4 kg
Catarina
31
86
+4
2
kg
5
1%
1.1. Em qual dos pacientes a variação do peso é representada por um número inteiro?
1%
1.2. Qual dos pacientes teve uma maior variação de peso?
3%
1.3. Qual dos pacientes perdeu mais peso?
4%
1.4. Representa numa reta numérica a variação dos pesos dos pacientes.
2 Considera os números 1 ; 5 ; – 3 ; 7 ; 3 ; – 33 ; 4
3 2
4 9 11
55 11
3,5%
2.1. Usa a calculadora para representar cada um dos números na forma de dízima.
3,5%
2.2. Identiﬁca o tipo de dízima de cada um dos números.
4%
2.3. Entre os números apresentados encontram-se duas frações com denominador 11. Utiliza a
calculadora para investigar outras frações com denominador 11 e tenta encontrar uma
forma geral de escrever uma fração com denominador 11 e numerador menor do que 11
na forma de dízima.
5%
3 Numa ﬁcha de trabalho de Matemática, era pedido aos alunos que calculassem o valor de 3–4.
O João calculou-o do seguinte modo:
3–4 = (–3) = (–3) = (–3) = (–3) = +81
Terá o João calculado corretamente o valor pedido? Se não, como o devia ter feito?
2%
2%
4 Determina o valor de a, em cada uma das seguintes expressões.
4.2. 24 = 1a
2
4.1. 270 = (2a)5
2%
3%
3%
3%
3%
78
4.3. 2a = (–2)4 = 28
5 Calcula, utilizando, sempre que possível, as regras de operações com potências.
( ) – (– 25 )
5.3. ( 2 ) + (–3) – (–4)
3
5.1. – 2
5
–2
–2
–2
0
5.2. (–1)703 + (+1)2 + (–1)38
2 – (22)3
5.4. 9–4 : 3–4 = 33
4%
6 Escreve sob a forma de uma potência de expoente diferente de 1.
4
5%
1
7
4
9
10 000
0,001
–125
0,3
7 Escreve, sob a forma de potência de expoente negativo, as seguintes potências.
1
25
4%
–27
(–5)2
( 23 )
(– 21
11 )
6
7
(–1)18
8 Qual dos seguintes números está escrito em notação cientíﬁca?
[A] 734
[B] 4,75 = 105
[C] 0,5 = 10–6
[D] 15 = 10–12
9 Escreve em notação cientíﬁca cada um dos seguintes números.
2%
9.1. 637
2%
9.2. 0,000257
3%
9.3. 356 = 1014
2%
2%
2%
10 No teu caderno, preenche os quadrados com os símbolos , ou =.
10.1. 3,5 = 10–13
10.3. –1 = 104
3,51 = 10–12
4 = 104
10.2. 2 = 3 = 10–1
10.4. 1,27 = 102
6 = 10–1
12 = 10–1
2%
4%
11 Efetua as seguintes operações, apresentando o resultado em notação cientíﬁca.
4%
11.1. 34,5 = 10–3 = 21 = 10–6
11.2. 0,05 = 104 : 2 = 10–3
6%
11.3. 8,7 = 1012 + 476 = 109
11.4. 3,14 = 10–3 – 4,76 = 10–4
6%
12 Na tabela seguinte apresenta-se o consumo de água, em litros, necessário à produção de 1 tonelada de determinados produtos.
Produto (1 tonelada = 1000 kg)
Consumo de água (em litros)
Papel
Aço
1000 000
25 = 104
Borracha
2,75 = 106
1%
12.1. Apenas um dos produtos apresenta o consumo de água expresso em notação cientíﬁca. Qual?
2%
12.2. Qual dos produtos necessita de mais água para a sua produção? Explica o teu raciocínio.
12.3. No passado mês de Setembro, a fábrica produziu 3 = 104 toneladas de papel.
3%
a) Determina o número de litros de água
consumidos pela fábrica, só para a
produção do papel.
3%
b) Na tabela ao lado, apresenta-se o tarifário da empresa que fornece água à
fábrica. Determina o valor que a fábrica terá de pagar pela água de que
necessitou para produzir as já referidas
3 = 104 toneladas de papel.
Água
Consumo
valores mensais
EUR/m3
Domésticos
1.o escalão (até 5 m3/30 dias)
2.o escalão (de 6 a 20 m3/30 dias)
3.o escalão (mais de 20 m3/30 dias)
Não domésticos
Consumo comercial, industrial, agrícola,
Estado e outras pessoas coletivas de
direito público e proﬁssões liberais
0,1820
0,5993
1,4141
1,4141
79
UNIDADE 3
Funções e equações
Testar
1 Resolve as seguintes equações.
5%
1.1. 12 – (3x – 7) = 4 – x
1.2. 3x – (x – 2) = 0
5
5%
1.3. x + x + 3 = 5x – 1
3 4 2
5%
8%
8%
(
1.4. 3 – 2x – 5 = 2 –x – 9
4
3
)
2 No plantel de uma equipa de futebol, 1 dos jogadores são brasileiros
4
1 são africanos e os restantes 14 são portugueses. O treinador da
6
equipa está com diﬁculdades em fazer a convocatória para o próximo jogo porque metade do plantel está com gripe. Quantos jogadores tem o treinador disponíveis para o próximo jogo?
3 Considera as funções f, g, h e i deﬁnidas por:
f(x) = 3x
g(x) = 3x + 4
h(x) = –2x
i(x) = –x + 3
6%
3.1. Calcula f(3) + g(–5) + h(0).
4%
3.2. De entre as quatro funções consideradas apenas duas são funções lineares. Quais?
3.3. No referencial seguinte apresentam-se as representações gráﬁcas das quatro funções.
80
4%
a) Faz a correspondência entre cada função e a respetiva representação gráﬁca.
6%
b) Determina as coordenadas dos pontos A, B e C e calcula a área do triângulo ABC. Explica o
teu raciocínio.
8%
4 A representação gráﬁca da função f é uma reta que passa pela origem do referencial e pelo
ponto de coordenadas (1, 10). Calcula f(1) – 3 = f(3).
8%
8%
5 Resolve graﬁcamente o sistema
2x – y = 3
.
–x – y = 0
6 Resolve, pelo método de substituição, o sistema
x – 4y
=3
3
x – 4y = –12
.
7 Para efetuar chamadas do seu telemóvel, para duas redes (A e B), o
preço, em cêntimos, que o Paulo tem a pagar por cada segundo de
duração de uma chamada encontra-se na tabela ao lado.
Preço por segundo
(em cêntimos)
A
0,5
B
0,6
7.1. O Paulo tem 80 cêntimos disponíveis para efetuar chamadas do
seu telemóvel. Após ter iniciado uma chamada para a rede A, o dinheiro disponível foi
diminuindo, até ser gasto na sua totalidade. Qual dos quatro gráﬁcos que se seguem representa esta situação? Justiﬁca a tua escolha.
Dinheiro disponível
(cêntimos)
[A]
[B]
80
60
40
20
0
20 40 60 80 100 120 140 160
Dinheiro disponível
(cêntimos)
5%
Rede
80
60
40
20
0
Tempo decorrido desde o início
da chamada (segundos)
Tempo decorrido desde o início
da chamada (segundos)
[D]
80
60
40
20
0
20 40 60 80 100 120 140 160
Tempo decorrido desde o início
da chamada (segundos)
Dinheiro disponível
(cêntimos)
Dinheiro disponível
(cêntimos)
[C]
20 40 60 80 100 120 140 160
80
60
40
20
0
20 40 60 80 100 120 140 160
Tempo decorrido desde o início
da chamada (segundos)
4%
7.2. Escreve a expressão algébrica da função representada no gráﬁco [D].
6%
7.3. Ontem, o Paulo só efetuou chamadas do seu telemóvel para as redes A e B. A soma dos
tempos de duração dessas chamadas foi de 60 segundos e, no total, o Paulo gastou 35
cêntimos. Qual foi o tempo total de duração das chamadas efetuadas pelo Paulo, para a
rede A? Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade.
Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 2007 – 2.a chamada
8 Considera a equação y = –x + 3. Dá exemplo de outra equação de modo que o sistema formado pelas duas equações seja:
5%
8.1. impossível;
5%
8.2. indeterminado.
81
UNIDADE 4
Planeamento estatístico
Testar
1 Foi realizado um inquérito a 60 dos 432 funcionários de uma empresa de distribuição de mercadorias. Uma das questões era relativa ao estado civil do inquirido. As respostas obtidas encontram-se parcialmente organizadas na seguinte tabela.
Estado civil
Frequência absoluta
Solteiro
21
Frequência relativa
Casado
Divorciado
0,4
9
Viúvo
3%
3%
1.1. No conjunto de dados anterior, indica:
a) a amostra;
b) a população.
8%
1.2. No teu caderno, completa a tabela anterior.
8%
1.3. Constrói um gráﬁco circular representativo da situação.
2 Uma empresa de televisão por cabo pretende elaborar um estudo sobre o grau de satisfação
dos seus clientes relativamente aos serviços prestados. Assim, selecionou aleatoriamente 200
dos seus clientes e colocou-lhes a seguinte questão: Qual é a classiﬁcação que atribui aos serviços prestados pela nossa empresa: não satisfaz, satisfaz ou satisfaz bastante?
3%
3%
5%
6%
6%
2.1. Neste estudo estatístico, indica:
a) a população;
b) a amostra.
2.2. O estudo efetuado é um censo ou uma sondagem? Justiﬁca.
2.3. Supõe que o estudo foi realizado telefonicamente e que os clientes contactados pertencem todos à mesma zona residencial. Achas que dos resultados obtidos podem resultar
conclusões válidas para toda a população? Explica o teu raciocínio.
3 O que terias a dizer sobre a representatividade de uma amostra constituída apenas por jogadores de futebol de uma equipa proﬁssional para se estudar a condição física de uma determinada população?
6%
4 Para estudar a característica “hábitos alimentares” de uma determinada população, realizou-se
um inquérito à entrada de uma pizaria. Faz um comentário acerca da representatividade da
amostra.
5 Uma escola decidiu realizar um estudo estatístico acerca das áreas disciplinares preferidas dos
seus alunos. Para isso, inquiriu os alunos de uma turma de artes.
82
3%
5.1. Como se designa este tipo de estudo?
3%
5.2. Qual é a população em estudo?
5%
5.3. Achas que dos resultados obtidos podem resultar conclusões válidas para toda a população? Explica o teu raciocínio.
4%
5.4. Sugere uma outra forma de fazer a recolha de dados.
5%
5.5. Que tipo de representações gráﬁcas utilizarias para apresentar os resultados obtidos com
este inquérito? Justiﬁca a tua opção.
6 Durante um certo mês, foram registadas as temperaturas máximas diárias, em graus Celsius,
em Viana do Castelo.
23,3
24,3
24,0
25,1
25,2
24,6
23,7
24,6
23,5
25,0
24,4
24,5
24,8
23,7
24,6
24,6
23,2
24,5
24,3
25,1
23,7
23,7
24,3
23,9
25,1
24,2
24,4
23,8
24,3
24,0
3%
6.1. Qual é a população em estudo?
6%
6.2. Organiza os dados num diagrama de caule-e-folhas.
4%
6.3. Calcula a maior amplitude térmica veriﬁcada durante esse mês.
5%
6.4. Calcula a média das temperaturas máximas registadas.
5%
6.5. Calcula a mediana das temperaturas máximas registadas.
6%
6.6. Indica qual dos seguintes diagramas de extremos e quartis pode representar as temperaturas máximas registadas na cidade ao longo do mês. Explica os motivos que te levaram a essa escolha, apresentando todos os cálculos ou esquemas que utilizaste.
[A]
23
23,3
24
24,8
25
26
[B]
23
23,2
23
23,2
23,7
24
24,3
24
24,3
25
25,2
26
25
25,2
26
[C]
23,8
24,6
[D]
23,8 24,6
0
5
10
15
20
Sou capaz de …
24,3
25
30
35
40
Sugestão de alguns exercícios
t formular questões e planear adequadamente a
recolha de dados.
pág. 14
Aplicar: 2, 3, 5.
pág. 15
t identiﬁcar e minimizar possíveis fontes de enviesamento na recolha de dados.
pág. 14
Aplicar: 3, 5.
pág. 15
t distinguir entre população e amostra e considerar os elementos que podem afetar a representatividade da amostra em relação à população.
pág. 14
Aplicar: 1, 2, 4, 5.
pág. 15
83
UNIDADE 5
Sequências e regularidades. Equações
Testar
1 A empresa de aluguer de automóveis “FantastiCar” anunciou
uma nova fórmula para o cálculo do preço do aluguer dos seus
carros. O custo (C) de cada aluguer, em €, será dado por:
C = 30d + 10(k – 30d)
100
em que d representa o número de dias de aluguer e K representa o número de quilómetros que o automóvel percorreu no
decurso do aluguer.
4%
6%
1.1. Supondo que um carro esteve alugado durante três dias,
tendo percorrido 300 km, determina o custo do aluguer.
4%
1.2. Sabendo que um cliente pagou 270 €, tendo percorrido,
durante o aluguer, 270 km, determina quantos dias esteve
o automóvel alugado.
6%
1.3. Resolve a equação dada em ordem a K.
1.4. A Eduarda alugou um automóvel durante todo o mês de
Janeiro e gastou 1137 euros. Quantos quilómetros fez a
Eduarda com o veículo alugado?
2 Escreve:
2%
2.1. um monómio de grau 3;
2%
2.2. um monómio que não tenha parte literal;
2%
2.3. um par de monómios semelhantes;
2%
2.4. um polinómio de grau 5;
2%
2.5. dois polinómios de grau 3, cuja soma seja um polinómio de grau 1.
3 Considera os seguintes polinómios.
A = x3 + 2x2 – 1 x – 3
2
B = 3 x2 + x – 0,1
2
2%
3.1. Indica o grau de cada um dos polinómios.
2%
3.2. Indica o polinómio simétrico de B.
10%
3.3. Calcula e simpliﬁca.
a) A + B
b) C2
c) C = D
d) 2A – 5D
C = x – 10
D=– x +2
5
4 Escreve uma expressão que represente a medida da área de cada uma das ﬁguras.
3%
3%
84
4.1.
4.2.
5 Copia as seguintes igualdades para o teu caderno e completa-as.
2%
2%
2%
5.1. (2x – ?)2 = ? – 4x + ?
5.2. (3x – ?)(3x + ?) = ? – 100
5.3. (? + ?)(? – ?) = x4 – 49
4
5.4. ? – 3
2
(
)
(
) (x + 34 ) (x
2
= 4x2 – ? + ?
2%
4%
6 Resolve cada uma das seguintes equações.
4%
6.1. 3(x + 2)(2x – 10) = 0
6.2. 2x – 1
3
4%
6.3. 4x2 – 16 = 0
6.4. 21x2 + 1 = 1 – 7x
6.5. –25 + 4x2 = 0
6.6. 4x2 – 32x = –64
2 – 25) = 0
4%
4%
4%
7 O Pedro, na aula de Matemática, construiu a sequência de quadrados da ﬁgura. Os quadrados
são formados por triângulos geometricamente iguais ao triângulo . A 1.a construção é formada por 2 triângulos, a 2.a construção é formada por 8 triângulos, a 3.a construção é formada
por 18 triângulos e assim sucessivamente.
(…)
1.a construção
2a. construção
3a. construção
tem a 20.a construção da sequência?
2%
7.1. Quantos triângulos do tipo
3%
7.2. Escreve uma expressão que permita determinar o número de triângulos do tipo
zados numa qualquer ﬁgura desta sequência.
2%
7.3. Quantos triângulos do tipo
2%
7.4. Qual é a construção formada por 200 triângulos do tipo
3%
7.5. Existe alguma construção formada com 280 triângulos do tipo
utili-
são necessários para a 34ª construção? Explica o teu raciocínio.
? Explica o teu raciocínio.
? Explica o teu raciocínio
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 9.o ano – Fevereiro 2010
6%
8 A Mafalda e a Francisca são irmãs gémeas.
Se ao quadrado da idade da Mafalda
subtrairmos o triplo da idade da Francisca, obtemos o quádruplo da idade da
Mafalda. Qual é a idade da Francisca?
85
UNIDADE 6
Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos
Testar
1 Determina a área de cada uma das seguintes ﬁguras.
6%
1.1.
1.2.
6%
8%
2 Observa o seguinte trapézio.
Sabendo que o trapézio tem 35 cm2 de área, determina uma relação entre o comprimento da
base menor, b, e o comprimento da base maior, B.
3 Observa a seguinte ﬁgura, na qual todos os ângulos são retos.
6%
3.1. Mostra que a área da ﬁgura é 13,5 cm2.
4%
3.2. A ﬁgura é a base de um prisma com 2,8 cm de altura. Determina o volume do prisma.
4%
3.3. Uma enorme peça metálica foi fundida para que prismas, como o referido na alínea anterior, possam ser construídos. A referida peça tem a forma de um prisma retangular e as
seguintes dimensões: 2 m = 1,2 m = 0,8 m.
Determina o volume, em cm3, da peça que foi fundida.
4%
3.4. Quantos prismas, como os referidos na alínea 3.2., podem ser construídos utilizando apenas o metal proveniente da fusão da peça?
Adaptado de University of Cambridge International Examinations, Maio/Junho 2003
6%
4 Considerando que o círculo da ﬁgura tem 2/ cm2 de área, determina a
área do quadrado nele inscrito.
86
10%
5 Observa a ﬁgura.
Sabe-se que:
tABC é um triângulo retângulo
—
t AD = 6 cm
—
t DC = 2 cm
—
Determina BC, apresentando todos os cálculos que efetuares.
6 Observa a ﬁgura.
Sabe-se que:
tD pertence à circunferência de centro em A e que passa em B
—
t AD = 8,5 cm
—
t CD = 8 cm
7%
6.1. Comenta a aﬁrmação: “Os triângulos ABC e ACD são equivalentes”.
7%
6.2. Os triângulos GDC e GBC são semelhantes? Justiﬁca.
6%
6.3. Determina a área do triângulo ABC. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
7 A grande pirâmide de Quéops (Gizé, Egipto) é uma das
sete maravilhas do mundo antigo. A sua base é um quadrado com 230 m de lado e tem 148 m de altura. De seguida, apresenta-se uma fotograﬁa da referida pirâmide
e um esquema que a representa.
4%
7.1. Determina o volume da pirâmide.
4%
7.2. Determina a área total da pirâmide.
6%
7.3. Utilizando as letras da ﬁgura, indica:
a) dois planos concorrentes;
b) duas retas não complanares.
4%
7.4. Indica, justiﬁcando, a posição relativa da reta AO e do plano BCD.
8%
8 Quanto mede a diagonal espacial de um cubo com 216 m2 de área total?
87
UNIDADE 1 Isometrias
Testar
1 Observa a figura.
Indica a figura que pode ser a imagem por uma translação da figura anterior.
[A]
[B]
[C]
[D]
→
2 Na figura está representado o trapézio ABCD, o vetor u e a reta r.
B
C
A
→
u
D
r
Constrói a imagem do trapézio ABCD através:
2.1. da rotação de centro em A e amplitude –90o;
2.2. da reflexão de eixo r;
→
2.3. da reflexão deslizante associada ao eixo r e ao vetor u.
3 Comenta a afirmação: “Dois triângulos equiláteros são sempre translação um do outro”.
88
4 Na figura está representado um hexágono regular ABCDEF, ins-
A
F
crito numa circunferência de centro em G.
4.1. Após uma rotação de centro em G e amplitude –120o, o
ponto D desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?
4.2. Indica a imagem do ponto E numa rotação de centro em G
e amplitude –180o.
B
E
G
C
D
4.3. Indica a imagem do triângulo CGD numa rotação de centro em G e amplitude +240o.
4.4. O ponto C é a imagem do ponto E numa rotação de centro em G. Indica a amplitude do ângulo
de rotação.
4.5. O hexágono da figura tem simetria rotacional? Justifica.
4.6. O hexágono da figura tem simetria axial? Justifica.
4.7. Define uma translação que transforme o segmento de reta DE no segmento de reta AB.
4.8. Completa:
a) A≥F + E≥D = ______
→ →
b) ______ + F≥A = 0 ( 0 é o vetor nulo)
c) ______ + G≥E = B≥D
4.9. Utilizando as letras da figura, indica dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e comprimentos diferentes.
4.10. Qual das seguintes afirmações é falsa?
[A] Os vetores A≥F e C≥D têm a mesma direção.
[B] Os vetores B≥C e C≥D têm o mesmo comprimento.
[C] Os vetores B≥E e B≥G têm o mesmo sentido.
[D] O triângulo BCG pode ser obtido do triângulo GEF através de uma translação.
89
UNIDADE 2 Números racionais
Testar
3
1 O Francisco ganhou 1225 € na lotaria. Gastou do
5
prémio na compra de uma nova televisão e depositou
o restante no banco.
1.1. Indica o significado da expressão 1 – 3 no con5
texto do problema.
(
)
3
× 1225. Qual é o significado do re5
sultado obtido no contexto do problema?
1.2. Calcula 1 –
1.3. Quanto custou a televisão que o Francisco comprou?
2 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas.
(
2.1. –2 × –0,5 × 4
5
( ) + (–1)
2.3. – 1
2
2
) – (– 13 : 2)
1001 –2–1 ×
(
2.2. 2 × –1 + 1
3
2
( 34 – 0,1)
0
–2
( )
11
–7
2.4. (–9) × (–9)
× 33 : 1
4
3
(–3)
3 Escreve, em notação científica, cada um dos seguintes números.
90
) – 34 : (– 12 )
3.1. 2000
3.2. 0,00078
3.3. 1,5 milhões
3.4. 0,002 × 105
–7
×1
5
4 Considera os números racionais –3; +4,5; + 1 ; 0,3333; – 9 ; 10 ; 0 e –1,(35).
3
4
5
4.1. Algum dos números é um número inteiro positivo? Se sim, qual?
4.2. Escreve-os por ordem decrescente.
5 Na tabela seguinte apresenta-se a capacidade de cada um dos estádios de três grandes clubes portugueses de futebol: F. C. Porto,
S. L. Benfica e Sporting C. P.
Clube
Estádio
Capacidade
(valor aproximado)
F. C. Porto
Estádio do Dragão
5 × 104
S. L. Benfica
Estádio da Luz
6,5 × 104
Sporting C. P.
Alvalade XXI
5,2 × 104
5.1. Coloca os estádios por ordem decrescente de capacidade.
5.2. Se, num determinado fim de semana, os três estádios encherem, quantas pessoas terão assistido
aos jogos?
5.3. Determina a diferença entre as capacidades do Estádio da Luz e do Alvalade XXI.
6 A massa do Sol é cerca de 1,9891 × 1030 kg. A massa do átomo de hidrogénio, principal constituinte
do Sol, é 1,67 × 10–27 kg.
6.1. Quantos átomos de hidrogénio há, aproximadamente, no Sol?
6.2. A 165 mil anos-luz da Terra, na Nebulosa Tarântula, esconde-se a R136, um grupo de estrelas de
grande dimensão que tem suscitado a curiosidade dos cientistas.
No centro deste agrupamento foi descoberta a R136a1, a maior estrela do conjunto, cujo tamanho
equivale a 265 vezes a massa do Sol, segundo anunciou o astrónomo Paul Crowther, da Universidade de Sheffield, no Reino Unido.
in Ciência Hoje, 22/7/2010
Determina um valor aproximado para a massa da estrela R136a1, apresentando-o em notação
científica.
91
UNIDADE 3 Funções e equações
Testar
1 Resolve cada uma das seguintes equações.
1.1.
x x–2
–
=1
2
5
1.2. –
2(x – 2) 2x + 1
+
=x
4
3
2 O Sr. Domingos é agricultor. Da venda de um terreno, o Sr. Domingos
recebeu algum dinheiro que decidiu investir na modernização da sua
quinta. Utilizou dois terços do dinheiro recebido para comprar um trator e um quarto do dinheiro para remodelar o celeiro. Com os restantes
7200 €, comprou cinco vacas e dez porcos. Quanto dinheiro recebeu o
Sr. Domingos da venda do terreno?
3 Na figura estão representadas as funções f, g e h.
h
3.1. Completa as seguintes afirmações com as palavras afim, linear
e constante.
A. f é uma função ______________________________.
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
–1
–2
–3
–4
B. g é uma função ______________________________.
C. h é uma função ______________________________.
3.2. Para cada uma das funções representadas, escreve uma expressão
analítica que a defina.
g
f
4 5
–5
3.3. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações.
Verdadeiro
Falso
A. O ponto (0,0) pertence ao gráfico da função f.
B. x = 2 é solução da equação f(x) = g(x).
C. A imagem do objeto 2, por g, é 1.
3.4. Determina:
a) f(9)
92
b) g(7)
c) x, sabendo que g(x) = 500.
4 Os pontos (0, 4) e (–2, 0) pertencem ao gráfico da função f. Sabendo que f é uma função afim, determina a expressão analítica que a define.
5 Verifica se o par ordenado (–1, 3) é solução da equação 2x – 4y = –14.
6 Resolve e classifica os seguintes sistemas.
6.1.
2(x – 6) = y
x–1=
6.2.
y – 10
2
2y = x + 3
3(x – 1) = –
y–3
+6
2
7 No início de cada ano letivo, o Gustavo compra todo o seu
material escolar numa papelaria que se situa perto da sua
casa. Este ano, verificou que, se comprasse seis cadernos
pautados e três quadriculados, teria de pagar 8,4 €. Se
comprasse quatro pautados e cinco quadriculados, teria
de pagar 9,2 €. Quanto custa cada caderno quadriculado?
93
UNIDADE 4 Planeamento estatístico
Testar
1 Mais de metade dos alemães (51%) estão descontentes com o euro, segundo uma sondagem do jornal
popular Bild. Realizada online, pelo instituto alemão
YouGov, a sondagem consultou 1068 pessoas, tendo
concluído que 44 por cento dos alemães estão satisfeitos com a moeda única. Segundo a mesma sondagem, 49 por cento dos alemães querem regressar ao
marco, contra 41 por cento que recusam essa ideia,
escreve o Bild, um jornal de grande tiragem, crítico do
euro.
In Jornal Público 27/12/2010
1.1. Relativamente ao estudo realizado, indica:
a) a população;
b) a amostra.
1.2. Se a Alemanha tiver uma população de 82 143 000 pessoas, quantas pessoas é de esperar que
queiram regressar ao marco? Explica o teu raciocínio.
2 Numa escola secundária com 550 alunos efetuou-se
uma sondagem acerca do número de irmãos de
cada aluno. Concluiu-se que 80% dos alunos tem
um ou mais irmãos.
2.1. Quantos alunos não têm irmãos?
2.2. Na turma da Francisca, apenas três alunos não
têm irmãos. Se a turma da Francisca fosse uma
amostra representativa da população, quantos alunos teria a turma da Francisca?
2.3. Na turma do Bernardo há 20 alunos.
a) Quantos alunos é de esperar que não tenham qualquer irmão?
b) Depois de perguntar, verificou-se que 10 alunos desta turma não têm irmãos. Será este resultado surpreendente? Explica a tua opinião.
94
3 Os alunos da turma da Mariana decidiram analisar os hábitos de estudo dos alunos da sua escola.
Assim, perguntaram a alguns alunos quantas horas semanais dedicavam ao estudo. A partir dos
dados obtidos construiu-se o seguinte gráfico de barras.
10
9
8
7
Frequência absoluta 6
5
4
3
2
1
0
1h
2h
3h
4h
5 h Mais de 5 h
Número de horas de
estudo semanal
3.1. Indica a população e a amostra a que respeita o estudo estatístico.
3.2. Completa a seguinte tabela.
Número de horas
de estudo semanal
Frequência Frequência
absoluta
relativa
1h
2h
3h
4h
5h
Mais de 5 h
3.3. Quantas pessoas foram inquiridas?
3.4. Quantas das pessoas inquiridas estudam mais de 5 horas semanais?
3.5. Determina a percentagem de alunos que assumiu estudar cinco horas semanais.
3.6. Se a escola da Mariana tiver 780 alunos, quantos é de esperar que estudem duas horas por semana? Explica o teu raciocínio.
