26
2.2 Produto Vetorial
Para definirmos o produto vetorial entre
dois vetores é indispensável distinguirmos
o que são bases positivas e bases
negativas. Para isso, consideremos uma
r
r r r
v
3
base do espaço {v1 , v 2 , v 3 } e um
observador. Este observador deve estar com
os pés em um plano que contém
r
r
r
v
B
2
representantes de v1 e v 2 (os dois
O
primeiros vetores da base), de modo que
r
r
v
1
v 3 (o terceiro vetor da base), esteja dirigido
A
para os seus olhos. Neste plano, sejam
→
→
r
r
OA = v1 e OB = v 2 .
Consideremos agora, a rotação de menor ângulo em torno de O, que torna o
r
vetor v1 ( o primeiro vetor da base)
r
com mesmo sentido do vetor v 2 ( o
segundo vetor da base). Se esta
r
rotação for no sentido contrário ao dos
v3
ponteiros de um relógio, dizemos que
a base é positiva. Caso contrário,
r
dizemos que a base é negativa.
v2 B
r r r
Assim, a base {v1 , v 2 , v 3 } , ilustrada
O
r
ao lado, é positiva.
v1
A
r r r
r r r
Observemos que as bases {v 2 , v1 , v 3 } e {v 3 , v 2 , v1} são negativas.
r
v3
r
v3
r
v2
r
v1
r
v2
r
v1
27
Chamamos atenção especial do leitor para o fato de que nem sempre o
observador está no mesmo semi-espaço que nós. Consequentemente, o
sentido da rotação que ele verá é contrário ao que nós vemos. Para ilustrar
este fato, desenhe em uma folha de papel dois vetores LI com a mesma
origem e considere uma rotação que torna um deles com mesmo sentido do
outro. A folha de papel pode ser considerada com um plano, assim, a folha
de papel divide o espaço em dois semi-espaços. Observemos então que, em
um desses semi-espaços vemos esta rotação com um sentido. Se mudarmos
de semi-espaço vemos esta rotação com um sentido contrário ao anterior.
r
v2
A observação anterior é útil na
identificação de bases positivas e
negativas, quando o observador não está no
mesmo semi-espaço que nós. Por exemplo,
r r r
ao analizarmos a base {v 2 , v1 ,− v 3 } vemos
a rotação no sentido horário, porém o
observador, por estar no semi-espaço
distinto do qual nos encontramos, vê esta
rotação no sentido anti-horário e portanto
esta base é positiva.
r
v1
r
− v3
Exemplos
r r r
Consideremos o sistema {O, i , j, k} representado a seguir, temos que:
r r r
r r r
r r r
1. As bases { i , j, k} , { j, k, i } e {k , i , j}
são positivas.
r r r
r r r
r r r
2. As bases { j, i , k} , { i , k, j} e {k , j, i }
são negativas.
r
k
r
i
r
j
O
28
r r
Definição: Sejam u e v vetores não colineares. O produto vetorial de
r
r
r r
u por v , indicado u × v , é um vetor, tal que:
r r
r r
r r
1. | u × v | = | u | | v | sen(u, v) ;
r r
2. A direção de u × v é ortogonal a um plano que contém representantes
r r
dos vetores u e v ;
r r r r
3. A base {u, v, u × v} é positiva.
r r
r r r
Se u e v são colineares então u × v = o .
Exemplo 2
r r
Sejam u e v vetores com representantes
r
r
r r
| u |= 2, | v |= 3 e (u, v) = 30º. Temos:
1
r r
r r
| u × v | = | u || v | sen 30º = 2 ⋅ 3 ⋅ = 3
2
e
no
plano
α,
onde
r r
u×v
r
v
α
1
r r
r r
| v × u | = | v || u | sen 30º = 3 ⋅ 2 ⋅ ⋅ = 3
2
r
u
30 º
r r
v×u
r r
r
r r r r
Assim, | u × v | = | v × u | , mas u × v e v × u são vetores opostos, como
ilustra a figura.
