Interface da Matemática com a Informática – IMIM5
1ª Lista de Exercícios
Prof. Granero
Exercício 1 – Dada uma coleção de números inteiros positivos terminada por 0,
imprimir seus quadrados.
Exercício 2 – Dados o número 𝑛 > 0 de alunos de uma turma e suas notas da
primeira prova, determinar a maior nota, a menor nota e a média dessa prova.
Exercício 3 – Dado um número natural na base binária, transformá-lo para a
base decimal. Exemplo: Dado 110010 a saída será 50, pois
1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 50.
Exercício 4 – Dado um número natural na base decimal, transformá-lo para a
base binária. Exemplo: Dado 50 a saída deverá ser 110010.
Exercício 5 – Dados um inteiro positivo 𝑛 e 𝑛 sequências de números inteiros,
cada qual terminada por 0, calcular a soma dos números pares de cada
sequência.
Exercício 6 – Dados 𝑛 e uma sequência de 𝑛 números inteiros positivos,
calcular a soma dos números da sequência que são primos.
Exercício 7 – Dado um inteiro positivo 𝑝, verificar se 𝑝 é primo.
Exercício 8 – Dados dois números inteiros positivos, determinar o máximo
divisor comum entre eles usando o algoritmo de Euclides. Exemplo:
Exercício 9 – Dado um inteiro 𝑥 e um inteiro não negativo 𝑛, calcular 𝑥 𝑛 usando
somente o operador +.
Exercício 10 – Dizemos que um número natural 𝑛 com pelo menos dois
algarismos é palíndrome se o primeiro algarismo de 𝑛 é igual ao seu último
algarismo, o segundo algarismo de 𝑛 é igual ao penúltimo algarismo, e assim
por diante. Exemplos: 567765 e 32423 são palíndromes e 567675 não é
palíndrome.
Dado um inteiro 𝑛, 𝑛 ≥ 10, verificar se 𝑛 é palíndrome.
Exercício 11 – Dizemos que um número 𝑖 é congruente a 𝑗 módulo 𝑚 se
𝑖 % 𝑚 = 𝑗 % 𝑚. Exemplo: 35 é congruente a 39 módulo 4, pois
35 % 4 = 3 = 39 % 4. Dados inteiros positivos 𝑛, 𝑗, e 𝑚, imprimir os 𝑛 primeiros
naturais congruentes a 𝑗 módulo 𝑚.
Exercício 12 – Dado um inteiro positivo n, calcular o valor da seguinte soma:
1
2
3
𝑛
+
+
+⋯+
𝑛 𝑛−1 𝑛−2
1
Exercício 13 – Faça um programa que calcula a soma:
1 1 1
1
1
1 − + − +⋯+
−
2 3 4
999 1000
pelas seguintes maneiras:
 adição dos termos da direita para a esquerda;
 adição dos termos da esquerda para a direita;
 adição separada dos termos positivos e dos termos negativos da esquerda
para a direita;
 adição separada dos termos positivos e dos termos negativos da direita
para a esquerda.
Compare e discuta os resultados obtidos no computador.
Exercício 14 – Dizemos que um inteiro positivo 𝑛 é perfeito se for igual à soma
de seus divisores positivos diferentes de 𝑛. Exemplo: 6 é perfeito, pois
1 + 2 + 3 = 6. Faça um programa em C que verifica se um dado número inteiro
positivo ele é perfeito.
Exercício 15 – Um matemático italiano da idade média conseguiu modelar o
ritmo de crescimento da população de coelhos através de uma sequência de
números naturais que passou a ser conhecida como sequência de Fibonacci. O
𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 número da sequência de Fibonacci 𝐹𝑛 é dado pela seguinte fórmula
de recorrência:
𝐹1 = 1.
𝐹2 = 2.
𝐹𝑖 = 𝐹𝑖−1 + 𝐹𝑖−2 para 𝑖 ≥ 3.
Faça um programa em C que dado 𝑛 natural calcula 𝐹𝑛 .
Exercício 16 – Considere o conjunto 𝐻 = 𝐻1 ∪ 𝐻2 de pontos reais, onde
𝐻1 = { 𝑥, 𝑦 / 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑦 + 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 ≤ 0 e
𝐻2 = { 𝑥, 𝑦 / 𝑥 ≤ 0 , 𝑦 + 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ≤ 0.
Faça um programa que lê um inteiro positivo 𝑛 e uma sequência de 𝑛 pontos
reais (𝑥, 𝑦) e verifica se cada ponto pertence ou não ao conjunto 𝐻. O
programa deve também contar o número de pontos da sequência que
pertencem a 𝐻.
Exercício 17 – Dado um número real 0 < 𝜀 < 1, faça um programa em C que
calcula uma aproximação do número de Euler (uma variante deste nome é
número de Néper) através da série infinita:
∞
1
1 1 1 1
1
𝑒=
= + + + + ⋯+ +⋯
𝑛! 0! 1! 2! 3!
𝑘!
𝑛=0
Inclua na aproximação todos os termos cujo valor absoluto é maior ou igual
ao valor de 𝜀.
Exercício 18 – (a) Escreva uma função que recebe um número inteiro positivo 𝑛
e devolve o número de dígitos e o primeiro dígito de 𝑛.
(b) Escreva um programa que leia uma sequência de 𝑛 inteiros positivos e
imprime o número de dígitos e o primeiro dígito de cada um deles.
Exercício 19 – (a) Escreva uma função que recebe como parâmetro um inteiro
positivo ano e devolve 1 se o ano for bissexto, 0 em caso contrário. (Um ano é
bissexto se o resto da divisão de ano por 4 é 0 e (o resto da divisão de ano por
100 é diferente de 0 ou o resto da divisão de ano por 400 é 0)).
(b) Escreva uma função que tem como parâmetro de entrada e saída três
números inteiros representando uma data, e modifica esses inteiros de forma
que eles representem o dia seguinte.
(c) Escreva um programa que leia um inteiro positivo 𝑛 e uma sequência de
𝑛 datas e imprime, para cada data, o dia seguinte.
Exercício 20 – Dados dois naturais 𝑚 e 𝑛 determinar, entre todos os pares de
números naturais (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥 ≤ 𝑚 e 𝑦 ≤ 𝑛, um par para o qual o valor da
expressão 𝑥𝑦 − 𝑥² + 𝑦 seja máximo e calcular também esse máximo.
Exercício 21 – Dados 𝑛 números inteiros positivos, calcular a soma dos que
são primos.
Exercício 22 – Sabe-se que um número da forma 𝑛³ é igual a soma de 𝑛
ímpares consecutivos.
Exemplo:
1³ = 1,
2³ = 3 + 5,
3³ = 7 + 9 + 11,
4³ = 13 + 15 + 17 + 19, ...
Dado 𝑚, determine os ímpares consecutivos cuja soma é igual a 𝑛³ para 𝑛
assumindo valores de 1 a 𝑚.
Exercício 23 – Dado um número inteiro positivo, determine a sua
decomposição em fatores primos calculando também a multiplicidade de cada
fator.
Exercício 24 – Dados um inteiro positivo 𝑛 e uma seqüência de 𝑛 inteiros
positivos, determinar o máximo divisor comum a todos eles.
Exercício 25 – Dados números reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐, calcular as raízes de uma
equação do 2o grau da forma 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Imprimir a solução em uma das
seguintes formas:
a) Raiz dupla: 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯
b) Raízes distintas: 𝑥1 = ⋯ , 𝑥2 = ⋯
c) Raízes complexas: 𝑥1 = ⋯ , 𝑥2 = ⋯
Observação: Em C, para extrair raiz quadrada use a função 𝑠𝑞𝑟𝑡 (coloque
#include <math.h> antes do main).
Exercício 26 – Dados 𝑥 real e 𝑛 natural, calcular uma aproximação para 𝑐𝑜𝑠 𝑥
através dos 𝑛 primeiros termos da seguinte série:
𝑥² 𝑥 4 𝑥 6
𝑥 2𝑘
𝑘
cos 𝑥 = 1 − + − + ⋯ + (−1)
+⋯
2! 4! 6!
(2𝑘)!
Exercício 27 – Dados 𝑥 e 𝜀 reais, 𝜀 > 0, calcular uma aproximação para 𝑠𝑒𝑛 𝑥
através da seguinte série infinita
𝑥 𝑥3 𝑥5
𝑥 2𝑘+1
sen 𝑥 = − + + ⋯ + (−1)𝑘
+⋯
1! 3! 5!
(2𝑘 + 1)!
𝑥 2𝑘+1
incluindo todos os termos até que (2𝑘+1)! < 𝜀
Exercício 28 – (a) Faça uma função 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 que recebe o número real 𝑥 𝜖 0, 1
e devolve uma aproximação do arco tangente de 𝑥 (em radianos) através da
série incluindo todos os termos da série
𝑥3 𝑥5 𝑥7
arc tg 𝑥 = 𝑥 − + − + ⋯
3
5
7
incluindo todos os termos da série até
𝑥𝑘
𝑘
< 10−4 .
(b) Faça uma função ângulo que recebe um ponto de coordenadas cartesianas
reais (𝑥, 𝑦), com 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0 e devolve o ângulo formado pelo vetor (𝑥, 𝑦) e o
eixo horizontal.
Exemplos: Observe a figura abaixo e verifique que o ângulo correspondente
aos pontos marcados é aproximadamente
(0,1)
90 graus
(2,2)
45 graus
(1,4)
75 graus
(5,1)
11 graus
Para calcular o valor do ângulo 𝛼 pedido, use a seguinte expressão:
arc tg
𝑦
𝑥
∝= 𝜋
𝑥
− arc tg
2
𝑦
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑦 < 𝑥
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
(c) Faça um programa que, dados 𝑛 pontos do primeiro quadrante através de
suas coordenadas cartesianas, determina o ponto que forma o menor ângulo
com o eixo horizontal.