3.7. Comenta a afirmação: “Da análise ao gráfico podemos concluir que 10 pessoas não tiveram qualquer negativa na pauta”.
3.8. Comenta a afirmação: “Se apenas se inquirissem alunos com mais de três negativas, a amostra
não seria representativa”.
95
UNIDADE 5 Sequências e regularidades. Equações
Testar
1 A distância percorrida por um automóvel entre o momento em
que o seu condutor inicia a travagem e o momento em que o
automóvel para denomina-se distância de travagem (Dt). Esta
pode ser calculada, em metros, utilizando a fórmula:
v 2 1
Dt =
× , em que v é a velocidade do veículo (km/h).
10
2
( )
A determinada altura, um veículo circulava a 92 km/h. Se o condutor do veículo travasse o automóvel, qual era a distância necessária para imobilizar o veículo? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Projeto 1001 Itens, GAVE
2 Considera o monómio –20x2 e indica:
2.1. o seu coeficiente e a sua parte literal;
2.2. o seu grau;
2.3. um monómio que lhe seja semelhante.
3 Simplifica.
3.1. (x2 – 5x + 6) – (–x3 + 4x)(x – 2)
3.2. 2(4x – 3)2 + (x – 6)(x + 6)
4 Qual dos seguintes é o simétrico do polinómio –3a2 + 4a – 12?
[A] +3a2 + 4a – 12
[B] +3a2 – 4a + 12
5 Resolve cada uma das seguintes equações.
96
[C] +
1 2 1
1
a – a+
3
4
12
5.1. 4x2 – 9 = 0
5.2. 12x2 – 8x = 0
5.3. 3x2 + 18x + 27 = 0
5.4. (x – 12)(25x2 – 100) = 0
[D] –
1 2 1
1
a + a–
3
4
12
6 Fatoriza cada uma das seguintes expressões algébricas.
6.2. x2(3x – 7) – 4(3x – 7)
6.1. 16a4 – 100a2
7 Considera o polinómio P = (m – 3)x2 – 8x + 16.
7.1. Indica o valor de m que transforma o polinómio P num polinómio de grau um. Que polinómio
é esse? Explica o teu raciocínio.
7.2. Seja m = 4.
a) Fatoriza o polinómio P.
b) Calcula o valor do polinómio P quando x = 2.
8 Na figura está representado o retângulo ABCD, com
12 cm2 de área. Determina o valor exato de x.
(2x – 4) cm
A
D
(x – 3) cm
B
C
9 De seguida apresentam-se os quatro primeiros termos de uma sequência de figuras. Cada figura é
formada por círculos iguais ao círculo
.
9.1. Quantos círculos tem a figura 5?
9.2. Quantos círculos são necessários para construir a figura número 10? Explica o teu raciocínio.
9.3. Qual das seguintes expressões pode ser o termo geral da sequência?
[A] 2n2 + 2n
[B]
3 2 n
n +
2
2
[C]
3 2 5
n + n+1
2
2
[D] 4n2 + n
9.4. Utilizando o termo geral da sequência, determina o número de círculos necessários para construir a figura número 33.
9.5. Existirá alguma figura composta por 1799 círculos? Justifica.
97
UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos
Testar
1 Determina a área da figura seguinte.
2 Observa a figura.
—
Sabe-se que P é o baricentro do triângulo QRS e que RT = 18 cm.
— —
2.1. Determina PR e PT, explicando o teu raciocínio.
2.2. Considera os triângulos QRT e RTS. Qual dos dois tem maior área? Justifica.
3 Em cada uma das seguintes situações, determina os valores de x, y e z.
3.1.
3.2.
4 Na figura está representado um círculo de centro em A e raio AH. Sabe-se que:
• GH é uma corda com 10,4 cm de comprimento;
—
• AI = 16 mm;
— —
• GI = IH.
A
Determina a área do círculo. Explica o teu raciocínio.
G
98
I
H
5 Observa a figura ao lado na qual estão representados um triângulo retângulo
e três quadrados construídos sobre os seus lados.
5.1. Determina a área do quadrado maior.
5 cm
5.2. Determina o comprimento do lado do quadrado maior.
12 cm
6 Prova que (n, n + 1, n + 3) não é um terno pitagórico, independentemente do valor de n.
—
7 O cubo da figura tem 4 cm de aresta. Determina o valor exato de AB, apresentando
todos os cálculos necessários.
8 A figura A é uma fotografia de uma caixa de choco-
I
lates que o Manuel fez para oferecer à Mariana no dia
de S. Valentim. A figura B representa um modelo geométrico dessa caixa.
Relativamente à figura B, sabe-se que:
H
J
E
• ABCDEFGH é um prisma quadrangular regular;
• EFGHI é uma pirâmide quadrangular regular, de al—
tura IJ.
G
D
8.1. Indica a posição relativa:
C
A
a) da reta HG relativamente ao plano ABF;
F
Figura A
B
Figura B
b) das retas IF e EH.
8.2. Prova que o plano HEF é paralelo ao plano DCB.
—
—
—
8.3. Sabendo que AB = 13 cm, BF = 19 cm e IJ = 6 cm, determina:
a) o volume, em cm3, do sólido representado na figura;
b) a área lateral da pirâmide EFGHI, em cm2.
Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2010 – 1.a chamada
99
Provas globais
De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objetivo de te prepararem
para o exame que irás realizar no ﬁnal do 9.o ano de escolaridade.
As provas são precedidas de três tabelas com a identiﬁcação do conteúdo trabalhado em cada
atividade, para uma mais fácil identiﬁcação da matéria em avaliação.
100
Grelhas de conteúdos
Prova global 1
Unidade
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
3.
Isometrias
4.1
4.2 a)
4.2 b)
X
4.2 c)
X
Números racionais
Funções e equações
Planeamento estatístico
X
X
X
X
X
Sequências e regularidades.
Equações
X
Teorema de Pitágoras e
sólidos geométricos.
X
X
Prova global 2
Unidade
1.
2.1
2.2
2.3
2.4
3.
Isometrias
Números racionais
Funções e equações
4.1
4.2
X
X
4.3
5.1
5.2
5.3
5.4
X
X
X
X
X
X
X
X
Planeamento estatístico
X
X
Sequências e regularidades.
Equações
Teorema de Pitágoras e
sólidos geométricos
X
Prova global 3
Unidade
1.1
1.2
Isometrias
X
X
1.3
2.1
2.2
3.1
3.2
4.
5.
Números racionais
Funções e equações
X
Planeamento estatístico
X
Sequências e regularidades.
Equações
Teorema de Pitágoras e
sólidos geométricos
X
6.
7.
X
X
X
X
X
X
101
1
Prova global
1 O João decidiu certiﬁcar a qualidade da pastelaria de que é proprietário. Num processo de certiﬁcação de qualidade, é necessário proceder a um rigoroso controlo dos bolos produzidos. Assim,
foram selecionados aleatoriamente 400 bolos, de entre os 4000 produzidos num dia, que foram
avaliados em quatro parâmetros distintos. No gráﬁco seguinte apresentam-se os resultados obtidos.
5%
120 bolos
60%
Aprovado em todos os parâmetros
Aprovado em 3 parâmetros
Aprovado em 2 parâmetros
Aprovado em 1 parâmetro
1.1 O estudo realizado é um censo ou uma sondagem? Justiﬁca.
1.2 Qual é a população e a amostra a que respeita o estudo?
1.3 Quantos bolos, de entre os 400 avaliados, foram aprovados em todos os parâmetros?
1.4 Qual é a percentagem de bolos aprovados em dois parâmetros? Apresenta todos os cálculos
que efetuares.
2 Resolve a equação seguinte, apresentando os cálculos que efetuares.
x(x – 7) – 3(x – 7) = 0
3 A pastelaria do João fornece bolos às duas escolas básicas das redondezas. No ano passado, vendeu a uma delas 7,2 = 103 bolos e à outra 1,54 = 104. Sabendo que a pastelaria vende, às escolas,
cada bolo a 27 cêntimos, determina o valor recebido, no ano passado, proveniente deste negócio.
Mostra como chegaste à resposta.
102
4 Na pastelaria do João estão à venda caixas com bolos tradicionais.
4.1 Existem caixas com três bolos e existem caixas com quatro bolos. Sabe-se ainda que:
tBTDBJYBTWB[JBTtêm todas a mesma massa (peso);
tPTCPMPTtêm, também, todos a mesma massa;
tVNBDBJYBcom quatro bolos pesa 310 gramas;
tEVBTDBJYBs, cada uma com três bolos, têm uma massa total de 470 gramas.
Qual é a massa, em gramasEFDBEBDBJYBWB[JB Mostra como chegaste à tua resposta.
4.2 Observa as seguintes ﬁguras.
I
H
G
J
E
F
Figura A
Figura B
A ﬁgura A é uma fotograﬁa de uma das caixas e a ﬁgura B representa um modelo geométrico
dessa caixa. Sabe-se que EFGHI é uma pirâmide quadrangular regular, de altura IJ.
a) Prova que a reta IJ é perpendicular ao plano EFG.
b) Determina, em cm3 e com aproximação às centésimas, o volume do sólido representado na
—
—
ﬁgura B, sabendo que EF = 20 cm e FI = 18 cm. Mostra como chegaste à tua resposta.
Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 2010
c) Como podes observar, na ﬁgura A, o logótipo
da pastelaria está representado em cada uma
das faces da caixa de bolos. Na ﬁgura ao lado,
apresenta-se um esquema desse mesmo loA
gótipo e o vetor v.
i. Constrói a imagem do polígono ABCDEFG
A
pela translação associada ao vetor u.
A A
ii. Completa: CB + EF = _________.
A
G
F
E
D
B
C
A
u
103
Prova global
2
1 O Tiago trabalha numa agência de viagens e o seu vencimento é calQuantia a receber (€)
culado em função do tempo de trabalho por mês. Na ﬁgura está representada graﬁcamente a função que relaciona o tempo de
trabalho do Tiago, em horas, com a quantia que vai receber, em
euros. Escreve uma expressão analítica da função representada.
Vencimento do Tiago
15
10
5
0
0
2 Uma agência de viagens perguntou a cada um dos
Destino preferido para a viagem de ﬁnalistas
Destino
o ano de uma escola secundária sobre o
alunos do 12.
seu destino preferido para a viagem de ﬁnalistas. Os
resultados apresentam-se no gráﬁco ao lado.
1
2
3
4
Tempo de trabalho (h)
Ibiza
20%
Brasil
18%
México
2.1 A agência de viagens realizou um censo ou
uma sondagem? Justiﬁca.
Algarve
23%
Outro destino
2.2 Relativamente ao estudo realizado, indica a
população.
15%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
Percentagem de alunos
2.3 Sabendo que, nesta escola, são 300 os alunos que frequentam o 12.o ano, determina quantos
alunos responderam preferir o Brasil. Mostra como chegaste à tua resposta.
2.4 Decidido o destino e os participantes, a Associação de Estudantes pediu à Agência de Viagens
que calendarizasse o pagamento de forma faseada. A proposta da agência deﬁnia que o valor
total da viagem, 660 €, fosse pago em duas tranches: uma primeira tranche, três meses antes
da partida, e uma segunda tranche, com o dobro do valor da primeira, apenas quinze dias
antes. Qual é o valor de cada tranche?
3 Qual das opções seguintes apresenta dois números inteiros?
[A] 2 e 3–1
104
[B] 1 e 1
2 3
()
[C] 20 e 3
4
–1
()
[D] 12 e 1
3
3
–2
4 Relativamente à ﬁgura, apresentada ao lado, sabe-se que:
tABCD é um quadrado de lado 4 e centro K;
t Os vértices C e A do quadrado são os centros das circunferências
representadas na ﬁgura, ambas de raio 2.
G
A
D
H
K
4.1 Completa:
A A
a) HK + KD = _____
A A
b) GK + BK = _____
A A
c) HJ + CI = _____
I
C
B
J
4.2 Qual é a imagem do triângulo ABD pela rotação de centro em K e amplitude –90o?
—
4.3 Determina GJ. Apresenta todos os cálculos que efetuares e o resultado aproximado às décimas.
5 De seguida apresentam-se os três primeiros termos de uma sequência de ﬁguras. Cada ﬁgura é formada por quadrados iguais ao quadrado
Figura 1
, uns pintados de verde e outros de vermelho.
Figura 2
Figura 3
5.1 Quantos quadrados vermelhos terá a ﬁgura 5?
5.2 Quantos quadrados verdes terá a ﬁgura 20?
5.3 Escreve uma fórmula que relacione o número da ﬁgura (n) com o número de quadrados vermelhos (V).
5.4 Escreve uma fórmula que relacione o número da ﬁgura (n) com o número total de quadrados (T).
105
Prova global
3
A
1 O Clube Multimédia da escola da Maria decidiu criar uma televisão escolar,
a “Estação i”, que se dedicará exclusivamente à informação, transmitindo
notícias da Escola, do País e do Mundo.
O símbolo escolhido para a “Estação i” apresenta-se na ﬁgura ao lado. Sabe-se
que:
O
B
t o hexágono ABCDEF é regular e está inscrito numa circunferência de
centro em O;
—
—
t CD = 10 cm e CH = 25 cm.
1.1 Após uma rotação de centro em O e amplitude –120o, o ponto A desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por
outro ponto. De que ponto se trata?
F
E
C
D
H
G
1.2 Qual das seguintes aﬁrmações é verdadeira?
A A
[A] Os vetores AF e DC têm o mesmo sentido.
A A
[B] Os vetores FE e CD têm comprimentos diferentes.
A A
[C] Os vetores BE e OB têm o mesmo comprimento.
[D] O segmento de reta AF é a imagem do segmento de reta CD por uma rotação de centro em
O e amplitude +180o.
1.3 Determina a área sombreada da ﬁgura. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Escreve o
resultado arredondado às centésimas.
Nota: Sempre que procederes a arredondamentos utiliza duas casas decimais.
2 A Direção da escola, dada a enorme qualidade do projeto, pediu aos responsáveis pela “Estação i”
que, para além da transmissão nas televisões internas da escola, utilizassem também a Internet como
meio de comunicação. Deste modo, toda a comunidade educativa passava a ter acesso à emissão.