Exemplo 3
r r r
Dada a base ortonormal positiva { i , j, k} , temos :
r r r r r r r
1. i × i = j × j = k × k = o
r r r r r r r r r
2. i × j = k , j × k = i e k × i = j
r r
r r r
r r r
r
3. j × i = −k , k × j = − i e i × k = − j
29
Interpretação geométrica do produto vetorial
Consideremos o paralelogramo ABCD, abaixo.
C
D
Sabemos que
a área
paralelogramo é:
S = base × altura,
h
→
θ
A
desse
ou
seja
S = | AB | ⋅ h .
Do triângulo AMD, temos:
B
M
S
→
h =| AD | ⋅ sen θ .
→
→
→
→
Daí segue que, S = | AB | ⋅ | AD | sen θ =| AB × AD | .
Observamos também que a área T do triângulo ABD é:
→
→
| AB× AD |
T=
2
Exemplo 4:
Consideremos o paralelogramo ao lado, onde A(1,1,0), B(0,1,2) e C(4,1,0) ,
temos:
→
→
| AB | =| (− 1,0,2 ) |= 5 e | AD | =| (4,0,−2 ) |= 2 5
→
→
cos(AB, AD) =
→
→
AB ⋅ AD
→
→
| AB | ⋅ | AD |
→
→
sen(AB, AD) = 1 −
C
D
=−
8
4
=−
10
5
16
9 3
=
= .
25
25 5
Segue daí que a área S do paralelogramo ABCD é:
3
S = 5 ⋅ 2 5 ⋅ = 6 u.a.
5
A
B
30
Propriedades do produto vetorial
1.
2.
3.
r r
r r
u × v = - (v × u).
r r r
r
r r
( t v) × u = v × (t u) = t (v × u).
r r r r r r r
u × (v + w) = u × v + u × w.
r r
r
Nas propriedades acima, u, v e w são vetores quaisquer e t um número
real. As propriedades 1 e 2 decorrem diretamente da definição de produto
vetorial, e a prova da propriedade 3 será feita no parágrafo seguinte.
Expressão cartesiana do produto vetorial
r r r
Fixada uma base ortonormal positiva { i , j, k} e dados os vetores
r
r
u = ( x 1 , y1 , z1 ) e v = (x 2 , y 2 , z 2 ), temos:
r
r
r
r
r
r
r r
u × v = (x 1 i + y1 j + z1 k ) × (x 2 i + y 2 j + z 2 k ) =
r r
r r
r r
= ( x 1 x 2 ) i × i + (x 1 y 2 ) i × j + (x 1z 2 ) i × k +
r r
r r
r r
+ ( y1 x 2 ) j × i + ( y1 y 2 ) j × j + ( y1 z 2 ) j × k +
r r
r r
r r
+ ( z 1 x 2 ) k × i + ( z1 y 2 ) k × j + ( z 1z 2 ) k × k .
Podemos então escrever:
r
r
r
r r
u × v = (y1z 2 − z1 y 2 ) i + (z1 x 2 − x 1z 2 ) j + (x 1 y 2 − y1 x 2 ) k.
A expressão acima pode ser dada sob a forma de um determinante
“simbólico”:
r
r
r
i
j
k
r r
u × v = x 1 y1 z 1
x2 y2 z2
31
Exemplo 5
r
r
r
Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), temos :
r r r
i j k
r
r
r
r r
1) u × v = 1 2 3 = (4 − 3) i − (2 − 9) j + (1 − 6) k,
3 1 2
r r
Daí, u × v = (1,7,−5).
r r
i j
r r
2) u × w = 1 2
2 4
r
k
r
r
r
3 = (12 − 12) i + (6 − 6) j + (4 − 4) k .
6
r
r r
Daí, u × w = (0,0,0) = o.
