Valores e Vectores Próprios - ALGA - 2004/05
20
Valores e vectores próprios
De…nem-se valores e vectores próprios apenas para matrizes quadradas, pelo que, ao longo
deste capítulo e quando mais nada seja especi…cado, A designa uma matriz quadrada de
ordem n:
De…nição
Seja
um número real. Diz-se que
coluna não nula Xn
1
é um valor próprio da matriz A se existe uma matriz
tal que AX = X. À matriz coluna X chama-se vector próprio
da matriz A associado ao valor próprio .
Exemplo:
"
1 2
2 1
#"
2
2
#
=
"
6
6
#
=3
"
2
2
#
"
; pelo que
2
2
#
é vector próprio de
"
1 2
2 1
#
associado ao valor próprio 3:
Determinação dos valores próprios de uma matriz
Pretende-se determinar
2 R para o qual exista X 6= 0n
1
tal que AX = X: Tem-se que :
AX = X ,
, AX
X = 0n
, AX
In X = 0n
1
, (A
In ) X = 0n
1
1
,
,
A expressão (1) é um sistema homogéneo cuja matriz é A
(1)
In : Como se procura uma
solução X 6= 0n 1 ; o sistema tem de ter soluções não nulas, isto é, tem de ser indeterminado.
É sabido que um sistema homogéneo é indeterminado se e só se a característica da matriz
do sistema é menor que n ou, ainda, se o determinante da matriz é nulo. Assim, os valores
próprios da matriz são os valores
tais que car (A
In ) < n; ou tais que det (A
In ) = 0:
É esta última equação, chamada equação característica de A; que se utiliza para o cálculo
dos valores próprios. O determinante de A
xIn é um polinómio denominado polinómio
característico da matriz A:
Resumindo: Os valores próprios da matriz A são as raizes do polinómio característico de
A; det (A
À matriz A
xIn ) :
xIn chama-se matriz característica de A:
Quando um valor próprio tem multiplicidade k como raiz do polinómio característico, diz-se
que tem multiplicidade algébrica k:
Valores e Vectores Próprios - ALGA - 2004/05
21
Observações:
1. O polinómio característico de A tem grau n; pelo que tem no máximo n raizes. Uma
matriz de ordem n tem, portanto, no máximo n valores próprios.
2. Uma matriz real pode não ter valores
próprios
reais. Por exemplo, as raizes do
"
#
0
1
polinómio característico da matriz
são i e i:
1
0
Exemplos:
1. Seja A =
"
1 2
2 1
#
: A matriz característica de A é
A
xI2 =
"
1
x
2
2
1
x
pelo que o polinómio característico de A é
"
#
1 x
2
det
= x2
2
1 x
cujas raizes são
#
2x
1 e 3: Os valores próprios de A são
1
3;
1e
=
2
= 3; ambos com
multiplicidade algébrica 1.
3
2
2
2
1
7
6
2. Seja A = 4 1
1
0 5 : O polinómio característico de A é
3
1
1
2
6
det 4
2
x
1
3
2
1
x
1
3
1
0
1
x
7
5 = 2x
x3 ;
p
p
p
que tem como raizes 0; 2 e
2: Os valores próprios de A são 1 = 0; 2 = 2 e
p
2; todos com multiplicidade algébrica 1.
3 =
2
3
1 1 1
7
6
3. A matriz 4 2 2 2 5 tem polinómio característico x3 + 6x2 , pelo que os seus valores
3 3 3
próprios são 1 = 0; com multiplicidade algébrica 2, e
2
= 6; com multiplicidade
algébrica 1.