O professor responsável pelo Clube Multimédia, antes de tomar qualquer decisão, questionou cada
um dos 20 alunos inscritos no clube sobre o pedido da Direção. 85% concordaram que se passasse
a utilizar a Internet.
2.1 O professor responsável realizou um censo ou uma sondagem? Justiﬁca.
2.2 Quantos alunos não concordaram com a medida?
106
Número de pessoas (em dezenas)
3 Na ﬁgura ao lado está representada graﬁcamente a função f que
relaciona o tempo decorrido desde que a “Estação i” passou a
transmitir através da Internet, em dias, com o número de pessoas, em dezenas, que assistem à emissão.
3.1 Quantas pessoas assistem à emissão quatro dias depois da
“Estação i” ter passado a emitir através da Internet?
5
4
3
2
1
0
0
1
2 3 4 5 6 7 8
Tempo de emissão (em dias)
3.2 Qual das seguintes expressões pode deﬁnir a função f?
x
x
[A] f(x) = +1
[B] f(x) = x +1
[C] f(x) =
2
2
[D] f(x) = x
4 Resolve a seguinte equação, apresentando os cálculos que efetuares.
4x2 – 17 = 0
5 Resolve graﬁcamente o sistema
2x – y = 0
2y + 2x = 6
y
5
4
3
2
1
.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
–1
–2
–3
–4
4
5 x
–5
( 3 ) – (–2)
3
3
6 Calcula o valor numérico da expressão – 2 =4 3 + – 7
6
0
–2.
7 Calcula (7,1 = 10–2) + (9,3 = 10–3).
Nota: Não utilizes a calculadora e apresenta o resultado em notação cientíﬁca.
107
Recursos para
a Prova Final
de Ciclo
9
RESUMIR
UNIDADE 1 Probabilidades
EXPERIÊNCIAS
® Uma experiência diz-se determinista se, repetida nas mesmas condições, produz sempre o mesmo
resultado.
Exemplo: Colocar um prego de aço num copo de água e verificar o que acontece.
® Uma experiência diz-se aleatória se é impossível prever o resultado que se obtém, mesmo quando
repetida exatamente nas mesmas condições.
Exemplo: Lançar uma vez um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 e verificar que face
fica voltada para cima.
Numa experiência aleatória, o conjunto de resultados, o espaço de resultados ou o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. Representa-se por S ou Ω.
No exemplo do dado equilibrado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
ACONTECIMENTOS
Cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados de uma experiência aleatória diz-se um:
• acontecimento elementar – se é constituído por um só elemento do conjunto de resultados;
• acontecimento composto – se é constituído por mais do que um elemento do conjunto de resultados;
• acontecimento impossível – se se não tem qualquer elemento do conjunto de resultados, ou seja, se
não se verifica;
• acontecimento certo – se contém todos os elementos do conjunto de resultados, ou seja, se se verifica sempre.
PROBABILIDADE
A probabilidade de um acontecimento A é um número maior ou igual a 0 (ou 0%) e menor ou igual a
1 (ou 100%), ou seja, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
É tão provável que o
acontecimento ocorra
como que não ocorra
É impossível ocorrer
o acontecimento
É certo que o
acontecimento ocorre
0
1
ou 0,25
4
1
ou 0,50
2
3
ou 0,75
4
1
0%
25%
50%
75%
100%
Muito pouco
provável
110
Pouco
provável
Provável
Muito
provável
A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 e a probabilidade de um acontecimento certo
é 1.
A probabilidade pode ser expressa na forma de dízima, de fração irredutível ou de percentagem.
Quando dois acontecimentos têm a mesma probabilidade de ocorrer dizem-se equiprováveis.
Conceito frequencista de probabilidade
Lei dos Grandes Números: Quando o número de repetições da experiência aleatória é elevado, a frequência relativa de um acontecimento tende a estabilizar num valor que se adota como probabilidade
desse acontecimento.
Conceito clássico de probabilidade
Lei de Laplace: Numa experiência aleatória em que os acontecimentos elementares são equiprováveis,
a probabilidade de um determinado acontecimento A é dada pelo quociente entre o número de casos
favoráveis à sua realização e o número de casos possíveis.
P(A) =
número de casos favoráveis à realização de A
número de casos possíveis
Por vezes, para contar o número de casos favoráveis a um determinado acontecimento, ou o número de
casos possíveis, podemos recorrer a:
Tabela de dupla entrada
Dado 1
Dado 2
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
Diagrama de árvore
Moeda 1
Diagrama de Venn
Moeda 2
C
C
N
C
N
N
111
RESUMIR
UNIDADE 2 Funções
PROPORCIONALIDADE INVERSA
® Duas variáveis são inversamente proporcionais se o produto dos seus valores correspondentes é
constante e não nulo, ou seja, x e y são inversamente proporcionais quando:
x×y=k
(k ≠ 0)
k diz-se a constante de proporcionalidade inversa.
FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE INVERSA
® Qualquer função com uma expressão do tipo y =
equivalente, f(x) =
k
(com k constante, k ≠ 0 e x ≠ 0) ou, de forma
x
k
(com k constante, k ≠ 0 e x ≠ 0) diz-se uma função de proporcionalidade inversa.
x
k é a constante de proporcionalidade inversa.
Exemplos:
1. y =
4
é uma função de proporcionalidade inversa.
x
2. y =
x
não é uma função de proporcionalidade inversa.
4
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
(de funções de proporcionalidade inversa)
® Num gráfico de proporcionalidade inversa, todos os pontos estão sobre uma linha curva composta
por dois ramos – uma hipérbole.
Nos pontos que pertencem ao gráfico de uma função de proporcionalidade inversa, o produto das
coordenadas de cada ponto do gráfico é constante. Esta é a constante de proporcionalidade inversa.
Exemplo:
f(x) =
y
5
2
x
4
3
x
f (x)
x × f (x)
2
0,5
4
2
1
1
2
2
–2
–1
2
–0,5
–4
2
O produto das coordenadas de cada ponto do
gráfico de f é constante. A constante de proporcionalidade inversa é 2.
112
–4 –3 –2 –1
O
(–2, –1) –1
(–4; –0,5)
–4 ¥ (–0, 5) = 2
–2
–2 ¥ (–1) = 2
–3
–0,5 ¥ (–4) = 2
–4
(–0,5; –4)
–5
(0,5; 4) 0,5 ¥ 4 = 2
1¥2=2
(1, 2)
(2, 1) 2 ¥ 1 = 2
1
2
3
4
x
® No gráfico de uma função do tipo y = ax2, com a diferente de zero, todos os pontos estão sobre uma
linha curva. Essa linha, chamada parábola, pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo.
• O ponto (0, 0) pertence ao gráfico de todas as funções do tipo y = ax2, com a diferente de zero. Este
ponto diz-se o vértice da parábola.
• O sinal do coeficiente a determina o sentido da concavidade da parábola.
a>0
a<0
Concavidade voltada para cima
Concavidade voltada para baixo
y
4
y
2
3
2
1
–4 –3 –2 –1 O 1
–1
1
–4 –3 –2 –1 O 1
–1
–2
2
3
4x
2
3
4 x
–2
–3
–4
• O valor absoluto de a influencia a abertura da parábola: quanto maior for o valor absoluto de a,
menor será a sua abertura.
Exemplos:
• f(x) = –2x2
• Como a = –2, a parábola que representa o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo.
• g(x) = 4x2
• Como a = 4, a parábola que representa o gráfico de g tem a concavidade voltada para cima.
|4| > |–2|
Logo, a abertura da parábola associda a g é menor do que a abertura da parábola associada a f.
113
RESUMIR
UNIDADE 3 Equações
EQUAÇÕES DO 2.° GRAU
® Toda a equação que seja equivalente a uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, diz-se uma
equação do 2.° grau.
Exemplos:
1. x2 – 5x – 2 = 0 é uma equação do 2.° grau.
2. π2x – 4x = 0 não é uma equação do 2.° grau.
® Diz-se que uma equação do 2.° grau escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, está na sua forma
canónica.
® Quando numa equação do 2.° grau b = 0 e/ou c = 0, a equação diz-se incompleta. Se a ≠ 0, b ≠ 0 e
c ≠ 0, a equação diz-se completa.
Exemplos:
1. 7x2 – 2x – 59 = 0 é uma equação do 2.° grau completa.
2. x2 – 4x = 0 é uma equação do 2.° grau incompleta.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.° GRAU
® Para resolver equações do 2.° grau podemos recorrer aos casos notáveis da multiplicação e à lei
do anulamento do produto ou utilizar a fórmula resolvente da equação do 2.° grau.
® A fórmula resolvente da equação do 2.° grau permite determinar, de forma direta, as soluções de
qualquer equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0:
x=
< b ± b2 < 4 ac
2a
Exemplo:
Na equação x2 + 3x – 4 = 0, a = 1, b = 3 e c = –4. Assim:
x2 + 3x < 4 = 0
x=
x=
x=
x=
x=
x=
<( + 3) ± ( + 3)2 < 4 × ( + 1) × ( < 4 )
2 × ( + 1)
< 3 ± 9 + 16
2
< 3 ± 25
2
<3 < 5
<3 + 5
 x =
2
2
8
2
<  x =
2
2
< 4  x = 1
C.S. = {–4, 1}
114
BINÓMIO DISCRIMINANTE
® O número de raízes de uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, depende do valor do binómio discriminante.
x=
–b ± √∫b2∫ ∫ ∫–∫ ∫4∫a∫c ← binómio discriminante
2a
(costuma representar-se por △)
• Se △ = b2 – 4ac < 0, a equação é impossível, isto é, não tem solução.
• Se △ = b2 – 4ac = 0, a equação é possível e tem apenas uma solução.
• Se △ = b2 – 4ac > 0, a equação é possível e tem duas soluções distintas.
Exemplo:
Considera a equação x2 – 3x – 5 = 0.
Temos que:
△ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4 × 1 × (–5) = 9 + 20 = 29
Como △ > 0, podemos concluir que a equação tem duas soluções distintas.
SOMA E PRODUTO DAS SOLUÇÕES
® Qualquer equação do 2.° grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, ou, de forma
equivalente, na forma x2 + b x + c = 0 , com a ≠ 0.
a
a
Se α e β representarem as suas soluções, podemos dizer que:
α+β=–
b
c
e α×β=
a
a
Deste modo, a equação também pode ser escrita na forma:
x2 – (α + β)x + (α × β) = 0
Exemplo:
Considera a equação x2 – 3x + 2 = 0.
Sabemos que a soma das suas soluções é 3 e que o seu produto é 2.
Podemos, então, concluir que 1 e 2 são as soluções desta equação.
115
RESUMIR
UNIDADE 4 Circunferência
LUGARES GEOMÉTRICOS
® Lugar geométrico é um conjunto de pontos do plano, ou do espaço, caracterizado por uma certa
propriedade.
Lugares geométricos do plano
Lugares geométricos do espaço
Lugar geométrico dos pontos
do plano...
Lugar geométrico dos pontos
do espaço...
equidistantes de um dado
ponto (centro).
equidistantes de um dado
ponto (centro).
Circunferência
Superfície esférica
que distam de um ponto
dado (centro) uma distância
inferior ou igual a um
determinado valor.
Círculo
que distam de um ponto
dado (centro) uma distância
inferior ou igual a um
determinado valor.
Esfera
equidistantes dos extremos
de um segmento de reta.
Mediatriz
equidistantes dos extremos
de um segmento de reta.
Plano mediador
® Bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes das semirretas que formam
esse ângulo.
Bissetriz
116
CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA A UM TRIÂNGULO
® Circuncentro de um triângulo é o ponto que se encontra equidistante dos seus vértices, ou seja, é
o centro da circunferência que passa pelos seus três vértices.
Para determinar o circuncentro (Ponto C) basta determinar o ponto de interseção das mediatrizes
dos lados do triângulo.
Y
C
Z
X
CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA NUM TRIÂNGULO
® Incentro de um triângulo é o centro da circunferência inscrita no triângulo (circunferência tangente
aos lados do triângulo).
Para determinar o incentro (Ponto P) basta determinar o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.
B
C
P
A
ALGUMAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS EM CIRCUNFERÊNCIAS
• Toda a reta que passa pelo centro de uma circunferência é um eixo de simetria dessa circunferência,
pelo que uma circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria.
• Qualquer reta perpendicular ao ponto médio de uma corda divide ao meio a corda e cada um dos
arcos que ela determina.
117
RESUMIR
UNIDADE 5 Números reais. Inequações
NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS
® Qualquer número que possa ser representado por uma fração entre dois números inteiros diz-se um
número racional. Para representar o conjunto dos números racionais utiliza-se o símbolo Q.
São números racionais:
– todos os números inteiros;
Exemplos:
1. 0 é racional, pois pode ser escrito na forma 0 .
1
2. –7 é racional, pois pode ser escrito na forma – 7 .
1
3. 6 é racional, pois pode ser escrito na forma 12.
2
– todas as dízimas finitas;
Exemplos:
1. 0,7 é racional, pois pode ser escrito na forma 7 .
10
2. 0,373 é racional, pois pode ser escrito na forma 373 .
1000
– todas as dízimas infinitas periódicas.
Exemplo:
0,121212… = 0,(12) é racional, pois pode ser escrito na forma 12.
99
® Um número diz-se irracional se puder ser representado por uma dízima infinita não periódica.
π, 3 , – 2 , … são exemplos de números irracionais.
NÚMEROS REAIS
® Ao conjunto que engloba os números racionais e os números irracionais dá-se o nome de conjunto
dos números reais e representa-se por R.
R = {números racionais} ∂ {números irracionais} = Q ∂ {números irracionais}
As operações definidas para os números racionais (Q), estudadas nos anos anteriores, estendem-se
ao conjunto dos números reais (R), conservando as suas propriedades.
Números reais (R)
Números racionais (Q)
– 3
7
5 2
3
Números inteiros (Z)
– 8
4
4,25
– 3
5
Números irracionais
–100
0
5,(2)
–3,72
–77
–3
Números
naturais (N)
1
√∫1∫6
–15
–p
1
3
12
30
3
75 √∫9
–3√∫1∫1
–7,(37)
NƒZƒQƒR
118
√∫7
3
√∫2∫6
3
–√∫2
p +2
RETA REAL
® Uma reta numérica utilizada para representar números reais (racionais e irracionais) diz-se uma reta real.