Exemplo 6
Consideremos, na figura a seguir, os paralelogramos ABCD e ABC’C.
C
D
A
C’
B
Se S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD
respectivamente. Temos:
→
→
→
S =| AB× AD |
e
e
ABC’C,
→
S′ =| AB× AC |
Como
→
→
→
→ →
→
→
→
→
→
→
r → →
| AB× AC | = | AB × (AB + BC) | =| AB× AB + AB × BC | =| o + AB× AD | = | AB× AD | ,
→
→
→
→
podemos concluir que: S = | AB× AD | = | AB× AC | = S′ .
32
Considerando T a área do triângulo ABC temos:
→
→
→
→
→
→
| AB × AC | | AB × BC | | AC × BC |
T=
=
=
2
2
2
Exemplo 7:
Considerando S a área o retângulo ao lado, onde
→
A(1,0,2 ), C(− 2,3,3) e AB ° = (− 1,0,0 )
temos:
D
S =| AB × AC | e AC = (− 3,3,1) .
A
→
→
→
→
→
→
C
B
→
Como AB ⊥ BC , temos que AB = proj → AC = (− 3,0,0 ) .
AB °
Daí S =| (− 3,3,1) × (− 3,0,0) | =| ( 0,−3, 9 ) | = 9 + 81 = 3 10.
2.3 Produto Misto
r r
r
Definição: Sejam u, v e w vetores quaisquer. O produto misto dos
r r
r
r r r
vetores u, v e w , indicado por [u, v, w ] , é o número real
r r r
r r r
[u, v, w ] = (u × v) ⋅ w .
Exemplo 1:
r
r
r
Dados os vetores u = (1,0,2), v = (−1,1,3) e w = (0,3,−2) , temos:
r r r
[u, v, w] = [(1,0,2) × (−1,1,3)] ⋅ (0,3,−2) = (−2,−5,1) ⋅ (0,3,−2) = −17
r r r
[ v, u, w] = [(−1,1,3) × (1,0,2)] ⋅ (0,3,−2) = (2,5,−1) ⋅ (0,3,−2) = 17 .
33
Interpretação geométrica do produto misto
Seja o paralelepípedo de arestas AB,
AD e AE. Sabemos que o volume V
desse paralelepípedo é:
E
h
V = área da base × altura .
Considerando
paralelepípedo,
ABCD
e
conhecimentos
θ
a altura h desse
em relação à base
aplicando
nossos
do cálculo vetorial
→
D
A
C
B
→
podemos escrever: V =| AB × AD | h .
Por outro lado, essa altura pode ser calculada como o módulo da projeção
→
→
→
do vetor AE na direção do vetor AB × AD , pois a direção deste vetor é
ortogonal ao plano ABC. Assim podemos escrever:
h = | proj
→
→
→
( AB ×AD)
→
→
→
→
→
AE | = | AE ⋅ (AB × AD)° | =| | AE | cos θ | = | AE | | cos θ | ,
→
→
→
onde θ é o ângulo entre os vetores AE e AB × AD .
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Daí, V =| AB × AD | | AE | | cos θ | = | (AB × AD ) ⋅ AE | = | [AB, AD, AE] | , ou
seja,
→
→
→
V =| [AB, AD, AE] |
Consideremos agora o tetraedro de
arestas AB, AD e AE. Seja VT o
volume desse tetraedro, assim,
1
VT = área da base × altura .
3
Considerando a base ABD desse
tetraedro, observemos que a altura
relativa a essa base coincide com a
altura do paralelepípedo anterior.
E
h
θ
D
A
B
34
Daí podemos escrever:
→
→
1 1 → →
1 → →
1 → → →
VT = | (AB × AD) | | AE | | cos θ | = | (AB × AD ) ⋅ AE | = | [AB, AD, AE] |
3 2
6
6
Exemplo 2:
Consideremos o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde
→
→
→
OA = (1,0,2) , OB = (1,1,3)
e
OC = (2,1,0) . O volume V deste
paralelepípedo pode ser calculado como:
→
→
→
→
→
→
V =| [OA, OB, OC] | = | (OA× OB) ⋅ OC | = | (−2,−1,−1) ⋅ (2,1,0) | = 5 u. v.
