Exercícios de revisão para o 2o teste
1. (a) Mostre que o primeiro quadrante Q1 = (x; y) 2 R2 : x 0; y 0 é
fechado para a soma de vectores e para a multiplicação por escalares
não negativos
(b) Mostre que as mesmas propriedades são válidas para o terceiro quadrante Q3 = (x; y) 2 R2 : x 0; y 0
(c) Mostre que Q1 [ Q3 é fechado para a multiplicação por um escalar
real.
(d) Será Q1 [ Q3 um subespaço de R2 ?
2. Seja U = hu = (1; 2; 1)i
R3 um subespaço de dimensão 1.
(a) Encontre um vector v 2 R3 tal que hu; vi seja um espaço de dimensão
2.
(b) Encontre um vector w 6= v tal que hu; wi = hu; vi
(c) Encontre um vector z tal que hu; zi =
6 hu; vi
3. Encontre um vector z 2 R3 tal que z 2
= h(1; 1; 1) ; (2; 1; 0)i :
4. Será possível
3 vectores x e y tais que Ax = x e Ay = y
2 encontrar dois
3
1
1
0
1 5?
sendo A = 4 2
1
1
1
3
2
1 2
3
9 5 de duas maneiras completamente diferentes.
5. Encontre det 4 1 4
1 8 27
6. Encontre
todos os valores
3 do parâmetro d 2 R para os quais a matriz
2
1
1
2 d
6 0
4
2 0 7
7 é singular.
A=6
4 2
0
d 1 5
1
1
1 1
7. Mostre que duas matrizes semelhantes têm o mesmo valor para o determinante.
3
2
1
2
4
1
6 2
3
1
2 7
7 tem duas entradas ilegíveis: a en8. A matriz A = 6
4 1
0
?
7 5
1
1 ??
3
trada (3,3) e a entrada (4,3). Alguém disse que o determinante desta
matriz tem o valor 10. Será possível ou não?
9. Seja A uma matriz quadrada tal que AAT = I: Quanto vale det(A)?
1
2
1 2
10. Suponha que det 4 2 2
c 0
2
1 2
4
(a) Calcule det 2 2
c 0
3
a
b 5 = 4:
0
3
a
b 5
7
(b) Encontre valores para a; b; c tais que o determinante da alínea a) seja
efectivamente 4.
2
3
2 3
2
3
1
0
2
11. Quais dos seguintes vectores u1 = 4 1 5 ; u2 = 4 0 5 ; u3 = 4 1 5 e
1
0
1
2 3
2
3
1
6
7
7
8
7 5? Se algum
u4 = 4 2 5 são vectores próprios da matriz 4 7
0
7
7
6
for vector próprio qual o valor próprio associado?
2
3
23
10
10
27
34 5 :
12. Seja A = 4 58
11
5
6
(a) Sabendo que
= 3 é um valor próprio de A, determine o vector
próprio correspondente.
(b) Será a matriz A diagonalizável? Porquê?
13. Seja A =
1 2
2 1
:
(a) Encontre o polinómio característico de A
(b) Veri…que que A2
2A
3I = 0
(c) Use o resultado da alínea anterior para determinar A
1
:
1
(d) Determine A através da matriz adjunta e con…rme o resultado da
alínea anterior.
14. Serão as matrizes A =
15. Haverá algum valor para
o valor próprio
= 2?
2
1
1
4
eB=
6
1
7
0
semelhantes?
2
para que a matriz A = 4
2
1
1
2
1
0
1
3
2 5 tenha
4