Exame A
1
UNIVERSIDADE DO ALGARVE-FCT
Exame Final
Exame A
ALGA- 2004/05
Nome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . No . . . . . . . . . . . . . . . . . 20/01/2005- Das 9h00 às 11h30
2
3
1 1 1 2 1
1. Seja A = 4 1 1 2 2 0 5 : Preencha as seguintes matrizes de modo a obter a…r1 1 2 1 1
mações verdadeiras:
2
3
1 1 1 2
1
1 5
(a) Uma forma de escada da matriz A pode ser 4 0 0 1 0
0 0 0 1
1
2
3
1 1 0 0
4
1 5:
(b) A forma condensada de A é 4 0 0 1 0
0 0 0 1
1
2
3
2
3
1 1 1 2 1
1 0 0
(c) Se A ! A0 = 4 1 1 2 2 0 5 então A0 = 4 0 1 0 5 A
0 0 1
1 0
1 0 1
2
0
2. Sejam A = 4 0
1
0
1
1
3
2
1
2 5eB=4
2
4
2
2
(a) A entrada (3; 2) de B 1 é 0: F alsa
2
3
16 4 4
(b) B 2 = 4 4 1 0 5 : F alsa
4 0 4
(c)
h
BAB > + B + O3
3
>
(B 1 )
(d) A é triangular inferior.
i
2
1
0
2
I3 = 4
F alsa
3
2
0 5 e as a…rmações:
2
2
0
2
0
1
2
3
4
0 5:
6
V erdadeira
A lista correcta das a…rmações verdadeiras é:
(a) e (c)
(b) e (d)
2
6
3. As soluções da equação det 6
4
x=
p
5; x =
p
5
(a),(b), (c) e (d)
x
0
1
5
1
1
0
1
0
1
1
0
x = 1; x =
3
1
0 7
7 = 0 são:
1 5
x
1
nenhuma das anteriores
x=
5; x = 5
x=0
Exame A
2
4. Seja A uma matriz tal que A
2
1
(a) O sistema AX = B é:
impossível
possível e indeterminado
3
2 3
1 0 3
1
4
5
4
= 4 5 0 e seja B = 0 5. Então:
0 1 0
1
Tem como única solução X =
Tem como única solução X =
4 4 0
4 5
>
:
>
2
:
(b) O determinante de A é:
0
1
12
12
8
< x+y+z =
x+z =
5. Considere o sistema
:
x + y + 2z =
1
:
+
+1
Complete de modo a obter a…rmações verdadeiras:
(a) O sistema é impossível se e só se
= 1;
qualquer.
(b) O sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação 1
se e só se = 1; qualquer.
(c) O sistema é possível e determinado se e só se
(d) Para
=0e
R.
=
6= 1 e
6= 1; qualquer.
3
2
3
1
1
1 a solução geral do sistema é: S = 4 1 5 + z 4 0 5 ; z 2
0
1
2
6. Sabendo que A e B são matrizes de ordem 3 tais que det (2 (AB)) = 24 , det(B) > 0
3
e det (AB 1 ) = 27; então:
det (A) = 4 e det (B) = 3
det (A) = 1 e det (B) = 3
det (A) =
3 e det (B) =
det (A) = 3 e det (B) = 1
7. Seja A uma matriz diagonalizável cujo polinómio característico é p (x) =
Complete as a…rmações:
x (1
(a) dim U1 = 2
(b) det (A) = 0
2
1
3
0 0 0
(c) A matriz 4 0 1 0 5 está nas condições do enunciado. (por exemplo)
0 0 1
x)2 :
Exame A
3
8. Considere F = f(x; y; z; t; w) 2 R5 : x
mações
y=0ew
t = 0g e a seguinte lista de a…r-
(a) F é subespaço vectorial de R5 :
(b) f(0; 0; 1; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1; 1)g é uma base de F:
(c) A dimensão de F é 1.