E a altura do mesmo em relação à base OABD será:
h = | proj
→

6
6
6 5 6
|=
OC | = | (2,1,0) ⋅  −
,−
,−
u. c. .

3
6
6
6
OA ×OB


→
→
Observação: Consideremos uma base vr × vr
r r r
1
2
{v1 , v 2 , v 3 } do espaço. Pela definição do
r r r
r
produto vetorial a base {v1 , v 2 , v1 × v 2 }
r
é positiva. Assim, se v 3 estiver no
r
r
r
mesmo semi-espaço que v1 × v 2 , em
v3
θ
relação a um plano que contiver
r r
representantes de v1 e v 2 , a base
r r r
r
{v1 , v 2 , v 3 } será também positiva, já que
v2 B
o observador não muda de posição. Caso
r r r
O
r
contrário a base {v1 , v 2 , v 3 } será
v1
A
negativa.
r
r
r
Podemos verificar se v 3 está, ou não, no mesmo semi-espaço que v1 × v 2 ,
r r
em relação a um plano que contiver representantes de v1 e v 2 , através do
35
r
ângulo entre estes vetores. Ou seja, se este ângulo for agudo, então v 3 está
r
r
no mesmo semi-espaço que v1 × v 2 , caso contrário, não.
Por outro lado, para determinarmos se o ângulo entre dois vetores é agudo
ou obtuso, basta calcularmos o produto escalar entre eles. Assim,
r
r
r
( v1 × v 2 ) ⋅ v 3 > 0 , temos que o ângulo entre estes vetores é agudo, logo a
r r r
base {v1 , v 2 , v 3 } será positiva, caso contrário, a base será negativa.
r r r
Podemos então concluir que uma base {v1 , v 2 , v 3 } é positiva se o produto
r r r
r r r
misto [ v1 , v 2 , v 3 ] > 0 e será negativa se [ v1 , v 2 , v 3 ] < 0 .
Propriedades do produto misto
r r r
r r
r
1. [u, v, w ] = 0 ⇔ u, v e w são coplanares.
r r r
r r r
r r r
2. [u, v, w ] = [ v, w , u ] = [ w , u, v, ] .
r r r
r r r
3. [u, v, w ] = − [ v, u, w ] .
r r r r r r
4. (u × v) ⋅ w = u ⋅ ( v × w )
r
r r r
r r r
r r r
5. [u 1 + u 2 , v, w ] = [u 1 , v, w ] + [u 2 , v, w ] .
r r r
r r r
r r r
r r r
6. t [u, v, w] = [t u, v, w] = [u, t v, w] = [u, v, t w] .
r r
r
Nas propriedades acima, u, v e w são vetores quaisquer, e t é um número
real. Faremos a seguir suas provas:
r r r
1. “⇒” Se [u, v, w ] = 0 , então o volume do paralelepípedo cujas arestas são
r r
r
representantes de u, v e w , é zero. Assim, esse paralelepípedo é
r r
r
degenerado, e portanto, u, v e w são coplanares.
“⇐” É imediata.
r r r
r r r
r r r
2. Temos que | [u, v, w ] | =| [ v, w , u ] | =| [ w , u, v, ] | , como volume de um
r r
r
mesmo paralelepípedo. Se u, v e w são L D, então
r r r
r r r
r r r
| [u, v, w ] | =| [ v, w , u ] | =| [ w , u, v, ] |= 0
36
r r
r
r r r r r r
r r r
Se u, v e w são L I, então as bases {u, v, w}, {v, w , u} e {w , u, v}
pertencem a mesma classe. Logo,
r r r
r r r
r r r
[u, v, w ] = [ v, w , u ] = [ w , u, v, ]
Nas provas das propriedades seguintes, usaremos as propriedades dos
produtos escalar e vetorial já vistas.
