Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
30
Valores e vectores próprios
De…nem-se valores e vectores próprios apenas para matrizes quadradas, pelo que, ao longo
deste capítulo e quando mais nada seja especi…cado, A designa uma matriz quadrada de
ordem n:
De…nição
Seja
um número real. Diz-se que
coluna não nula Xn
1
é um valor próprio da matriz A se existe uma matriz
tal que AX = X. À matriz coluna X chama-se vector próprio
da matriz A associado ao valor próprio .
Exemplo:
"
1 2
2 1
#"
2
2
#
=
"
6
6
#
=3
"
2
2
#
"
; pelo que
2
2
#
é vector próprio de
"
1 2
2 1
#
associado ao valor próprio 3:
Determinação dos valores próprios de uma matriz
Pretende-se determinar
2 R para o qual exista X 6= 0n
1
tal que AX = X: Tem-se que :
AX = X ,
, AX
X = 0n
, AX
In X = 0n
1
, (A
In ) X = 0n
1
1
,
,
A expressão (1) é um sistema homogéneo cuja matriz é A
(1)
In : Como se procura uma
solução X 6= 0n 1 ; o sistema tem de ter soluções não nulas, isto é, tem de ser indeterminado.
É sabido que um sistema homogéneo é indeterminado se e só se a característica da matriz
do sistema é menor que n ou, ainda, se o determinante da matriz é nulo. Assim, os valores
próprios da matriz são os valores
tais que car (A
In ) < n; ou tais que det (A
In ) = 0:
É esta última equação, chamada equação característica de A; que se utiliza para o cálculo
dos valores próprios. O determinante de A
xIn é um polinómio denominado polinómio
característico da matriz A:
Resumindo: Os valores próprios da matriz A são as raizes do polinómio característico de
A; det (A
À matriz A
xIn ) :
xIn chama-se matriz característica de A:
Quando um valor próprio tem multiplicidade k como raiz do polinómio característico, diz-se
que tem multiplicidade algébrica k:
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
31
Observações:
1. O polinómio característico de A tem grau n; pelo que tem no máximo n raizes. Uma
matriz de ordem n tem, portanto, no máximo n valores próprios.
2. Uma matriz real pode não ter valores
próprios
reais. Por exemplo, as raizes do
"
#
0
1
polinómio característico da matriz
são i e i:
1
0
Exemplos:
1. Seja A =
"
1 2
2 1
#
: A matriz característica de A é
A
xI2 =
"
1
x
2
2
1
x
pelo que o polinómio característico de A é
"
#
1 x
2
det
= x2
2
1 x
cujas raizes são
#
2x
1 e 3: Os valores próprios de A são
1
3;
1e
=
2
= 3; ambos com
multiplicidade algébrica 1.
3
2
2
2
1
7
6
2. Seja A = 4 1
1
0 5 : O polinómio característico de A é
3
1
1
2
6
det 4
2
x
1
3
2
1
x
1
3
1
0
1
x
7
5 = 2x
x3 ;
p
p
p
que tem como raizes 0; 2 e
2: Os valores próprios de A são 1 = 0; 2 = 2 e
p
2; todos com multiplicidade algébrica 1.
3 =
2
3
1 1 1
7
6
3. A matriz 4 2 2 2 5 tem polinómio característico x3 + 6x2 , pelo que os seus valores
3 3 3
próprios são 1 = 0; com multiplicidade algébrica 2, e
2
= 6; com multiplicidade
algébrica 1.
4. Valores próprios da matriz identidade: A matriz identidade In tem como matriz
característica a matriz In
xIn ; que é uma matriz escalar em que os elementos da
diagonal principal são iguais a 1
único valor próprio de In é
x: O polinómio característico de In é (1
= 1, com multiplicidade algébrica n:
x)n e o
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
32
5. Valores próprios de uma matriz diagonal: Se A = [aij ]n
n
é uma matriz diagonal,
a sua matriz característica é também diagonal pelo que o polinómio característico é
(a11
x) (a22
x)
(ann
x) e os valores próprios são a11 ; a22 ;
6. Valores próprios de uma matriz triangular: Se A = [aij ]n
; ann .
n
é uma matriz
triangular (superior ou inferior), a sua matriz característica é também triangular pelo
que o polinómio característico é (a11
são a11 ; a22 ;
x) (a22
x)
x) e os valores próprios
(ann
; ann .