Numa reta real, a cada ponto corresponde um número real e a cada número real corresponde um
ponto da reta.
Para representar números irracionais na reta real, procedemos como na representação de números
racionais.
Exemplo:
13
0
2
3
13
RELAÇÃO DE ORDEM EM R
® Dizer que a < b é equivalente a dizer que b > a.
Exemplos:
1. 5 < 8 é equivalente a dizer que 8 > 5.
2. –2 < – 1 é equivalente a dizer que – 1 > –2.
3
3
® Se x < y e y < z, então x < z.
Exemplos:
1. 4 < 6 e 6 < 9, então 4 < 9.
2. –5 < – 3 e – 3 < 1, então –5 < 1.
2
2
® Sejam a, b e c três números reais. Se a < b, então a + c < b + c.
Exemplos:
1. Se 4 < 6, então 4 + 3 < 6 + 3.
2. Se –6 < –3, então –6 – 2 < –3 – 2.
® Sejam a, b e k três números reais diferentes de zero. Se k > 0 e a < b, então k × a < k × b.
Exemplos:
1. 3 < 5 ⇔ 3 × 2 < 5 × 2
2. –4 < – 2 ⇔ –4 × 3 < – 2 × 3
5
5
® Sejam a, b e k três números reais diferentes de zero. Se k < 0 e a < b, então k × a > k × b.
Exemplos:
1. 3 < 5 ⇔ 3 × (–2) > 5 × (–2)
2. –4 < – 2 ⇔ –4 × (–3) > – 2 × (–3)
5
5
119
RESUMIR
UNIDADE 6 Trigonometria no triângulo retângulo
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS
Considera o seguinte triângulo retângulo.
α
Para qualquer ângulo agudo α, verificam-se as seguintes razões:
•
a
– esta razão chama-se seno de α e escreve-se, de forma abreviada, sen α:
c
sen α =
•
b
– esta razão chama-se cosseno de α e escreve-se, de forma abreviada, cos α:
c
cos α =
•
a medida do cateto oposto a α
=
c
medida da hipotenusa
b medida do cateto adjacente a α
=
c
medida da hipotenusa
a
– esta razão chama-se tangente de α e escreve-se, de forma abreviada, tg α:
b
tg α =
medida do cateto oposto a α
a
=
b medida do cateto adjacente a α
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo designam-se por razões trigonométricas desse ângulo.
Estas razões não dependem do comprimento dos lados do triângulo, mas apenas da amplitude dos
seus ângulos.
RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para todo o ângulo agudo α, verificam-se as seguintes propriedades:
• tg α =
sen α
cos α
• sen2 α + cos2 α = 1
120
PRATICAR
1 Observa a figura e calcula o seno de θ, o cosseno de θ, e a tangente de ε. Apresenta o resultado aproximado a duas casas decimais. A figura não está desenhada à escala.
2 Determina o valor da amplitude do ângulo α, aproximado às décimas do grau, em cada um dos
seguintes triângulos. As figuras não estão desenhadas à escala.
2.1.
2.2.
3,6
0,9
α
2.3.
2.4.
8
α
4
3 Considera o triângulo retângulo representado na figura. Determina o comprimento de q. Apresenta
o resultado aproximado às décimas, por defeito.
4 Na figura está representado o triângulo ABC, retângulo em C.
Determina, com aproximação às unidades:
4.1. o comprimento do segmento de reta BC;
4.2. o comprimento do segmento de reta AC.
121
UNIDADE 1
Probabilidades
Testar
1 Considera a experiência que consiste em rodar o pião da ﬁgura
1.2. Indica o conjunto de resultados da experiência.
1,5%
1.3. Indica, nesta experiência, um acontecimento:
1,5%
a) elementar;
b) composto;
1,5%
c) certo;
d) impossível.
6
3%
5
1.1. A experiência é aleatória ou determinista? Justiﬁca a tua opção.
12
3%
7 8
3 4
sobre uma mesa e registar o número da face cuja aresta ﬁca em
contacto com a mesa.
1,5%
7%
2 Se em doze lançamentos de um dado cúbico perfeito ocorrer seis vezes a face 3, podes concluir que o dado é viciado? Justiﬁca a tua resposta.
3 A roleta da ﬁgura está viciada. Experimentalmente, veriﬁcou-se que
a probabilidade de sair um setor vermelho é 0,4 e que os acontecimentos “sair setor azul” e “sair setor verde” são equiprováveis. Determina a probabilidade de sair um setor:
3%
3.1. não vermelho;
3%
3.2. verde.
4%
4 O concorrente selecionado para a ﬁnal de um concurso televisivo tem uma probabilidade de
0,85 de o vencer. Qual é a probabilidade de o concorrente não vencer o concurso?
5 Uma caixa contém vinte bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 20. Extrai-se, ao acaso,
uma bola da caixa e veriﬁca-se o número nela inscrito. Determina a probabilidade de o número ser:
3%
4%
4%
5.1. o 7;
5.2. múltiplo de 2 e 3, simultaneamente;
5.3. múltiplo de 2 ou múltiplo de 3.
6 Num saco existem discos verdes, azuis e vermelhos indistinguíveis ao tato. Extrai-se ao acaso
um disco do saco.
2
1
e a probabilidade de sair um disco azul é .
5
4
6.1. Determina a probabilidade de sair um disco vermelho.
A probabilidade de sair um disco verde é
5%
6%
6.2. Determina o número total de discos que estão no saco, sabendo que há 16 discos verdes.
8%
7 Num saco estão seis bolas verdes e sete bolas amarelas. Extraem-se, sucessivamente e sem
reposição, duas bolas do saco. Se a primeira bola retirada é verde, qual é a probabilidade de
a segunda ser amarela?
122
12%
8 Num quadrado com 10 cm de lado, marcou-se um setor circular
com centro num dos vértices do quadrado, tal como mostra a
ﬁgura. Escolhendo um ponto do quadrado ao acaso, determina
a probabilidade de esse ponto não pertencer ao setor circular.
Explica o teu raciocínio.
10 cm
–3
–3
9 A ﬁgura representa a planiﬁcação de um dado de jogar, cujas
faces têm uma numeração especial.
2%
9.1. Qual é o número que se encontra na face oposta à do zero?
4%
9.2. Se lançares o dado duas vezes e adicionares os números saídos, qual é a menor soma que podes obter?
6%
9.3. A Rita e o Vítor decidiram inventar um jogo com o dado da
ﬁgura.
O Vítor propôs: Lançamos o dado ao ar e, se sair um número
negativo, ganho eu; se sair um número positivo, ganhas tu.
A Rita protestou, porque assim o jogo não era justo. Concordas
com a Rita? Explica a tua resposta.
7%
–2
0
2
3
–1
9.4. Se lançares o dado duas vezes e multiplicares os números saídos, é mais provável obteres
um número positivo ou um número negativo? Justiﬁca.
Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2004
10 Um estudo feito a uma marca de iogurtes revelou que:
t se um iogurte está dentro do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,05;
t se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,65.
Considera que, num certo dia, uma mercearia tem dez iogurtes dessa marca, dois dos quais
estão fora de prazo.
Considera, ainda, os seguintes acontecimentos:
tV: “o iogurte está dentro do prazo de validade”
—
t V: “o iogurte está fora do prazo de validade”
tE: “o iogurte está estragado”
—
t E: “o iogurte não está estragado”
4%
10.1. Completa o esquema, tendo em conta as informações do enunciado.
____
2
10
6%
0,05
E
____
—
E
____
E
____
—
E
V
—
V
10.2. Escolhendo ao acaso um desses dez iogurtes, qual é a probabilidade de ele estar dentro do prazo de validade e estragado?
Adaptado de Exame Nacional do Ensino Secundário, 2000, 1.a fase – 2.a chamada
123
UNIDADE 2
Funções
Testar
6%
1 Uma tabela que relaciona duas variáveis, x e y, traduz uma situação de proporcionalidade
inversa se:
[A] à medida que x diminui, y aumenta.
[B] à medida que x diminui, y também diminui.
[C] o quociente entre os valores correspondentes das duas variáveis é constante.
[D] o produto dos valores correspondentes das duas variáveis é constante.
6%
2 Indica, de entre as seguintes expressões algébricas, aquela que representa uma função de
proporcionalidade inversa.
[A] x ¥ y = 100
12%
[B] y =
4x
3
[C] y = 10x
[D] y =
2
x+3
k
3 Considera as funções f, g e h, deﬁnidas por f(x) = kx, g(x) = kx2 e h(x) = . De seguida, aprex
sentam-se as representações gráﬁcas de cada uma dessas funções.
y
4
I
II
III
3
2
1
O 1
–4 –3 –2 –1
–1
2
3
4 x
–2
–3
–4
Para k > 0, faz corresponder a cada uma das funções a respetiva representação gráﬁca.
8
4 Considera a função f deﬁnida por f: x Æ y = , com x ≠ 0.
x
5%
4.1. Completa a seguinte tabela.
x
–16
–8
–4
–2
–1
1
2
4
8
16
f(x)
5%
12%
4.2. Representa graﬁcamente a função f.
5 Considera a função que está representada graﬁcamente
y
no referencial. Qual das seguintes expressões é a sua representação analítica?
4
[A] y = 2x
[C] y = –
1 2
x
2
3
[B] y = x2
[D] y =
2
x2
2
1
–3
–2 –1
–1
–2
124
O 1
2
3
x
10%
6 O Mário e os seus três irmãos têm de dividir entre si 10 000 € de uma herança. Se o Mário tivesse quatro irmãos, quanto receberia a menos? Explica o teu raciocínio.
14%
7 Num laboratório farmacêutico são levadas a cabo reações químicas com o objetivo de descobrir um novo
fármaco. A equipa responsável pelo estudo descobriu
que a quantidade de reagente (q), em miligramas, é
inversamente proporcional ao tempo (t), em segundos, da reação química. Num primeiro ensaio, 15 mg
de reagente desencadearam uma reação de 4 segundos. Prepara-se entretanto uma nova experiência em
que serão utilizados 30 mg de reagente. Qual é a duração previsível da reação? Explica o teu raciocínio.
8 Para planear a vindima na quinta de Alzubar, construiu-se a tabela seguinte.
Número de trabalhadores (t)
100
50
25
Número de dias de vindima (d)
1
2
4
Na tabela, as variáveis t e d referem-se a grandezas inversamente proporcionais.
8.1. Assinala no gráﬁco o tempo correspondente à vindima feita por 5, por 10 e por 20 trabalhadores.
Número de dias (d)
12%
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Número de trabalhadores (t)
6%
8.2. Qual das seguintes fórmulas relaciona o número de trabalhadores (t) com o número de
dias (d) necessários para a vindima na quinta de Alzubar?
t
[A] 100t = d
[B] t + d = 100
[C] = 100
[D] t ¥ d = 100
d
12%
8.3. Na quinta de Alzubar, a vindima demorou quatro dias e foram recolhidos, no total, 80 000 kg
de uva. Em média, quantos quilogramas de uva vindimou cada trabalhador, por dia? Explica
a tua resposta e apresenta todos os cálculos que efetuares.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2002
125
UNIDADE 3
Equações
Testar
1 Escreve uma equação do 2.o grau:
2%
1.1. completa;
2%
1.2. incompleta, mas que admita termo em x;
2%
1.3. que admita duas soluções distintas;
2%
1.4. que admita uma única solução;
2%
1.5. que seja impossível;
2%
1.6. que admita –3 e 6 como soluções.
2 Para resolver uma equação do 2.o grau incompleta, o Gilberto utilizou os seguintes passos.
Observa-os:
Equação: x2 – 16x = 0
1.o passo: x(x – 16) = 0
2.o passo: x = 0 › x – 16 = 0
3.o passo: x = 0 › x = 16
4%
2.1. Como se denomina a propriedade utilizada pelo Gilberto no 2.o passo?
6%
2.2. Resolve a equação, utilizando um processo diferente do do Gilberto.
3 Considera as equações:
I. 25x2 – 16 = 0
II. 3x2 +4x = 0
III. x2 – 2x – 3 = 0
Resolve cada uma das equações, utilizando:
6%
3.1. a fórmula resolvente;
6%
3.2. outro processo que não a fórmula resolvente.
7%
4 Qual das seguintes aﬁrmações é falsa? Justiﬁca a tua opção.
[A] Qualquer equação do 2.o grau pode ser resolvida recorrendo à fórmula resolvente.
[B] Existem equações do 2.o grau impossíveis.
[C] As equações do 2.o grau do tipo ax2 = 0, a ≠ 0, não podem ser resolvidas com recurso à fórmula resolvente.
[D] (x – 3)(x + 3) = 2x é uma equação do 2.o grau completa.
8%
126
5 Prova que a equação x2 – 4x + 6 = 0 é impossível, sem a resolveres.
12%
6 O triângulo da ﬁgura tem 60 m2 de área. Determina o valor de x.
(x + 2) m
(2x + 3) m
12%
7 No referencial da ﬁgura estão representadas as funções f e g deﬁnidas, respetivamente, por
y=–
1 2
x e y = x – 4. Determina a área do triângulo AOB.
2
y
y=x–4
O
x
A
y = – 1 x2
2
B
8 Na ﬁgura está representado um retângulo ABCD.
A
14
B
x
10
D
C
Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa com 14 cm de comprimento por 10 cm de
largura. Esta placa será construída em 2 materiais distintos: uma parte em metal (representada
a rosa) e uma parte em madeira (representada a branco). A área a construir em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais.
Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo ABCD.
Seja x o lado de cada quadrado, medido em centímetros (0 < x < 5).
9%
8.1. Mostra que a área, em cm2, da parte da placa decorativa a construir em metal é dada, em
função de x, por A(x) = 6x2 – 24x + 70.
8.2. Determina o valor de x para o qual:
9%
a) a área da parte em metal é 70 cm2;
9%
b) a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira.
