Inicialmente vamos considerar poços de potenciais unidimensionais (2DEG) para confinar elétrons. O poço quadrado infinito não pode ser feito na prática, mas é um modelo freqüentemente usado. U(z) z O poço finito fornece uma melhor descrição de um poço de potencial real. 1 Nosso ponto de partida é a equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo 2 ħ 2 E V r0 2m Para algumas formas de V(r) têm-se muitas simplificações. A primeira aproximação a ser feita consiste em considerar a energia potencial de uma heteroestrutura de camadas semicondutoras como dependente apenas da coordenada z, normal às camadas, V rV z Isto inclui poços quânticos feitos de camadas alternantes de GaAs e AlGaAs e elétrons armadilhados em uma heterojunção dopada. 2 A equação de Schrödinger passa a ser escrita como 2 ħ 2m 2 2 2 2 2 V z x, y, zE x, y, z 2 x y z A energia potencial V(z) permite que o elétron se mova livremente ao longo do eixo x e y. As funções de onda seriam ondas planas se não houvesse potencial em todo ele. Portanto, sugerimos como solução manter as ondas planas ao longo dos eixos x e y, e escrevemos a função de onda na forma x, y, zexp ik x xexp ik y y u z Podemos substituir a equação de onda escrita desta maneira na equação de Schrödinger e obter uma equação de Schrödinger puramente unidimensional. 3 2 ħ 2m 2 2 2 V z exp ik x x exp ik y y u zE exp ik x x exp ik y y u z 2 2 2 x y z 2 2 2 ħ k 2y ħ k 2x ħ d2 V z u zE. u z 2m 2m 2m dz 2 2 2 ħ ħ d 2 V z u z E 2m dz 2m 2 k 2x 2 ħ k 2y 2m Com uma substituição adicional para a energia 2 ħ E 2m 2 k 2x 2 ħ d 2 V z u z . u z 2m dz 2 ħ k 2y 2m ...que é uma equação de Schrödinger puramente unidimensional 4 u z Ao resolvermos a equação de Schrödinger encontraremos os níveis de energia en e as funções de onda un(z). Os três números quânticos kx, ky e n são necessários para rotular os estados, isto porque há três dimensões espaciais. Podemos reescrever os resultados de maneira mais compacta. k,n x, y, zexp ik. r . un z Relação de dispersão 2 ħ k2 En k n 2m 5 Para resolvermos a equação 2 ħ d2 2 V z u z . u z 2m dz Será necessário resolver a equação de Poisson e 2 V z 4 z 2 z Nd zN a zn z E F E n ze u z u z m kT ln 1 exp 2 kT ħ 6 Com as condições iniciais u(z) e V(z) Com as novas funcões de onda calcula-se a densidade eletrônica E E n ze u z u z m kT ln 1 exp F 2 kT ħ Com o novo potencial resolve se Schrödinger e obtém-se novas funções de onda Resolve-se Schrödinger 2 2 ħ d 2 V z u z . u z 2m dz Com a nova densidade eletrônica calcula-se Poisson e N 2 V z 4 zn z d zN a 2 7
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