7. Valores próprios da transposta de uma matriz A:
h
i
det A> xIn = det A> xIn> = det (A xIn )> = det (A
xIn ) :
Conclui-se que as matrizes A e A> têm o mesmo polinómio característico e, portanto,
os mesmos valores próprios.
Determinação dos vectores próprios de uma matriz
Depois de determinados os valores próprios de A; para determinar os vectores próprios associados a um determinado valor próprio
basta resolver o sistema homogéneo (A
In ) X = 0:
As soluções não nulas deste sistema são os vectores próprios da matriz A associados a :
Nota: Para um valor próprio ; o sistema (A
não nulas, pois
Exemplos:
1. A matriz A =
"
In ) X = 0 tem garantidamente soluções
foi determinado de modo a que o sistema fosse indeterminado.
1 2
#
(exemplo 1 acima) tem valores próprios 1 e 3: Vamos calcular
2 1
a expressão geral dos vectores próprios associados a cada um dos valores próprios.
=
1:
Os vectores próprios de A associados a
(A
1 são as soluções não nulas do sistema
( 1) I2 ) X = 03 1 ; ou seja, as soluções não nulas de do sistema homogéneo cuja
matriz é
A
( 1) I2 =
que tem por solução geral X = y
"
Os vectores próprios associados a
"
#
=
1 são da forma y
"
1+1
2
2
1+1
1
1
#
"
2 2
2 2
#
; y 2 R.
1
1
#
; y 2 Rn f0g.
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
33
=3:
Os vectores próprios de A associados a 3 são as soluções não nulas do sistema
(A
3I2 ) X = 03 1 ; ou seja, as soluções não nulas de do sistema homogéneo cuja
matriz é
A
3I2 =
"
que tem por solução geral X = y
1
1
#
"
2
2
2
2
; y 2 R.
"
Os vectores próprios associados a 3 são da forma y
2
2
2
6
2. Para a matriz A = 4 1
dos a
2
#
1
1
#
; y 2 Rn f0g.
3
1
7
0 5 (do exemplo 2 acima), os valores próprios associa3 1
1
p
= 2 são as soluções não nulas do sistema
1
p
A
em que
A
p
2
6
2I3 = 4
2I3 X = 03
p
2
2
2
1
3
2
1
1 0
2
1 1 1
p2
2
+
2
1
3
2
0
1
p
p
2
2
2
2
0
3
3
1
1
6
A forma condensada desta matriz é 4 0 1
0 0
p
2
2
6
procurados têm a expressão geral z 4
p
1
p
2
3
7
5:
7
1 5 ; pelo que os vectores próprios
7
1 5 ; z 2 Rn f0g :
6
7
3. Para a matriz 4 2 2 2 5, (exemplo 3 acima) os vectores próprios associados ao valor
3 3 3
próprio 0 têm a expressão geral
2
3
2
3
1
1
6
7
6
7
y4 0 5 + z4 1 5;
1
com y; z 2 R, não simultaneamente nulos.
0
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
34
Multiplicidade geométrica
Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio
ao grau de indeterminação
do sistema (A
corresponde ao número de
In ) X = 0: O grau de indeterminação de
parâmetros livres na expressão geral dos vectores próprios associados a :
Exemplos
1. Todos os valores próprios calculados nos exemplos anteriores têm multiplicidade geométrica 1, excepto no exemplo 3 da página 31, em que o valor próprio 0 tem multiplicidade geométrica 2; como se pode veri…car através do exemplo 3 da página 33.