(d) f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1; 1)g é uma base de F:
Assinale a lista correcta das a…rmações verdadeiras:
(a) e (d)
(a) e (b)
(a),(c) e (d)
(b)
9. Complete as a…rmações
2
3
2 3
2 1 1
1
(a) A matriz 4 0 1 1 5, tem o vector próprio 4 0 5 associado ao valor próprio 2.
0 1 1
0
(b) V
=
f(x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 : x1 + x2 = 0 e 2x2 + x3 = 1g
não
é
subespaço
vectorial de R3 porque (0; 0; 0) 2
= V ou, alternativamente, porque x1 + x2 = 0 e
2x2 + x3 = 1 é um sistema de equações
2
1 3 4
6
6
(c) O espaço nulo da matriz A = 6 2 6 8
4
0 0 0
não homogéneo.
3
5
7
7
10 7 tem dimensão 3 porque car (A) = 1
5
0
e a dimensão do espaço nulo é n
car (A) em que n é o número de
colunas de A; neste caso 4.
10. Em R2 [x] ; considere as a…rmações seguintes:
(a) O sistema [2
x2 ; 2 + x; x; 1 + x2 ] é linearmente independente.
(b) [1; x; x2 ] é um sistema de geradores de R2 [x] :
(c) As coordenadas de
( 3; 0; 4)B :
3 + 4x2 em relação à base B = [1; 1 + x; 1 + x + x2 ] são
(d) [1 + x + x2 ; x + x2 ; x2 ] é uma base de R2 [x] :
Assinale a lista correcta das a…rmações verdadeiras:
(a) e (b)
(b) e (d)
(a) e (c)
(c) e (d)
Exame A
4
11. Considere em R3 o produto interno de…nido por
(x1 ; x2 ; x3 ) (y1 ; y2 ; y3 ) = 2x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 + x2 y3 + x3 y2
Relativamente a este produto interno, em cada alínea preencha os espaços a tracejado,
de modo a obter a…rmações verdadeiras:
(a) (1; 2; 3) (2; 1; 3) = 10:
p
(b) k(1; 2; 3)k = 35
10
(c) cos ] ((1; 2; 3) ; (2; 1; 3)) = p p
35 14
(d) Os vectores (1; 0; 1) e (0; 1; 1) são ortogonais.
12. Considere em R2 [x] o produto interno usual e sejam B = [1
2x2 ; x; 2 + x2 ] : Então:
(a) A base B é/ ortogonal (riscar o que não interessa).
1
1
p (1 2x2 ) ; x; p (2 + x2 ) não é a base canónica, mas é uma base
5
5
ortonormada de R2 [x].
(b) B1 =
13. Assinale o valor lógico de cada uma das seguintes a…rmações, indicando, no caso das
falsas, um exemplo comprovativo:
(a) Se A é uma matriz de ordem três com todos os elementos diagonais diferentes de
0 então A é invertível.
Verdadeira
2
1
4
1
Falsa
Exemplo:
1
diferentes de 0 e não é
3
1 1
1 1 5 tem todos os elementos diagonais
1 1
invertível porque tem característica 1.
(b) Se A é uma matriz quadrada de ordem n tal que det (A) = 0; então A tem duas
linhas iguais.
Verdadeira
Falsa
Exemplo:
1 2
2 4
tem determinante 0 e não tem duas linhas
iguais.
(c) Se um sistema de vectores de um espaço vectorial é linearmente dependente, então
qualquer vector do sistema se escreve como combinação linear dos restantes.
Verdadeira
Falsa
Exemplo: [(0; 0) ; (1; 2)] é linearmente dependente e (1; 2) não
é combinação linear de (0; 0) :
Exame A
5
(d) Se u; v e w são vectores de um espaço vectorial com produto interno tais que u é
ortogonal a v e v ortogonal a w, então u é ortogonal a w:
Verdadeira
Falsa
Exemplo: Em R3 com o produto interno usual, u = (1; 1; 0)
é ortogonal a v = (1; 1; 1) e v é ortogonal a w = (0; 1; 1), mas u não
é ortogonal a w porque u w = 1: