SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
O método que utilizamos para calcular os níveis eletrônicos desse
sistema consiste inicialmente em resolver a equação de
Schrödinger dependente do tempo através do uso da técnica
chamada Split Operator, que iremos detalhar. Esse método foi
usados inicialmente em dinâmica molecular e foi posteriormente
adaptado para uso na matéria condensada.
Este método consiste em se resolver a equação de Schrödinger
dependente do tempo, escrita da forma a seguir


z, t
iħ
H 
z, t

z
2
P
H
V
z
2m
1
Cuja solução é dada por

z, t dtexp i
ħ
t
t
dt
H. dt  
z, t
Como o Hamiltoniano não depende do tempo

z, t dtexp iH. dt
ħ

z, t  
z, t dtexp i. dt
ħ
V
z P 2
V
z


2
2m
2

z, t
O método Split-Operator consiste na quebra do operador
exponencial acima na forma mostrada abaixo
i. dtV
z

z, t dtexp 
exp
2ħ
i. dtP 2
2mħ
i. dtV
z
exp 

z, t
2ħ
e ABA e A e B e A  se A e B satisfazem as relações de comutação:


0
A, 
A, B
B, 
A, B
2
Com esta aproximação introduz-se um erro da ordem de dt3 devido à
não comutatividade entre os operadores energia cinética e potencial.
2
i. ħdt 
i. dtV
z
i. dtV
z

z, t dtexp 
exp
exp


z, t
2
2m

z
2ħ
2ħ
i. dtV
z

z, t dtexp 

z, t
2ħ
2
. ħdt 

z, t dtexp i

z, t dt
2m 
z2

Eq. ( 1 )

e finalmente,
i. dtV
z

z, t dtexp 

z, t dt
2ħ
3
Devemos aplicar uma componente de cada vez. Chamando
2
iħ 

2m 
z2
o operador energia cinética poderá ser escrito como
2
.ħ 
exp i
dt
2m 
z2
O erro
cometido é de
ordem 3
2 2
3 3

dt

exp
dt1 dt 
 dt 
...
2!
3!
2 2
2 2
1 dt dt  dt  dt O
dt 3 
2
2
4
4
2 2

dt

dt

 1
1
 dt O
dt 3 
2
2
4
 1 dt
2
2
.ħ 
exp i
dt
2
2m 
z
1  dt
2
 1 dt
2
1
1  dt
2
1
Eq. ( 2 )
4
Substituindo a Equação (2) na Equação (1)
1  dt 
z, t dt 1 dt 
z, t dt
2
2
1
2
2
iħdt 
iħdt 


z,
t

dt
1


z, t dt
2
2
4m 
4m
z

z
Vamos reescrever a equação acima chamando

iħdt
2m
  

1  

z,
t

dt
1

z, t dt
2
2
2
2
z

z
2
2
Eq. ( 3 )
5
O lado direito da Equação (3) é conhecido, e desejamos calcular
(z,t +dt) através do algorítimo de Thomas usando o esquema de
diferenças finitas não-uniforme (EDFNU).
Para isso vamos escrever a derivada segunda no EDFNU


fi 
2f i1
2f i
2f i1


 i1 
 i1  i   i1  i  i 
 i1  i 
Eq. ( 4 )
Substituindo a Equação (4) na Equação (3) ficamos com
2i1
2i
2i1
2i1
2i
2i1
i  


i 


2  i1  i1  i   i1  i  i  i1  i 
2  i1  i1  i   i1  i  i  i1  i 
2i1
2i
2i1
i  i 


2  i1 
 i1  i   i1  i  i 
 i1  i 
6
i  
2

2i1
2i
2i1


i
 i1 
 i1  i   i1  i  i 
 i1  i 
i1  1  
 i1  i
 i
 i1  i 
i 

i1 i
 i1 
 i1  i 
Em notação matricial
 Mi,j j j
j
 1  i1  i , se j i

Mi,j 
, se j i 1
 i
 i1 
i

, se j i 1
 i1 
 i1 
i
0, outros valores de j
7
Resolvemos agora um sistema linear cuja matriz associada é uma
matriz tridiagonal. Para resolver este sistema (A.x = b) vamos usar
o algorítmo de Thomas.
i1

i1 i1

b i b i  i1 b i1
i1
b i x i1
xi  i
i
i  i 
xN 
bN
N
A
?
1 1
1
2 2
2
3 3
:
:
:
:
:
:
N1 N ?
e finalmente,
i. dtV
z

z, t dtexp 

z, t dt
2ħ
8