2
3
5 1 0
6
7
2. A matriz A = 4 0 5 1 5 tem um único valor próprio, = 5; com multiplicidade
0 0 5
algébrica 3: Os vectores próprios
associados
a 5 são as soluções não nulas do sistema
3
2
0 1 0
7
6
cuja matriz é A 5I3 = 4 0 0 1 5 : Como esta matriz tem característica 2; o grau
0 0 0
de indeterminação do sistema é 1 e, portanto, = 5 tem multiplicidade geométrica 1:
Neste último exemplo constata-se que as multiplicidades algébrica e geométrica de um valor
próprio podem ser diferentes. Pode-se, no entanto, provar a seguinte relação entre as multiplicidades:
Teorema A multiplicidade geométrica de um valor próprio de uma matriz é menor ou
igual à sua multiplicidade algébrica.
Deste teorema conclui-se facilmente o seguinte corolário:
Corolário: Se um valor próprio tem multiplicidade algébrica 1; a sua multiplicidade geométrica é também 1:
Subespaços próprios
Se
é um valor próprio da matriz A, chama–se subespaço próprio de
ao conjunto U
formado pela matriz nula e por todos os vectores próprios associados ao valor próprio :
U = fXn
O subespaço próprio de um valor próprio
(A
In ) X = 0n
nessa solução.
1
1
: AX = Xg :
é constituído pela solução geral do sistema
e a multiplicidade geométrica de
é o número de parâmetros livres
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
35
Veri…ca-se que:
1. Se X1 ; X2 2 U então X1 + X2 2 U .
Daqui conclui-se que:
Se X1 e X2 são vectores próprios da matriz A associados ao valor próprio ; então
X1 + X2 ou é a matriz nula ou é um vector próprio de A associado ao valor próprio .
2. Se X 2 U e k 2 R, então kX 2 U :
Daqui conclui-se que:
Se X é um vector próprio da matriz A associado ao valor próprio
e k é um número
real, então kX ou é a matriz nula ou é um vector próprio de A associado ao valor
próprio .
Exemplos:
1. Para A =
"
1 2
2 1
#
2
2
2
6
2. Para A = 4 1
3
tem-se U
1
1
1
3
1
=
( "
y
7
0 5 tem-se Up2
1
1 1 1
3
1
#
;y 2 R
8 2
>
<
6
= z4
>
:
8 2
>
<
6
7
6
3. Para A = 4 2 2 2 5 tem-se U0 = y 4
>
:
3 3 3
2
1
1
)
p
2
p2
2
+
2
1
3
2
6
7
0 5+z4
1
Valores próprios e invertibilidade
e U3 =
3
( "
1
9
>
=
:
y
7
1 5;z 2 R
>
;
1
#
)
;y 2 R :
9
>
=
7
1 5 ; y; z 2 R .
>
;
0
1
3
Se uma matriz A admite o valor próprio 0, então 0 é raiz do polinómio característico de A;
isto é, det (A
0In ) = 0 e a matriz tem determinante nulo, pelo que não é invertível.
Por outro lado se A não é invertível, car (A) < n e o sistema AX = 0n
não nulas, ou seja, existe X 6= 0 tal que AX = 0n
1
1
tem soluções
e, portanto, 0 é valor próprio de A:
Acabámos de mostrar que:
Teorema: Uma matriz A não é invertível se e só tem 0 como valor próprio.
ou
Teorema: Uma matriz A é invertível se e só se não tem 0 como valor próprio.
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
36
Pode-se então enunciar o seguinte resultado:
Teorema: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. São equivalentes as a…rmações:
(a) car (A) < n:
(b) A matriz A não é invertível.
(c) det (A) = 0.
(d) O sistema AX = 0 é indeterminado.
(e) A matriz A admite o valor próprio 0:
Diagonalização de matrizes
Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz P; invertível, tal
que
B=P
1
AP:
Proposição: Se uma matriz A é semelhante a uma matriz B, então A e B têm o mesmo
polinómio característico e, portanto, os mesmos valores próprios.