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 10.o ano – 06/05/2009
127
UNIDADE 4
Circunferência
Testar
1 6UJMJ[BOEPNBtFSJBMEFEFTFOIo, rFQrFTFOUBOVNreferFODJBMDBrtFTJBOP
4%
1.1. PMVHBSHFPNÏUSJDPEPTQPOtPTRVFEJTUBNEBPSJHFNNFOPTEFEVBTVOJEBEFT
4%
1.2. PMVHBSHFPNÏUSJDPEPTQPOtPTRVFEJTUBNEPQPOto A
EVBTPVNBJTVOJEBEFT
4%
1.3. a NFEJBUSJ[ do segNFOto de reta AB, TFOEPA a PSJHFN do referFODJBM e B o QPOto de orEFOBEBOVMBFBCDJTTB
4%
1.4. BCJTTFUSJ[EPÉOHVMPABCTFOEPA(2, 0), B(6, 0) e C(6, 4).
2 No NBQB TFHVJOte estão BTTJOBMBEBT DJODo MPDBMJEBEFs, A, B, C, D e E, e uma estação de SÈEJP R.
"QFOBT as MPDBMJEBEFT TJUVBEBT até 500 km de EJTUÉODJB da SÈEJP DPOTFHVFN TJOtPOJ[BS as suas
FNJTTÜFs.
A
R
B
C
D
E
100 quilómetros
4%
2.1. "MPDBMJEBEFB DPOTFHVJSÈTJOtPOJ[BSBSÈEJPR +VTUJmDB
5%
2.2. Uma FNQresa FTQFDJBMJ[BEB em testar a RVBMJEBEF SBEJPfØOJDB EFDJEJV testar a SÈEJP R OVm
MPDBM que FTUJvesse FYBUBNFOte à mesma EJTUÉODJB das MPDBMJEBEFT B, C e D. ATTJOBMB o MPDBl
exato POEF o teste fPJ rFBMJ[BEo.
5%
2.3. Está Qrojetada a DPOTUSVÎÍP de uma Oova estação de SÈEJo, DVKBT FNJTTÜFT só QPEFSÍP ser
JHVBMNFOte TJOtPOJ[BEBT até uma EJTUÉODJB de 500 km. ATTJOBMB OP teu esquema, um dos
QPTTÓvFJT MPDBJT POEF deverá ser DPOTUSVÓEB a Oova estação de SÈEJo, de forma a que todas
BTMPDBMJEBEFTBTTJOBMBEBTTJOtPOJ[FNQFMPNFOPTVNBEBTEVBTSÈEJPs.
&YQMJDBPtFVSBDJPDÓOJo.
AEBQUBEPEFProva de Aferição de Matemática – Prova C
12%
3 Observa a ﬁgura, da qual se sabe que:
tBDJrDVOferÐODJBtem DFOUrPOPQPOto A;
tD, E, C e F TÍPQPOtPTEBDJrDVOferÐODJB
t os arDos NFOPres CF e DE têm, rFTQFUJWBNFOte, 100o e 91o de
BNQMJUVEF
tPÉOHVMPEFC tem 29o EFBNQMJUVEe.
DetFSNJOB as BNQMJUVEFT dos ÉOHVMPT a, b, q e e. +VTUJmDB a tua
rFTQPTUB
128
100o
F
29o
q
b
C
A
e
a
D
91o
E
4 Determina a área de cada um dos polígonos regulares.
9%
4.1.
4.2.
9%
7,5 cm
10 m
5,1 cm
5 Observa a ﬁgura ao lado. Sabe-se que:
tBDJrcunferência tem centro no ponto A;
tE e D são pontos da circunferência;
t as retas r e s são tangentes à circunferência
em E e em D;
tE e G são pontos da reta s;
tD e F são pontos da reta r.
8%
8%
D
83o
A
s
F
149o
r
G
5.1. Calcula a soma das amplitudes dos ângulos internos do pentágono.
E
5.2. Determina a amplitude, em graus, do
arco menor ED. Justiﬁca a tua resposta.
t
s
E
C
6 Da ﬁgura ao lado, sabe-se que:
tBDJrcunferência tem centro no ponto A;
tI, H, E, C, D e G são pontos da circunferência;
tBreta r é tangente à circunferência em E;
tBTretas t e s são paralelas.
H
D
6.1. Justiﬁca que:
3%
a) a reta s é um eixo de reﬂexão da circunferência;
3%
b) os arcos EC e DG são congruentes;
3%
c) o trapézio ECDG é isósceles;
3%
d) o triângulo GEF é retângulo.
A
41o
19o
F
r
I
G
4%
6.2. Determina, em graus, a amplitude do ângulo HAE.
4%
6.3. Determina, em graus, a amplitude do arco IH.
4%
6.4. Sabendo que A–H = 10 cm, determina, em cm, o comprimento do arco GI.
129
UNIDADE 5
Números reais. Inequações
Testar
6%
1
As duas primeiras colunas da tabela seguinte já se encontram preenchidas. Completa as restantes colunas.
p
0,(23)
–√∫7
√∫9
–
5
2
8
2
–12
–0,13
N
Z
Q
R
2%
X
X
X
5
2 Indica um número irracional menor do que 3 e maior do que .
2
3%
{
}
1
3 Considera o conjunto A = –3,5; ; √∫1∫09∫ ; 2,(45) . Qual dos números do conjunto A corres7
ponde a uma dízima inﬁnita não periódica?
Teste Intermédio de Matemática, 9.o Ano, 11/05/2009
3%
4 Considera o conjunto S =
mero irracional?
{√∫ 14 , √∫ 641 , √∫27∫ , √∫27∫ }. Qual dos números do conjunto S é um nú3
3
Teste Intermédio de Matemática, 9.o Ano, 11/05/2009
5 Sem recorrer à calculadora, mostra que:
4%
4%
4%
15%
5.1. (3 – √∫7 )(3 + √∫7 ) – p = 2 – p
5.2. (5 + √∫2 )2 – (3√∫2 + 4) = 23 + 7√∫2
5.3. 3√∫5 – (2√∫5 + √∫16
∫ ) – √∫5 = –4
6 Na ﬁgura estão representados um triângulo equilátero, assinalado a azul; um quadrado, assinalado a vermelho; e um triângulo retângulo, assinalado a verde.
Indica as abcissas dos pontos W, Z, U e S.
7 Indica um valor aproximado:
130
3%
7.1. de 2p + √∫3, por defeito, com erro inferior a 0,1;
3%
7.2. de √∫7 – 2, por excesso, com erro inferior a 0,01.
8 Completa os espaços utilizando os símbolos < , > ou =, de modo a obteres aﬁrmações verda1%
deiras.
1%
∫ ___ 3,316
8.1. √∫11
8.2. √∫1∫1 ___ 3,317
8.3. √∫1∫1 ___ 3,31662479
1%
4%
9 Indica dois números irracionais, m e n, de tal modo que m < –p < n < √∫2.
10 Indica:
3%
10.1. todos os números inteiros que pertencem ao intervalo ]–√∫6∫5, –3];
3%
10.2. o maior número inteiro pertencente ao intervalo ]–∞, –10[;
3%
10.3. um número irracional pertencente ao intervalo ]√∫1∫1, √∫1∫2 [.
x
2(x – 1)
.
11 Considera a inequação 1 – ≤ –
8%
2
3
11.1. Resolve a inequação, apresentando o conjunto-solução na forma de um intervalo de
números reais.
4%
11.2. Indica o menor número inteiro que não é solução da inequação.
8%
12 Na ﬁgura estão representados o retângulo ABCD e o triângulo EFG, retângulo em G.
Determina os valores de x de modo que a área do triângulo EFG não seja inferior à área do retângulo ABCD.
7%
13 Na última assembleia-geral, o presidente do clube
de futebol do Bairro da Alegria apresentou as condições para a aquisição de bilhetes para os jogos
em casa:
BILHETE
DE FUTEBOL
tPTOÍPTØDJPTQBHBNȽQPSCJMIFte;
t cada TØDJP paga 2 Ƚ por bilhete. A inscrição
cPNPTØDJPDVTUBȽ
O Filipe assiste a todos os jogos em casa. Qual é o número mínimo de jogos que o clube de
futebol do Bairro da Alegria tem de realizar em casa, para que compense ao Filipe tornar-se
TØDJPEPDMVCF 10%
14 Representa em extensão o seguinte conjunto.
{
A = x å Z: 2
( 3x – 1) > 3x2– 1 ‹ 2x + 4 ≥ –12}
131
UNIDADE 6
Trigonometria no triângulo retângulo
Testar
6%
C
1 Determina a área e o perímetro do triângulo da ﬁgura, indicando os
resultados arredondados às décimas.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.
40o
A
6%
B
8m
2 A determinada hora do dia, os raios de sol incidem sobre um local plano com uma inclinação
de 30o em relação à horizontal. Nessa altura, um pinheiro apresenta uma sombra de comprimento 18 metros. Determina a altura do pinheiro, com aproximação às décimas, apresentando
todos os cálculos que efetuares.
6%
3 Acerca do triângulo retângulo ABC, sabe-se que:
C
4
tTFO a = tA–C = 21 cm.
7
Determina o perímetro e a área do triângulo ABC, com aproximação às décimas.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.
4%
a
B
A
4 Na ﬁgura está representado o triângulo retângulo ABC. Qual das
C
seguintes equações pode ser utilizada para determinar o comprimento do segmento de reta AB?
4
[A] cos34o =
A–B
[B] cos34o = A–B
4
4
[C] tg34o =
A–B
[D] tg34o = A–B
4
7
34o
A
5 Sabendo que cos a = √∫2 e que a é um ângulo agudo, determina o valor de:
4%
5.1. 1 + tg2a
2
5.2. 2 sena – tga
4%
6 Mostra que:
4%
6.1. cosa ¥ tg a – sen a = 0
6.2. cos2a(1 + tg2a) = 1
4%
6%
7 Veriﬁca se existe um ângulo b, tal que senb = √∫2 e cosb = √∫3 . Explica o teu raciocínio.
2
8 Indica o valor de b em cada uma das seguintes expressões.
4%
132
4%
8.1. sen15o = cos b
8.2. senb = cos 45o
4
B
9 Na ﬁgura pode observar-se o triângulo ABC, retângulo em B.
B
27
9
A
D
C
Sabendo que BD é a altura do triângulo referente à hipotenusa, determina, com aproximação
às centésimas:
4%
9.1. o cosseno do ângulo DAB;
9.2. a amplitude do ângulo DAB;
4%
9.3. a medida de B–C.
4%
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.
10 Na ﬁgura está representada uma circunferência de centro A e
diâmetro EB. Sabe-se que:
tDĈB = 39º;
C
tD–B = 10 cm.
4%
10.1. Determina a amplitude do ângulo DEB.
4%
10.2. Prova que o triângulo EBD é retângulo.
4%
10.3. Determina o comprimento do raio da circunferência,
com aproximação às décimas.
4%
10.4. Determina o comprimento do arco DB, com aproximação às décimas.
39o
A
E
B
10 cm
D
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.
8%
11 Determina a área do triângulo, indicando o resultado arredondado às centésimas.
35o
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais.
20o
19 cm
7,2 cm
12 Em relação à ﬁgura, sabe-se que:
tC, B, H, E, D e G são pontos da circunferência de centro A e
diâmetro GH.
tDE//GH e GH//CB;
tD–E = C–B;
tCÂB = 68o.
tG–H = 7,2 cm;
6%
12.1. Determina a área da zona limitada pela linha vermelha.
6%
12.2. Determina o comprimento da linha vermelha.
Nota: Sempre que procederes a arredondamentos, conserva três
casas decimais.
D
E
A
G
H
68o
C
B
133
UNIDADE 1 Probabilidades
Testar
1 Num saco existem vinte bolas, numeradas de 1 a 20. O André vai retirar uma bola ao acaso.
1.1. Determina a probabilidade de o número inscrito na bola ser:
a) o número 7;
b) um número par;
c) um divisor de 10;
d) um múltiplo de 3;
e) um número não inferior a 13;
f) um quadrado perfeito;
g) um cubo perfeito.
1.2. A probabilidade de o número inscrito na bola ser primo ou divisor de 20 é:
[A] 10%
[B] 20%
[C] 50%
[D] 60%
2 O Duarte faz coleção de moedas antigas e guarda-as numa caixa de madeira. As 48 moedas que possui encontram-se numeradas de 1 a 48.
2.1. Considera o acontecimento: A: “Tirar uma moeda
da caixa, ao acaso, e esta estar identificada com
um número não superior a 5”.
O acontecimento A é:
[A] certo.
[B] impossível.
[C] composto.
[D] elementar.
2.2. O Duarte retirou, ao acaso, uma moeda da caixa. Qual é a probabilidade de não estar identificada com o número 3? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
3 Uma arca frigorífica contém gelados de quatro sabores diferentes: morango, limão, framboesa e laranja. Retirando da arca um gelado, ao acaso, a
probabilidade de ser de morango é de 0,3; a probabilidade de ser de limão é de 10% e a probabi1
lidade de ser de framboesa é de .
2
Sabendo que existem dois gelados de laranja, indica, justificando, a quantidade de gelados existentes na arca.
134
4 Dentro de um saco opaco foram colocadas bolas brancas e bolas vermelhas. Existem cinco bolas
brancas e a probabilidade de se tirar uma bola vermelha, quando se tira, ao acaso, uma bola do saco
1
é de . Quantas bolas foram colocadas dentro do saco?
2
5 A direção de uma academia de música analisou as matrículas dos seus 300 alunos e verificou que, relativamente à disciplina de instrumento:
• 120 alunos estavam inscritos em piano;
• 200 alunos estavam inscritos em violino;
• 40 alunos não estavam inscritos nem em piano nem
em violino.
5.1. Constrói um diagrama que te permita organizar a informação. Apresenta todos os cálculos que
efetuares.
5.2. Ao escolher um aluno ao acaso, determina a probabilidade de esse aluno estar inscrito:
a) nas aulas de violino;
b) apenas nas aulas de piano;
c) nas aulas de violino e de piano.
6 Na figura está representada uma circunferência de centro E, inscrita no quadrado ABCD.
Escolheu-se, ao acaso, um ponto da figura. Sabendo que B–D = √8 cm, determina, com um erro inferior a uma centésima, a probabilidade de o ponto escolhido pertencer à zona sombreada da figura.
7 O Filipe efetuou vinte lançamentos de um dado, com as faces numeradas de 1 a 6. Em dez desses lançamentos ocorreu a face 3. Perante tal situação, o Filipe afirmou: “Este dado está completamente vi10
ciado. Neste dado, a probabilidade de ocorrer um 3 é de ”. Comenta esta afirmação.
