Matemática II - 2004/05 - Oceanogra…a
17
79. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a…rmações:
(a) Podem-se calcular valores próprios de matrizes de qualquer tipo.
(b) Uma matriz de ordem n tem sempre n valores próprios diferentes.
(c) Qualquer matriz coluna do tipo n
de ordem n.
1 pode ser vector próprio de uma matriz A
(d) Duas matrizes com o mesmo polinómio característico são iguais.
(e) Um polinómio de
ordem 3.
2
1
1
1
80. Seja A = 4 0
1
0
grau 2 pode ser o polinómio característico de uma matriz de
3
0
1 5:
1
p
(a) Veri…que que X =
3
p
3
p
3
(b) Indique uma matriz coluna que não
2 3
2
1
0
2
6 1 7
6
81. A matriz 4 2 5 é vector próprio de 4 1
1
1
3
2
>
é vector próprio de A:
seja vector próprio de A:
3
1 1
7
0 1 5 ; associado ao valor próprio:
1 2
0
1
82. Se possível, dê exemplos de:
(a) Uma matriz de ordem quatro que admita o valor próprio 0.
(b) Uma matriz para a qual a entrada (2; 2) da matriz característica seja 0.
h
i>
(c) Uma matriz A de ordem quatro tal que X = 0 0 0 0
seja vector próprio
de A:
(d) Uma matriz cujo polinómio característico seja x2
3x:
(e) Uma matriz não nula de ordem 5 que tenha 0 como único valor próprio.
(f) Uma matriz de ordem quatro que admita o valor próprio 3 com multiplicidade
algébrica dois e o valor próprio 2 com multiplicidade algébrica três.
"
#
1
2
83. O polinómio característico da matriz
é:
2
1
x2
x2
5
2
3
6
84. Seja B = 4 0
1
1
2
0
(a) Veri…que se X =
x2
4
3
2
7
0 5.
6
h
22 0
22
i>
1
x3
é vector próprio de B:
(b) Calcule o polinómio característico de B e os seus valores próprios.
(c) Determine os vectores próprios de B associados ao valor próprio 4:
4x2 + 1
Matemática II - 2004/05 - Oceanogra…a
18
85. Considere as matrizes reais:
"
#
"
#
5 4
0 3
A=
B=
1 1
3 0
2
2
p 3
p
0 2 2 2 2
5
4
6 p
7
6
D=4
2
0
2 5 E=4 0
8
p
2
2
43
0
4
2
2
2
0 0 0
0
3 0 0 0
6
7
6 0
1 0 0
0 7
6
6
7
6 0 1 2 0
G=6
0 2 0
0 7
6 0
7 H=6
4 4 0 3 0
6
7
0 0 2
0 5
4 0
0 0 0 3
0
0 0 0
1
C=
"
1 2
1 1
#
2
3
0 1 1
1
7
6
9 5 F =4 1 0 1
4
1 1 2
3
2
0
0
7
6 0
0
7
6
I=6
7
5
4 0
3
9
0
3
7
5
0
3
0
0
1
0
0
0
3
7
7
7
5
(a) Para cada matriz determine o polinómio característico e os valores próprios, se
existirem, indicando as respectivas multiplicidades algébricas.
(b) Para cada valor próprio determinado, calcule os vectores próprios que lhe estão
associados, o correspondente subespaço próprio e a multiplicidade geométrica.
86. Chama-se traço de uma matriz quadrada A, tr (A) ; à soma dos elementos da diagonal
principal de A: Sendo A uma matriz de ordem 2; mostre que o polinómio característico
de A é x2 tr (A) x + det (A) :
87. Seja A uma matriz de ordem n e seja
um seu valor próprio. Mostre que
(a) Se X é um vector próprio de A associado a
é vector próprio de A associado a .
então, 8 2 Rn f0g ; X também
(b) Se X e Y são vectores próprios de A associados a e X + Y 6= On 1 ; então
X + Y é ainda um vector próprio de A associado a :
(c) Se X; Y 2 U
2
1 0
6 0 2
6
88. Seja A = 6
4 0 1
1 0
, então, 8 ;
3
0 1
1 0 7
7
7.
2 0 5
2 R, X + Y 2 U :
0 1
(a) Justi…que, sem fazer cálculos, que A admite o valor próprio 0:
(b) Determine os valores próprios de A.
(c) Determine os vectores próprios associados ao valor próprio 2.
89. Seja A uma matriz invertível. Se
é valor próprio de A 1 :
é valor próprio de A, mostre que
6= 0 e que
90. Seja A uma matriz de ordem n: Mostre que:
(a) Se
é valor próprio de A, então, 8k 2 N,
k
é valor próprio de Ak :
(b) Se A não é invertível, então, 8k 2 N, Ak também não é invertível.
