___________________________________________________________________________________ Formulário 10
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Equação diferencial linear homogénea e não homogénea de ordem n com coeficientes constantes:
y(n) + an−1y(n−1) + … + a1y’ + a0y = b(x)
com a0, a1, …, an−1 ∈ IR.
Equação diferencial linear homogénea de ordem n com coeficientes constantes
b(x) = 0
Tipo de raízes do polinómio característico
Solução particular
λn + an−1λn−1 + … + a1λ + a0
(i) Raiz real simples: λ = α
eαx
(ii) Raiz real de multiplicidade k: λ = α
k soluções:
eαx, xeαx , … , xk−1eαx
(iii) Raízes complexas simples: λ = α ± βi
(iv) Raízes complexas de multiplicidade k: λ =α ± βi
eαxcos(βx), eαxsin(βx)
k pares de soluções:
eαxcos(βx), xeαxcos(βx),…,xk−1eαxcos(βx)
eαxsin(βx), xeαxsin(βx),…, xk−1eαxsin(βx)
Solução geral:
yh(x) = A1 y1(x) + A2 y2(x) + …+ Anyn(x),
com A1, …, An constantes arbitrárias e y1(x), y2(x) , … , yn(x) as soluções particulares encontradas.
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___________________________________________________________________________________ Formulário 10
Equação diferencial linear não homogénea de ordem n com coeficientes constantes
b(x) ≠ 0
b(x)
Solução particular yp
(i) λ = 0 não é uma raiz do polinómio característico
yp(x)= rm(x),
Caso 1
b(x) = pm(x),
com rm um polinómio de grau m
(ii) λ = 0 é uma raiz do polinómio característico de
pm(x) é um polinómio de grau m
multiplicidade k
yp(x)= xk rm(x),
com rm um polinómio de grau m
(i) λ = α não é uma raiz do polinómio característico
Caso 2
yp(x)= eαxrm(x),
b(x) = eαxpm(x),
com rm um polinómio de grau m
(ii) λ = α
com pm polinómio de grau m e α ∈ IR.
é uma raiz do polinómio característico de
multiplicidade k
yp(x)= xkeαxrm(x),
com rm um polinómio de grau m
(i) λ = βi não é uma raiz do polinómio característico
yp(x)= C cos(βx) + D sin(βx),
Caso 3
b(x) = Α cos(βx) + B sin(βx),
com C e D constantes reais a determinar.
(ii) λ = βi é uma raiz do polinómio característico de
com A, B ∈ IR..
multiplicidade k
yp(x)= xk(C cos(βx) + D sin(βx)),
com C e D constantes reais a determinar.
(i) λ = α + βi não é uma raiz do polinómio característico
Caso 4
b(x) = pm(x) eαxcos(βx) + qn(x)eαxsin(βx),
yp(x)= rl(x) eαxcos(βx) + sl(x)eαxsin(βx),
com rk e sk polinómios de grau l = max(m,n).
com pm polinómio de grau m, qn
(ii) λ = α + βi é uma raiz do polinómio característico de
polinómio de grau n e α e β ∈ IR.
multiplicidade k
yp(x)= xkrl(x) eαxcos(βx) + xksl(x)eαxsin(βx),
com rk e sk polinómios de grau l = max(m,n).
Solução geral:
y(x) = yh(x) + yp(x),
com yp é uma solução particular da equação diferencial não homogénea e yh é a solução geral da equação diferencial
homogénea correspondente.
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