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
3. [u, v, w ] = (u × v) ⋅ w = −( v × u ) ⋅ w = −[( v × u ) ⋅ w ] = − [ v, u, w ]
r r r
r r r r r r
2. (u × v) ⋅ w = ( v × w ) ⋅ u = u ⋅ ( v × w )
Usaremos agora as propriedades acima para demonstrar a distributividade
do produto vetorial em relação à adição de vetores, ou seja:
r r r
r r r r
u × (v + w ) = u × v + u × w .
r
r r r
r r
r r
Mostraremos que : u × ( v + w ) − (u × v) − (u × w ) = o .
r r r r
r r
r r
Considerando a = u × ( v + w ) − (u × v) − (u × w ) , temos:
r r r r r r
r r
r r
a ⋅ a = a ⋅ {u × ( v + w ) − (u × v) − (u × w )}
r r r r
r r r r r r
= a ⋅ [u × ( v + w )] − a ⋅ (u × v) − a ⋅ (u × w )
r r r r
r r r r r r
= (a × u ) ⋅ ( v + w ) − (a × u ) ⋅ v − (a × u ) ⋅ w
r r r r
r r r r
r
= (a × u ) ⋅ ( v + w ) − (a × u ) ⋅ ( v + w ) = o.
r r
Portanto a = o .
r
r r r
r
r
r r
r
r r
r r
5. [u 1 + u 2 , v, w ] = {(u 1 + u 2 ) × v} ⋅ w = {u 1 × v + u 2 × v} ⋅ w =
r
r r
r
r r
r r r
r r r
= ( u 1 × v ) ⋅ w + ( u 2 × v ) ⋅ w = [ u 1 , v, w ] + ( u 2 , v, w ]
r r r
r r r
r
r r
r r r
6. [t u, v, w] = (t u × v) ⋅ w = (u × t v) ⋅ w = [u, t v, w].
Analogamente podemos obter as outras igualdades.
37
Expressão cartesiana do produto misto
r r r
Fixada uma base ortornomal positiva { i , j , k} e dados os vetores
r
r
r
u = (x 1 , y1 , z1 ), v = (x 2 , y 2 , z 2 ) e w = (x 3 , y 3 , z 3 ) , temos:
r r r
r r r
[u, v, w] = (u × v) ⋅ w
= (y1z 2 − z1 y 2 , z1 x 2 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − y1 x 2 ) ⋅ (x 3 , y 3 , z 3 )
= ( y1z 2 − z1 y 2 ) x 3 + (z1 x 2 − x 1z 2 ) y 3 + (x 1 y 2 − y1 x 2 ) z 3
Assim, podemos escrever:
r r r
[u , v, w] = (y1z 2 - z1 y 2 ) x 3 + (z1 x 2 - x 1z 2 ) y 3 + (x 1 y 2 - y1 x 2 ) z 3 .
A expressão acima pode ser dada sob a forma do determinante:
x1
r r r
[u, v, w] = x 2
x3
y1
y2
y3
z1
z2 .
z3
Exemplo 3:
Do tetraedro de arestas OA, OB, e OC, sabemos que :
→
→
→
C
OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e OC = (1,3,2) .
Calcule o valor de x, para que o volume desse
tetraedro seja igual a 2 u. v.
Sabemos que o volume VT do tetraedro é dado
por:
1 → → →
VT = | [OA, OB, OC] |
6
Assim,
x 3 4
1
1
VT = | 0 4 2 | = | 2x - 10 | .
6
6
1 3 2
Como VT = 2 u.v, temos:
Logo, x = 11 ou x = −1 .
1
| 2x - 10 | = 2 .
6
B
O
A