20
135
UNIDADE 2 Funções
Testar
1 De duas variáveis x e y sabe-se que se x é 2, então y é 6. Escreve y em função de x e indica a constante
de proporcionalidade, sabendo que:
1.1. x e y são diretamente proporcionais;
1.2. x e y são inversamente proporcionais.
2 Qual das seguintes expressões representa uma função de proporcionalidade inversa?
[A] y =
x
3
[B] y =
3
x+2
[C] y × x = 12
[D] y = 7x
3 Na figura, pode observar-se a representação gráfica da função f.
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
-4
f
-5
Qual das seguintes expressões corresponde à função f?
[A] y = 2x2
[B] y = –2x2
[C] y = x2
[D] y = –x2
4 Representa graficamente a função g definida por g(x) = 2 .
x
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
0
-1
-1
-2
-3
-4
136
1
2
3
4
x
5 Todas as noites, antes de se deitar, o Filipe toma um copo de leite quente. Sabe-se que o tempo que o leite
demora a aquecer, no micro-ondas, é inversamente proporcional à potência utilizada. Com uma potência de 300 watts, o aquecimento do leite demora 1 minuto. Hoje, o Filipe quer aquecê-lo em 45 segundos.
Para que potência deve estar regulado o micro-ondas? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
6 O Cristiano é funcionário de uma estação de serviço onde o Daniel, a Beatriz e o Carlos abastecem,
normalmente, o seu automóvel.
6.1. Numa determinada semana, o preço do litro de gasolina variou diariamente. Nessa semana, o
Cristiano ficou responsável por efetuar um estudo acerca da relação entre o preço do litro de gasolina e o número de clientes da estação de serviço.
Dia da semana
Preço do litro de gasolina (€)
N.° de litros vendidos
Segunda-feira
Terça-feira
Quarta- Quinta-feira
-feira
1,529
1,492
1,4
532
545
610
Sexta-feira
Sábado
Domingo
1,5
1,521
1,438
1,445
569
540
589
579
O Cristiano concluiu que o número de litros de gasolina vendidos era inversamente proporcional ao preço do litro de gasolina. Concordas com o Cristiano? Porquê?
6.2. O Daniel vai abastecer o depósito do seu automóvel. Admite que o número de litros de gasolina que o Daniel introduz no depósito em t minutos é dado por = 33t.
a) O depósito do automóvel do Daniel tem 71 litros de capacidade. Quando ele vai abastecer o depósito, o computador de bordo indica-lhe que o depósito ainda tem 5 litros de gasolina. Quantos minutos vai demorar o Daniel a encher o depósito, se nunca interromper o abastecimento?
b) A relação entre e t é uma relação de proporcionalidade direta, sendo 33 a constante de proporcionalidade. Explica o significado desta constante, no contexto do problema.
6.3. Na mesma estação, a Beatriz e o Carlos abasteceram os seus carros. A determinada altura,
o Carlos interrompeu o abastecimento para
verificar quanto dinheiro trazia na carteira.
Em seguida, retomou o abastecimento. Na figura estão representadas graficamente duas
funções, que representam o número de litros
de gasolina introduzida por cada um no depósito do seu carro, t segundos depois de
terem iniciado o respetivo abastecimento.
a) Uma das funções representadas graficamente na figura é uma função de proporcionalidade
direta. Indica a constante de proporcionalidade dessa função.
b) Determina quanto pagou o Carlos no final do abastecimento, sabendo que o preço de cada
litro de gasolina é de 1,480 € e que beneficiou de um desconto de 5%. Apresenta o resultado
em euros, com duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.
Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2011 – 1.ª chamada e 2.ª chamada
137
UNIDADE 3 Equações
Testar
1 Escreve uma equação do 2.° grau:
1.1. completa;
1.2. incompleta, mas que admita termo em x;
1.3. que admita duas soluções distintas;
1.4. que admita uma única solução;
1.5. que seja impossível;
1.6. que admita –5 e 0 como soluções.
2 Considera a equação –2x2 – 4x = –6.
2.1. Identifica os coeficientes de cada um dos termos da equação.
2.2. Através do cálculo do binómio discriminante, o que podes concluir acerca do número de soluções da equação anterior?
2.3. Confirma a resposta dada na alínea anterior resolvendo a equação.
3 Resolve as seguintes equações.
3.1. 3(x2 + x) = 1 – x – x2
3.2. 3x2 + 10x = (x + 4)2 – 4
3.3.
x2 + 3x
=7+x
5
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
4 O produto da idade atual da Mafalda pela idade que terá daqui a 7 anos é 228. Quantos anos tem a
Mafalda?
5 Na figura encontra-se representado um retângulo ABCD com 48 dm2 de área e um retângulo DEFG.
6 dm
E
A
D
x dm
F
G
x - 1 dm
3 dm
B
Determina a área do retângulo DEFG. Explica o teu raciocínio.
138
C
6 Determina o(s) valor(es) de k que transforma(m) cada uma das seguintes equações em equações
com uma única solução.
6.1. x2 – 3x + k = 0
6.2. –kx2 – 5x = 2k, k ≠ 0
7 Na figura encontram-se representados um retângulo ABCD e um quadrado EFGH.
Sabe-se que:
• o retângulo ABCD tem 24 cm2 de área;
• o comprimento do retângulo ABCD é
3
do comprimento da sua largura;
4
• os polígonos representados têm a mesma área.
7.1. Determina o comprimento e a largura do retângulo ABCD.
7.2. Determina o perímetro do quadrado. Explica como pensaste.
8 A Arcada de Braga remonta ao século XVIII. Este ex-líbris da cidade minhota foi edificado junto à velha mu-
ralha medieval, mas foi apenas no final do século XIX que ficou com o aspeto que atualmente conhecemos. Hoje é um local central, apelativo, animado por múltiplos cafés e uma praça fechada ao trânsito,
repleta de fontes e jardins.
Na figura ao lado encontra-se um modelo de um dos arcos do referido monumento. Como podes observar, o arco encontra-se assente em dois pilares
com a mesma altura. A altura do arco, a x metros de distância do pilar da
esquerda, é dada, também em metros, pela expressão:
h (x)
h(x) = –x2 + 8x + 40
8.1. Determina a altura dos pilares da arcada.
x
8.2. Determina a largura do arco. Explica o teu raciocínio.
139
UNIDADE 4 Circunferência
Testar
1 Na figura está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um hexágono
regular ABCDEF.
Relativamente à figura, sabe-se ainda que:
• a circunferência tem 4 cm de raio;
• o triângulo DOC tem 4 3 cm2 de área.
1.1. Utilizando material de desenho, constrói a circunferência inscrita no triângulo DOC. Num pequeno relatório, explica como procedeste.
1.2. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo:
a) DOC?
b) CDO?
c) FAB?
1.3. Seja r a reta tangente à circunferência em A. Seja P um ponto dessa reta, diferente de A. Indica,
justificando, a amplitude do ângulo OAP.
1.4. O arco menor DF é congruente com o arco menor AC? Explica o teu raciocínio.
1.5. Descreve o lugar geométrico dos pontos pertencentes à região sombreada.
1.6. Calcula a área da região sombreada. Apresenta todos os cálculos que efetuares e escreve o resultado arredondado às unidades. Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais.
1.7. Determina, em centímetros, o comprimento do arco ABD.
1.8. Seja P o ponto de interseção dos segmentos AC e BF. Explicando o teu raciocínio, determina a
amplitude do ângulo APF.
1.9. Determina a amplitude de cada um dos ângulos externos do hexágono ABCDEF.
1.10. Considera a rotação de centro O e amplitude 240° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Tendo em conta esse rotação:
a) qual é a imagem do ponto D?
b) qual é a imagem do triângulo ODC?
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 2010
140
2 O Rui vai visitar com os seus pais alguns concelhos do distrito do Porto. O mapa da figura representa
esse distrito.
N
Póvoa de
Varzim
Vila do Conde
Felgueiras
Trofa
Santo Tirso
Paços de
Ferreira
Maia
Penafiel
Valongo
Matosinhos
Amarante
Paredes
Marco de Canaveses
Porto
Vila Nova
de Gaia
Gondomar
20 km
10 km
0
30 km
Os pais do Rui vão visitar o Porto e Paredes. Pretendem ficar alojados num local que se situe a menos
de 20 km de Paredes e que seja mais próximo do Porto do que de Paredes.
Sombreia a porção do mapa relativa à zona onde os pais do Rui deverão ficar alojados.
Utiliza material de desenho e de medição.
Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.
Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2009 – 1.ª chamada
3 Na figura está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um triângulo regular
ABC.
A
F
151°
D
β
30°
O
C
E
α
B
Determina:
3.1. a amplitude, em graus, do arco menor BC;
3.2. as amplitudes, em graus, dos ângulos α e β.
141
UNIDADE 5 Números reais. Inequações
Testar
1 Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
[A] –2 ∈ N
[B] π ∈ Q
[C] 9 ∈ Z
[D] –π ∈ Q+
2 Indica um número pertencente a Q mas que não pertença a R–.
3 Qual das opções seguintes corresponde a um número racional?
[A] π
[B] π + 4
[C] 3
[D]
144
4 Sabe-se que um cilindro com 300 cm3 de volume tem 4 cm de altura. Determina um valor aproximado
às décimas, por excesso, do comprimento do raio da base. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
5 Seja z um número real de tal modo que -3 < z < 4. Então:
[A] –18 < –5z + 3 < 17
[B] –3 < –5z + 3 < 4
[C] –17 < –5z + 3 < 18
[D] –18 ≤ –5z + 3 ≤ 17
6 Escreve uma inequação cujo conjunto-solução seja ]–∞, 12].
7 Qual é o menor número inteiro que satisfaz a inequação x + 2 f x 5 ? Apresenta todos os cál4
culos que efetuares.
8 Indica:
8.1. o maior número inteiro compreendido entre –4π e 2 ;
8.2. o menor número inteiro pertencente ao intervalo ]–π, 12[;
8.3. o menor número inteiro pertencente ao conjunto B = {x ∈ N: –3 ≤ x < 11}.
9 Considera o conjunto B = ]–∞, 6]. Qual das igualdades seguintes é verdadeira?
142
[A] B = ]–∞, 4] ∪ [5, 6]
[B] B = ]–∞, 4[ ∪ [5, 6]
[C] B = ]–∞, 4[ ∪ ]4, 6[
[D] B = ]–∞, 4[ ∪ [4, 6]
10 Considera os conjuntos A = [–5, 4], B = ]–3, +∞[ e C = ]–∞, π].
10.1. Indica um número que pertença:
a) ao conjunto A, mas que não pertença ao conjunto B;
b) simultaneamente aos conjuntos A e C.
10.2. Existe algum número que não pertença a nenhum dos conjuntos? Explica o teu raciocínio.
10.3. Determina:
a) A ∩ B
b) B ∪ C
11 Sem recorrer à calculadora, mostra que
(
c) (A ∪ B) ∩ C
11 − 3) + ( − 2 3 ) = 32 − 6 11.
2
2
12 Resolve, em R, a conjunção de condições seguinte.
−
2x − 5
+ 3 < − 2 x ∧ 3( x − 1) < − 2 x
3
13 Determina os valores de x de modo que a área do retângulo
ABCD, representado na figura, seja superior a 18 cm2, mas
não seja inferior a 33 m2.
x cm
A
D
3 cm
B
C
14 Num determinado dia, às 17 horas, a temperatura registada era de 26 °C. No dia anterior, à mesma
hora, a temperatura era de 24 °C. Que temperatura deverá fazer no dia seguinte à mesma hora, para
que a média das temperaturas destes três dias, às 17 horas, não seja inferior a 27 °C?
15 O Duarte é cinco anos mais velho do que a sua irmã. Sabendo que a soma das idades dos dois é, no
máximo, 25 anos, determina a idade máxima da irmã do Duarte.
16 O Pedro é gerente de uma fábrica de queijos. Mensalmente, esta
fábrica apresenta custos fixos no valor de 25 000 €, aos quais acrescem 1,2 € por cada queijo produzido. Toda a produção mensal
desta fábrica é vendida, a 4 € por unidade, a uma cadeia de hipermercados que os comercializa em exclusividade. Determina o
número de queijos que a fábrica deve produzir de modo que,
mensalmente, não tenha prejuízo. Explica o teu raciocínio, apresentando todos os cálculos que efetuares.
143
UNIDADE 6 Trigonometria no triângulo retângulo
Testar
1 Observa o triângulo ABC, retângulo em C. Determina a amplitude do ângulo θ, apresentando o resultado arredondado às décimas do grau.
2 Considera o triângulo retângulo DEF e parte de uma tabela trigonométrica. Utilizando a informação
fornecida pela tabela, determina, com aproximação às centésimas, o perímetro do triângulo.
40°
50°
sen α
0,6428
0,7660
cos α
0,7660
0,6428
tg α
0,8391
1,1918
3 A expressão cos2 x – 2 sen2 x é equivalente a:
[A] 3 cos2 x – 2
[B] 3 cos2 x + 2
[C] 3 sen2 x – 2
[D] 3 sen2 x + 2
2
4 Seja α a amplitude de um ângulo agudo. Mostra que sen α = 1 – cos α.
1 + cos α
5 Sabendo que α é um ângulo agudo e que cos α = 1 , podemos afirmar que:
3
[A] sen α =
12
e tg α =
3
8
[B] sen α =
12
e tg α =
3
[C] sen α =
8
e tg α = 12
3
[D] sen α =
8
e tg α =
3
3
8
6 Na figura está representado um cone com 18 cm de altura. θ é
o ângulo que uma das geratrizes do cone faz com o prolongamento de um dos raios da base. Determina o volume do cone,
indicando o resultado arredondado às décimas.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.
144
18 cm
θ = 140°
7 Os valores de w que verificam, simultaneamente, as condições sen α = w + 2 e cos α = – w são:
2
⎧
⎫
⎧
⎫
⎧
[A] ⎨ 0, 36 ⎬
⎩ 13 ⎭
3
[B] ⎨ –4, 36 ⎬
⎩
13 ⎭
⎫
⎫
⎧
[C] ⎨ 0, – 36 ⎬
⎩
13 ⎭
[D] ⎨ –4, – 36 ⎬
⎩
13 ⎭
8 Na figura está representada uma circunferência de centro A, com 3 cm de raio. Sabe-se que a reta CD
é tangente à circunferência e que ADC é um triângulo isósceles.