(c) Se A2 = A e
é valor próprio de A, então
= 0 ou
= 1:
1
Matemática II - 2004/05 - Oceanogra…a
19
91. Determine os valores próprios de A9 para
2
1
3
6
1
6 0
(a) A = 6
2
6
4 0 0
0 0
7 11
3
2
7
3 82 7
7:
7
0 40 5
0 2
6
(b) A = 4
1
0
1
0
1
2
3
2
7
2 5.
2
92. Seja A uma matriz quadrada de ordem n admitindo n valores próprios distintos, dos
quais um é zero. Assinale o valor lógico das a…rmações:
O sistema AX = 0 é determinado
Todos os valores próprios de A têm multiplicidades algébrica e geométrica iguais.
A é diagonal.
A5 não é invertível.
2
6
93. O conjunto dos vectores próprios da matriz 4
( "
( "
( "
( "
1
0
1
1
0
0
1
0
0
#
#
#
3
1
0
1
3
0
3
0
7
0 5 é:
3
2 Rn f0g :
;
+
+
#
)
3
0
0
;
"
"
0
0
1
0
0
1
#
#
2 R; não simultaneamente nulos :
; ;
+
)
"
)
0
0
1
#
; ; ;
)
2 R; não simultaneamente nulos :
2 Rn f0g :
94. Seja A uma matriz diagonalizável. Assinale o valor lógico das a…rmações:
A tem n valores próprios distintos.
O polinómio característico de A tem raízes complexas.
Cada valor próprio de A tem multiplicidade algébrica igual à geométrica.
É possível encontrar n vectores próprios de A que sejam colunas de uma matriz
invertível.
Para cada valor próprio
de A; n
car (A
In ) =multiplicidade algébrica de :
95. Para as matrizes do exercício 85:
(a) Diga quais são diagonalizáveis.
(b) Para as matrizes diagonalizáveis determine, se for possível, duas matrizes diagonais distintas semelhantes à matriz inicial, indicando em cada caso a matriz
diagonalizante P:
Matemática II - 2004/05 - Oceanogra…a
20
96. Sejam A uma matriz quadrada de ordem 4 que tem exactamente dois valores próprios
distintos 1 e 2 tais que car (A
1 I4 ) = car (A
2 I4 ) = 3: Diga, justi…cando, se
a matriz é diagonalizável.
"
#
1 7
1
0 1
0 .
97. Considere a matriz real A =
0 15
2
(a) Veri…que que A é diagonalizável e determine D diagonal e P invertível tais que
D = P 1 AP .
(b) Justi…que que A é invertível e determine A 1 :
(c) Calcule A5 e A 5 .
98. Seja A 2 M3 (R) uma matriz que veri…ca simultaneamente:
[ 0 1 2 ]> = [ 0 1 2 ]>
(ii) A [ 0 0 1 ]> = [ 0 0
n
o
(iii) Se X 2 [ a b c ]> 2 M3 1 (R) : a = 3c e b = c então AX = 0;
(i) A
1 ]>
(a) Indique os valores próprios de A e as respectivas multiplicidades algébricas.
(b) Indique o polinómio característico da matriz A.
(c) Calcule A47 .
99. Seja A uma matriz diagonalizável cujo polinómio característico é p (x) = x (1 x)2 :
Complete as a…rmações:
(a) dim U1 = : : : : : : : : : : : :
(b) det (A) = ": : : : : : : : : : : :
(c) A matriz
#
está nas condições do enunciado.
100. Seja A uma matriz de ordem 5 com três valores próprios
car (A 8 2
3;
1 I5 ) = 3
9
2
3
1
0
>
>
>
>
>
>
>
6
7
6
7
>
0
1
< 6
=
7
6
7
6
7
6
7
0
1
U 2=
+
;
;
2
R
;
6
7
6
7
>
>
>
>
4
5
4
5
1
2
>
>
>
>
:
;
1
3
a multiplicidade algébrica de 3 é 1.
Considere as a…rmações:
(a) A multiplicidade geométrica de 1 é 2.
1;
2
e
3
tais que:
(b) A é diagonalizável.
(c)
0 2 2 4
6
>
é vector próprio de A:
Assinale a lista correcta das a…rmações verdadeiras:
(b)
(a) e (b)
(c)
(a), (b) e (c)
101. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Assinale o valor lógico das seguintes
a…rmações:
Se A tem n valores próprios distintos então, 8k 2 N; a matriz Ak é diagonalizável.
Se A é diagonalizável então todos os valores próprios de A têm multiplicidade
algébrica igual a 1: