18.06 Conjunto de Problemas n.° 5 – Soluções
Problema 1. Se uma parábola se ajustar aos dados exatamente, nós teremos uma solução
(v1 , v2 , v3 ) ao sistema.
Uma vez que esse sistema está super determinado, buscamos o vetor
) que mais
se aproxima da solução para esse sistema em termos de quadrados mínimos. Então a parábola de
quadrados mínimos será y = B + Cx + Dx2 . Sabemos que o vetor satisfaz a equação normal
Aqui, A indica a matriz 4 x 3 acima, e b = (2, 5, 7, 1). Temos
Resolvendo-se o sistema chegamos a
.
Problema 2. (a) A linha para os dados europeus é y = C + Dx, onde o vetor
satisfaz
, com
=
Resolvendo-se o sistema, obtemos
Para os dados da América do Norte usamos a mesma matriz A com b = (317, 474, 816, 1101), o
que nos dá
(b) Usando-se a linha
, nós substituímos em x = 30 correspondendo ao ano de
2000 e obtemos y = 726,5 como despesas estimadas.
(c) Certamente, espera-se que a diferença em despesas aumente significativamente, já que a
inclinação da linha para América do Norte é mais que duas vezes aquela da Europa.
Problema 3. Para mostrar que S é linearmente independente, suponha que há constantes c 1 , ...cn
tais que
Agora, como S é um conjunto ortogonal, sabemos que v i . vj = 0 para i ≠ j e v i . vi ≠ 0 (1≤ i, j ≤
n). Daí, para cada i entre 1 e n temos
1
Portanto
com todos os termos do lado esquerdo desta equação zero, exceto o i-ésimo termo. Por isso, a
equação se reduz a
. Uma vez que v i . vi ≠ 0, precisamos ter ci = 0. Portanto,
vemos que se
Então c1 = c2 = ... = cn = 0, e o conjunto S é linearmente independente.
Problema 4. (a) Sejam v 1 , ...vn as colunas de B, e escreva
Precisamos demonstrar que o conjunto
isso, considere
com 1 ≤ i, j ≤ n. Temos
.
é ortonormal. Para fazer
Agora, uma vez que A é ortogonal, ATA = I, e
. Mais ainda, como B é
ortogonal e os vetores v 1 , ...vn são suas colunas, temos
se i ≠ j e
= 1 se i = j.
Portanto, S é um conjunto ortonormal. Como S consiste das colunas da matriz AB, essa matriz é
ortogonal.
Prova alternativa: A matriz quadrada C é ortogonal se e somente se CTC = I (Conjunto de
problemas n.º 4). Agora, (AB)T(AB) = BTAT AB. Como A e B são ortogonais,
ATA – I e BTB = I. Por isso (AB)T AB = BT AT AB = BT IB = BT B = I, e AB é ortogonal.
(b) Uma vez que det(A) = det (AT) e AAT = I, temos det(AAT) = det (A)det(AT) = det(A)2 = 1.
Portanto det(A) e ou 1 ou –1.
Problema 6. Usando as operações linha temos:
2