E
A
114°
3 cm
C
D
8.1. Determina o valor exato do comprimento do segmento de reta AD. Explica o teu raciocínio.
8.2. Determina a distância do ponto E à reta CD. Explica o teu raciocínio.
9 O Monumento dos Descobrimentos, vulgarmente conhecido por Padrão dos Descobrimentos, localiza-se na freguesia de
Belém, em Lisboa. Este monumento apresenta o formato de uma caravela, ladeada
inferiormente por duas rampas que se reúnem na proa e onde se destaca a figura do
infante D. Henrique. Ao longo das rampas
encontram-se 16 figuras de cada lado, que
representam uma síntese histórica de vultos ligados direta ou indiretamente aos
Descobrimentos.
90°
51°
31°
7,7
cm
www.padraodosdescobrimentos.egeac.pt – Acesso em 03/02/12
Na figura pode observar-se um pormenor deste monumento. Determina a altura da estátua do
infante D. Henrique, que encabeça a comitiva representada pelas personagens. Apresenta o resultado
arredondado às unidades.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.
145
146
Provas globais
De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais relativas
aos conteúdos estudados no 9°. ano, para que possas testar os teus
conhecimentos antes dos testes e da prova ﬁnal de ciclo que irás realizar no final do 9°. ano de escolaridade.*
As provas são precedidas de 3 tabelas com a identiﬁcação do conteúdo abordado em cada questão, para te ajudar a identiﬁcar os conteúdos a que cada item se refere.
* Convém relembrar que para preparares a prova ﬁnal de ciclo terás também de rever conteúdos estudados nos 7°. e 8°. anos.
147
Grelhas de conteúdos
Prova global 1
Unidade
Probabilidades
1.1
1.2
X
X
1.3 2.1. 2.2
2.3
3.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
6.1
6.2
X
X
7.
X
Funções
X
X
X
Equações
X
Circunferência
X
Números reais.
Inequações
X
X
X
X
Trigonometria no
triângulo retângulo
X
X
Prova global 2
Unidade
Probabilidades
1.1
1.2
1.3
1.4
a)
1.4
b)
X
X
X
X
X
Funções
2.1
2.2
2.3
X
X
X
3.
4.1
4.2
5.
6.
Equações
Circunferência
X
8.
X
X
9.
X
X
Números reais.
Inequações
X
Trigonometria no
triângulo retângulo
7.
X
X
Prova global 3
Unidade
2.2 2.2 2.2
2.2
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 a) a) a)
3. 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 7.1 7.2
b)
i) ii) iii)
Probabilidades
Funções
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Equações
X
Circunferência
X
Números reais.
Inequações
Trigonometria no
triângulo retângulo
148
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Prova global
1
1 A turma da Aurora, constituída por 12 rapazes e 14 raparigas, decidiu criar uma comissão de três alunos para organizar uma viagem de ﬁnalistas. Para tal, colocaram-se 26 papéis dentro de um saco
opaco, cada um contendo o nome de um dos alunos da turma. O Diretor de Turma seleciona, ao acaso,
um papel do saco, lê o nome do aluno escolhido e rasga o papel em causa.
Já foram selecionados ao acaso dois papéis, e o Henrique e o Manuel foram os eleitos.
1.1. Determina a probabilidade de a comissão, depois de formada, ser mista.
1.2. Determina a probabilidade de a Aurora também fazer parte dessa comissão.
1.3. Supõe que a Aurora também foi selecionada e os três eleitos vão tirar uma fotograﬁa sentados
num muro. Determina a probabilidade de a Aurora ﬁcar sentada no meio dos dois rapazes.
2 A comissão responsável por organizar a viagem e a
gerência do hotel onde vão ﬁcar alojados decidiram que
a melhor opção passava por isolar o piso ocupado pelos
alunos que participassem na viagem, de modo a não
incomodar o normal funcionamento do hotel. Assim, a
comissão comprometeu-se a assumir a despesa de
todos os quartos de um piso do hotel, independentemente de os ocupar, ou não. Esse custo será dividido
igualmente por todos os participantes na viagem.
Inicialmente, apenas 12 alunos estavam inscritos na viagem. Nessa altura, cada um deles teria de
pagar 281,25 € pelo alojamento.
2.1. Se se tivessem inscrito mais dez alunos, quanto passaria a pagar cada um deles pelo alojamento?
Explica o teu raciocínio.
2.2. Fechadas as inscrições, concluiu-se que cada aluno teria de pagar 135 € pelo alojamento. Quantos alunos se inscreveram na viagem? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
2.3. O piso reservado para a turma tinha 15 quartos. Sabendo que a turma ﬁcou alojada cinco noites, determina o preço do quarto, por noite, neste hotel.
3 Durante os dois primeiros dias da viagem de ﬁnalistas, as temperaturas máximas foram baixas e o Sol
esteve encoberto. O Francisco tinha apostado com um amigo que a média das temperaturas máximas dos três primeiros dias seria superior a 12 °C.
Determina os valores possíveis para a temperatura máxima do terceiro dia, sabendo que o Francisco
ganhou a aposta e que nos dois primeiros dias as temperaturas máximas foram de 8 °C e de 10 °C, respetivamente. Explica como pensaste, apresentando todos os cálculos que efetuares.
149
4 No preço da viagem de ﬁnalistas está incluída uma visita a um parque de diversões. A roda gigante
desse parque de diversões tem dez cadeiras, identiﬁcadas com as letras de A a J, com um lugar cada
uma. O esquema da ﬁgura representa a referida roda.
Sabe-se que:
tABCDEFGHIJ é um decágono regular
inscrito numa circunferência de centro K;
tAB e FG são segmentos de reta paralelos;
tK–I = 8 m.
4.1. Determina o comprimento, em decímetros, do arco IJ. Apresenta o resultado arredondado às
unidades.
4.2. Comenta a seguinte aﬁrmação: “A amplitude do ângulo FEK é igual à amplitude do ângulo KFE.”
4.3. Indica, justiﬁcando, a amplitude, em graus, do ângulo FED.
4.4. Considera o segmento de reta FC. Seja P o ponto de interseção desse segmento com o segmento
de reta ID. Indica, justiﬁcando, a amplitude do ângulo CPD.
4.5. Determina a área do decágono regular ABCDEFGHIJ. Apresenta os cálculos que efetuaste e
escreve o resultado arredondado às décimas.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.
5 Considera a equação 2(x – 2)2 = (x – 1)(x + 1) + 9.
Qual das seguintes equações é equivalente à equação anterior?
2x (x – 8) = 0
(x – 3)(x – 8) = 0
x2 – 8x = 0
x2 = 0
6 Considera a inequação < 3( x 4 ) < x 0 .
2
6.1. Resolve-a, apresentando o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais.
6.2. Indica o maior número inteiro que é solução da inequação.
7 Sendo _ a amplitude de um ângulo agudo, mostra que (sen _ – cos _)2 = 1 – 2 sen _ cos _.
150
2
Prova global
1 O Ricardo tem um restaurante. Na sua cozinha há alguns pacotes de natas cujo
prazo de validade termina hoje e outros cujo prazo termina daqui a uma
semana. Selecionando um pacote ao acaso, a probabilidade de o seu prazo de
validade terminar hoje é de 2 .
3
1.1. Qual é a probabilidade de o Ricardo selecionar um pacote
cujo prazo de validade termina daqui a uma semana?
1.2. Se o Ricardo tiver à sua disposição 15 pacotes de natas, quantos
estarão dentro do prazo de validade durante mais uma semana?
1.3. Se o Ricardo tiver à sua disposição 10 pacotes cujo prazo de
validade termina daqui a uma semana, quantos terminam
hoje o seu prazo de validade?
1.4. O Tiago, a Francisca, a Mariana e o Jorge foram almoçar ao restaurante do Ricardo e sentaram-se ao balcão. De quantas
maneiras diferentes se podem sentar se:
a) as raparigas ﬁcarem de um lado e os rapazes de outro?
b) as raparigas ﬁcarem juntas?
2 Quando o restaurante do Ricardo está cheio, o tempo de espera por uma refeição, em minutos, é
inversamente proporcional ao número de empregados de mesa que estão ao serviço. A tabela
seguinte relaciona as duas variáveis:
Número de empregados de mesa
1
2
Tempo de espera (em minutos)
40
a
2.1. Determina o valor de a.
2.2. Num determinado dia, um cliente esperou 10 minutos pela sua refeição. Quantos eram os empregados de mesa que estavam ao serviço?
2.3. Qual das seguintes fórmulas relaciona o tempo de espera pela refeição (t), em minutos, com o
número de empregados de mesa (n) ao serviço?
n
t = 40n
n = 40t
t = n = 40
t=
40
3 O Ricardo pretende efetuar obras no seu restaurante, dividindo-o em dois espaços distintos: um
espaço para fumadores e outro espaço para não fumadores, tal como a ﬁgura seguinte sugere.
22°
Área fumadores
Área não fumadores
31°
10 m
Qual das duas áreas ﬁcará maior? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas
decimais.
151
4 À porta do restaurante o Ricardo vai colocar uma placa luminosa circular, como se representa na ﬁgura.
C
4.1. Sabendo que A–C = 50 dm e que C ÂD = 122°, determina a
área da placa colorida a azul. Apresenta todos os cálculos
que efetuares.
Restaurante
do
Ricardo
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais.
4.2. Utilizando material de desenho, constrói a circunferência
que passa por A, C e D.
A
D
5 Escreve todos os números do conjunto Z pertencentes ao intervalo ]–3, /].
6 Resolve a seguinte inequação:
<
2x < 5
2 <( x 1)
3
Apresenta o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais.
7 Qual das seguintes equações é equivalente a x2 – 5x + 6 = 0?
4(3x – 2)x = 0
(x – 2)(3 – x) = 0
x2 – 4x + 4 = 0
3x2 – 6x = 0
8 Seja m um número real. Determina m de modo que a equação x2 – 2x + m = 0 tenha apenas uma solução. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
9 Na ﬁgura está representado um pentágono regular, ABCDE, e a reta CD. Sem usar material de desenho
e de medição, determina a amplitude do ângulo _, explicando o teu raciocínio.
152
3
Prova global
1 Uma companhia de teatro proﬁssional vai apresentar, na escola da Teresa, a peça “Auto da barca do
Inferno”. A companhia cobra 500 € pelo espetáculo, valor que será dividido de forma igual pelo
número de alunos interessados em assistir à peça. Seja p o valor a pagar por cada aluno e n o número
de alunos interessados.
1.1. No contexto da situação, qual é o signiﬁcado da expressão n = p?
1.2. Justiﬁca que as variáveis n e p são inversamente proporcionais.
1.3. De seguida, apresenta-se uma representação gráﬁca da função que relaciona o número de alunos interessados em assistir à peça (n) com o preço a pagar por cada um (p). Determina a e b.
p
50
(a, 40)
40
30
(20, b)
20
10
0
10
20
30
40
50
60
n
1.4. Auscultados todos os alunos, veriﬁcou-se que 125 estão interessados em assistir à peça. Destes,
42 são alunos de quadro de mérito, a quem a direção da escola, como prémio, decidiu pagar
30% do preço do bilhete. Determina o valor que a direção da escola vai despender. Explica o teu
raciocínio e apresenta todos os cálculos que efetuares.
2 A Associação de Estudantes aproveitou o dia da apresentação da peça para vender algumas das 400
rifas que fez para um sorteio. Apenas uma delas é premiada.
2.1. No dia da apresentação só seis alunos compraram rifas, e apenas uma cada um. Qual é a probabilidade de o prémio sair a um desses alunos? Apresenta o resultado na forma de percentagem,
arredondado às unidades.
2.2. Depois de vendidas todas as rifas, a Associação de Estudantes resumiu as vendas no quadro
seguinte.
A quem?
Encarregados de educação Alunos Professores Funcionários Extraescola
Data da
venda
Janeiro
52
10
151
15
27
Fevereiro
24
2
60
14
45
a) Qual é a probabilidade de o prémio sair a:
i) um encarregado de educação que comprou a rifa em janeiro?
ii) um professor?
iii) alguém que comprou a rifa em fevereiro?
b) Sabe-se que a rifa premiada foi adquirida em janeiro. Qual é a probabilidade de o prémio sair
a um funcionário?
1
14
29
15
17
255
255
17
153
3 Na escola da Teresa, para comemorar o Dia Mundial da Floresta,
a Associação de Estudantes decidiu plantar a árvore que se
encontra representada na ﬁgura. Veriﬁcou-se que, quando os
raios de sol incidem no chão, segundo um ângulo de 40°, a
árvore projeta uma sombra de 160 cm.
Determina a altura da árvore. Indica o resultado em metros,
arredondado às centésimas.
4 Considera os seguintes números: /
7 <7
16 3 18 <
40°
1
3
De entre os números anteriores, indica os que:
4.1. são inteiros;
4.2. pertencem a Q, mas não a N;
4.3. pertencem a R+;
4.4. são solução da inequação <
5 Sendo A = [–2, +∞[, B = ]–5, 5[ e C = {–10, 7}, determina:
5.1. A F B;
5.2. A E B;
5.3. A E C.
6 Na ﬁgura está representado o triângulo retângulo ABC. Determina:
6.1. o valor exato da área do triângulo. Explica o teu raciocínio e apresenta
todos os cálculos que efetuares.
6.2. a amplitude, em graus, do ângulo ACB. Apresenta o resultado arredondado às décimas.
7 Na ﬁgura seguinte está representada uma circunferência, de centro A.
Sabe-se que:
CD 63
ˆ 49
FGB
ˆ 57˚.
BFE
7.1. Comenta a seguinte aﬁrmação: “Como a reta BG é tangente à circunferência, então é perpendicular ao segmento de reta FB.”
7.2. Determina a amplitude, em graus, do arco DB. Explica o
teu raciocínio, apresentando todos os cálculos que efetuares.
154
3 x < 12
3 ) x < 10 .
5