Demonstração: Se A é semelhante a B, existe P; invertível, tal que B = P
det (B
xIn ) = det P
1
AP
xIn =
= det P
1
AP
xP
= det P
1
(A
xIn ) P =
= det P
1
= (det P )
= det (A
1
1
1
AP: Então:
P =
det (A
xIn ) det P =
det (A
xIn ) det P =
xIn ) :
Uma matriz A diz-se diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se
existirem matrizes D; diagonal, e P; invertível, tais que D = P
1
AP: À matriz P chama-se
matriz diagonalizante.
Exemplos:
1. Qualquer matriz diagonal é diagonalizável, pois qualquer matriz é semelhante a si
própria. De facto A = In 1 AIn :
#
"
# "
"
1 2
1 0
2. A matriz A =
é diagonalizável, pois
=
2 1
0 3
1
2
1
2
1
2
1
2
#"
1 2
2 1
#"
1 1
1 1
Observações:
1. Se uma matriz A é diagonalizável os seus valores próprios são as entradas diagonais da
matriz D a que A é semelhante; pois, pela proposição acima, os seus valores próprios
são os mesmos da matriz D, ou seja, as suas entradas diagonais:
#
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
37
2. Quando uma matriz é diagonalizável, torna-se fácil o cálculo de potências de qualquer
ordem da matriz:
Para uma matriz D diagonal, D = diag fd1 ; : : : ; dn g tem-se, Dk = diag dk1 ; : : : ; dkn ;
8k 2 N: Sendo A diagonalizável, existem D; diagonal, e P , invertível, tais que
D=P
1
AP e, portanto, A = P DP
Ak =
P DP
1 k
1
1
: Para k 2 N;
= P DP
|
1
P DP 1 : : : P DP
{z
k vezes
1
1
1
= P D P P D P P : : : P P DP
| {z } | {z } | {z }
=In
=In
1
}
=
= P Dk P
1
=In
Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A matriz A é diagonalizável se e só se
existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios de A:
Demonstração: Mostrar uma a…rmação envolvendo "se e só se" é provar uma equivalência
entre duas condições, ou seja, provar duas implicações, uma em cada "sentido".
=)
Suponhamos que A é diagonalizável. Então existem
3
2
2
0
0
p11
1
6 0
7
6
0
2
6
7
6 p21
D = 6 ..
e
P
=
7
6 ..
.
.
. . .. 5
4 .
4 .
0
0
pn1
n
tais que P
2
6
6
AP = 6
4
matrizes
p12
p22
..
.
..
.
pn2
p1n
p2n
..
.
pnn
1
AP = D. Daqui sai que AP = P D:Temos então:
32
3 2
p11 p12
p1n
0
0
1
1 p11
7
6
7
6
p21 p22
p2n 7 6 0
0 7 6 1 p21
2
..
.. . .
.. 7 6 ..
. 7=6 .
.
.
.
. .. 5 4 ..
.
. 54 .
.
pn1 pn2
pnn
0
0
n
3
7
7
7 ; invertível
5
2 p12
n p1n
2 p22
1 pn1
7
7
.. 7 (2)
. 5
n pnn
n p2n
..
.
2 pn2
..
Por outro lado, designando as colunas de P por P1 ; : : : ; Pn ; veri…ca-se que
.
3
(3)
AP = [AP1 AP2 : : : APn ]
Igualando (2) e (3) obtém-se:
AP1 =
1 P1 ;
AP2 =
2 P2 ; : : : ; APn
=
n Pn
Como P é invertível, todas as suas colunas são não nulas e, portanto, cada Pi ; para
i = 1; : : : ; n; é um vector próprio de A associado ao valor próprio
(=
i:
Suponhamos agora que existe uma matriz invertível P cujas colunas P1 ; : : : ; Pn são vectores
próprios de A associados, respectivamente, a valores próprios
AP1 =
1 P1 ;
AP2 =
2 P2 ;
: : : ; APn =
1; : : : ;
n Pn
n:
Tem-se:
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
38
Utilizando (3) obtém-se
AP = [AP1 AP2 : : : APn ] = [ 1 P1 2 P2 : : : n Pn ] =
2
3
1 p11
2 p12
n p1n
6 1 p21
7
2 p22
n p2n 7
6
= 6 ..
..
.. 7 =
...
4 .
.
. 5
1 pn1
2 pn2
n pnn
2
32
3
p11 p12
p1n
0
0
1
6 p21 p22
6
p2n 7
0 7
2
6
76 0
7
= 6 ..
.. . .
.. 7 6 ..
.. 7 = P D;
..
4 .
5
4
.
. . 5
.
.
.
pn1 pn2
pnn
0
0
n
em que D é uma matriz diagonal em que as entradas diagonais são os valores próprios de A:
Como AP = P D implica que P
1
AP = D; A é diagonalizável.
Coloca–se agora a questão de saber quando existe uma matriz invertível P cujas colunas são
vectores próprios de A: A resposta é dada no seguinte teorema:
Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n; existe uma matriz invertível P cujas
colunas são vectores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas
dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor
próprio de A coincidem:
Dos dois últimos teoremas conclui-se:
Corolário 1: Uma matriz quadrada A; de ordem n; é diagonalizável se e só se a soma das
multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébrica
e geométrica de cada valor próprio de A coincidem:
Corolário 2: Se uma matriz quadrada A; de ordem n; tem n valores próprios distintos,
então é diagonalizável.
Nota: Este último corolário não é "se e só se". Há matrizes diagonalizáveis que não têm n
valores próprios distintos.
Exemplos:
2
3
3
0 0
0 1 5 tem um único valor próprio real, 3: As multiplicidades
1. A matriz 4 0
0
1 0
algébrica e geométrica de 3 coincidem (são ambas 1), mas a soma das multiplicidades
algébricas dos valores próprios não é 3 e A não é diagonalizável.
Valores e Vectores Próprios - Matemática II- 2004/05
39
2
3
3
0
0
2
1 5, tem dois valores próprios: 3 com multiplicidade algébrica
2. A matriz 4 0
0
0
2
1 e 2 com multiplicidade algébrica 2. A soma
das multiplicidades
algébricas é 3; mas,
8 2
9
3
0
<
=
4 1 5 ; com 2 R , a multiplicidade
como o subespaço próprio de 2 é U 2 =
:
;
0
geométrica de 2 é 1. Como as multiplicidades algébrica e geométrica de 2 não
coincidem, A não é diagonalizável.
2
3
2 0
0
4 2 5 tem dois valores próprios:
3. A matriz 4 0
3 com multiplicidade al0
1
1
gébrica 1 e 2 com multiplicidade algébrica 2. A soma das multiplicidades algébricas
é 3: Os subespaços próprios são
U
e
U
2
3
8 2 3
0
<
4
2 5 ; com
=
:
1
2R
9
=
;
8 2 3
2 3
1
0
<
4 0 5 + 4 1 5 ; com ;
=
:
0
1
(
3 tem multiplicidade geométrica 1)
2R
9
=
;
( 2 tem multiplicidade geométrica 2)
pelo que as multiplicidades algébrica e geométrica dos dois valores próprios coincidem.
Conclui-se que esta matriz é diagonalizável. Neste caso, para se construir a matriz
diagonalizante P; escolhem-se três vectores próprios de A; um associado a
associados a
3 e dois
2. Para garantir a invertibilidade de P; escolhe-se, na expressão geral
dos vectores próprios, um ligado a cada um dos diferentes parâmetros que aí …guram.
A matriz diagonal D tem na diagonal os valores próprios de A, pela ordem em que
…guram, nas
2
0
4
Se P = 2
1
2
colunas de P; os vectores próprios a eles associados:
3
2
3
1 0
3
0
0
0 1 5 ; P 1 AP = 4 0
2
0 5.
0 1
0
0
2
3
2
3
4
4
2 5 tem três valores próprios distintos, por isso é diagona4. A matriz 4 0
0
0
1
lizável.