Solução de Exercı́cio - Prof. Eduardo F. Costa
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Exercı́cio 1. Suponha que a máquina produza (por dia) o dobro das peças que são
produzidas pela máquina 2. No entanto, 4% das peças fabricadas pela máquina 1
são defeituosas, enquando 2% das da 2 são defeituosas. A produção diária é grande
e é misturada. Uma amostra aleatória de 10 peças é extraı́da. Levante a função de
probabilidade para a variável aleatória X =número de peças defeituosas.
Solução. Obs: esta é uma generalização do exercı́cio proposto; aqui fazemos uma
dedução “informal”da distribuição binomial, usando o exercı́cio como motivação.
Denotamos as máquinas por ‘M1 ’ e ‘M2 ’ e também definimos os eventos
A = {peça vem de M1 }
B = {peça vem de M2 }
(1)
D = {peça defeituosa}
Inicialmente, vamos calcular a probabilidade de que uma peça seja defeituosa,
P(D). Dos dados, sabemos que P(M1 ) = 2P(M2 ). Claro, temos que P(M1 ) + P(M2 ) =
1; destas equações, encontramos P(M1 ) = 2/3 e P(M1 ) = 1/3. Também é dado que
P(D|M1 ) = 4/100 e que P(D|M2 ) = 2/100. Agora, empregamos o teorema da probabilidade total: P(D) = P(D|M1 )P(M1 ) + P(D|M2 )P(M2 ) = 0, 04 2/3 + 0, 02 1/3;
denotaremos este valor por
p = P(D).
Qual é o espaço amostral ‘original’? Ele é
Ω = {DDDDDDDDDD, DDDDDDDDDD̄, . . . , D̄D̄D̄D̄D̄D̄D̄D̄D̄D̄},
um conjunto contendo 210 elementos.
A variável aleatória X : Ω → ℜ é definida como sendo X = ‘n. peças defeituosas’.
Por exemplo, temos X(DDDDDDDDDD̄) = . . . = X(D̄DDDDDDDDD) = 9. Note
que a função X não é inversı́vel, já que ela leva dez elementos do espaço amostral em
apenas um elemento de ℜ. De acordo com a idéia de ‘indução de probabilidades’,
definimos, por exemplo,
P(X = 9) = P(DDDDDDDDDD̄ ∪ . . . ∪ D̄DDDDDDDDD)
= P(DDDDDDDDDD̄) + . . . + P(D̄DDDDDDDDD),
(2)
onde usamos o fato de que os eventos acima são excludentes. Sendo os eventos equiprováveis, e denotando por m(i) o número de vezes que o evento ‘i peças defeituosas’
aparece em S, temos
P(X = 9) = m(9)P(DDDDDDDDDD̄).
Considerando que os eventos são independentes (dedutı́vel do fato que a produção
diária é grande), encontramos
P(X = 9) = m(9)P(D)9 P(D̄) = m(9)p9 (1 − p).
Generalizando,
P(X = k) = m(k)pk (1 − p)10−k .
1
Generalizando ainda mais, para um número n de peças (ao invés de 10), e levando em
conta que m é dado pelo binômio
µ ¶
n
m(k) =
,
k
temos
µ ¶
n k
P(X = k) =
p (1 − p)n−k .
k
Finalmente, encontramos a função de distribuição
µ ¶
n k
p (1 − p)n−k
p(k) = P(X = k) =
k
(3)
que surge neste tipo de problema, chamada de Distribuição Binomial. A variável
aleatória X é chamada de variável aleatória binomial, neste caso.
2