4. Valores próprios da matriz identidade: A matriz identidade In tem como matriz
característica a matriz In
xIn ; que é uma matriz escalar em que os elementos da
diagonal principal são iguais a 1
único valor próprio de In é
x: O polinómio característico de In é (1
= 1, com multiplicidade algébrica n:
x)n e o
Valores e Vectores Próprios - ALGA - 2004/05
22
5. Valores próprios de uma matriz diagonal: Se A = [aij ]n
n
é uma matriz diagonal,
a sua matriz característica é também diagonal pelo que o polinómio característico é
(a11
x) (a22
x)
(ann
x) e os valores próprios são a11 ; a22 ;
6. Valores próprios de uma matriz triangular: Se A = [aij ]n
; ann .
n
é uma matriz
triangular (superior ou inferior), a sua matriz característica é também triangular pelo
que o polinómio característico é (a11
são a11 ; a22 ;
x) (a22
x)
x) e os valores próprios
(ann
; ann .
7. Valores próprios da transposta de uma matriz A:
h
i
det A> xIn = det A> xIn> = det (A xIn )> = det (A
xIn ) :
Conclui-se que as matrizes A e A> têm o mesmo polinómio característico e, portanto,
os mesmos valores próprios.
Determinação dos vectores próprios de uma matriz
Depois de determinados os valores próprios de A; para determinar os vectores próprios associados a um determinado valor próprio
basta resolver o sistema homogéneo (A
In ) X = 0:
As soluções não nulas deste sistema são os vectores próprios da matriz A associados a :
Nota: Para um valor próprio ; o sistema (A
não nulas, pois
Exemplos:
1. A matriz A =
"
In ) X = 0 tem garantidamente soluções
foi determinado de modo a que o sistema fosse indeterminado.
1 2
#
(exemplo 1 acima) tem valores próprios 1 e 3: Vamos calcular
2 1
a expressão geral dos vectores próprios associados a cada um dos valores próprios.
=
1:
Os vectores próprios de A associados a
(A
1 são as soluções não nulas do sistema
( 1) I2 ) X = 03 1 ; ou seja, as soluções não nulas de do sistema homogéneo cuja
matriz é
A
( 1) I2 =
que tem por solução geral X = y
"
Os vectores próprios associados a
"
#
=
1 são da forma y
"
1+1
2
2
1+1
1
1
#
"
2 2
2 2
#
; y 2 R.
1
1
#
; y 2 Rn f0g.
Valores e Vectores Próprios - ALGA - 2004/05
23
=3:
Os vectores próprios de A associados a 3 são as soluções não nulas do sistema
(A
3I2 ) X = 03 1 ; ou seja, as soluções não nulas de do sistema homogéneo cuja
matriz é
A
3I2 =
"
que tem por solução geral X = y
1
1
#
"
2
2
2
2
; y 2 R.
"
Os vectores próprios associados a 3 são da forma y
2
2
2
6
2. Para a matriz A = 4 1
dos a
2
1
3
2
2
#
1
1
#
; y 2 Rn f0g.
7
0 5 (do exemplo 2 acima), os valores próprios associa3 1
1
p
= 2 são as soluções não nulas do sistema
p
A
2I3 X = 03 1
1
em que
A
p
6
2I3 = 4
p
2
2
1
3
2
1
2
0
1
1 0
6
A forma condensada desta matriz é 4 0 1
0 0
p
2
2
p2
2
+
2
6
procurados têm a expressão geral z 4
p
1
8
>
<
1
p
2
2
p
2
2
0
3
3
1
p
2
3
7
5:
7
1 5 ; pelo que os vectores próprios
7
1 5 ; z 2 Rn f0g :
9
8 1 9
1 >
>
=
=
< 3 >
6
7
2
$ 6 (exemplo
3. Para a matriz 4 2 2 2 5, eigenvectors:
;
$
0;
0
1
3
>
>
>
;
:
;
: >
1
3 3 3
1
0
3 acima) os vectores próprios associados ao valor próprio 0 têm a expressão geral
1 1 1 x
0
t^2 t^3
2 2 2 y = 0 , Solution is:
t^2
2
3 3 3 z
1 1 1
3
1
t^3
0
2
6
y4
1
3
2
7
6
0 5+z4
1
com y; z 2 R, não simultaneamente nulos.
1
3
7
1 5;
0