Autovalores Complexos
Complemento do Livro de Álgebra Linear
[Para ser inserido no nal de Diagonalização]
Estude a Observação 7.3 da página 198. Observamos que quando alguma raiz do polinômio característico é complexa não-real podemos calcular os autovetores em C . Provamos no
teorema abaixo, para o caso 2 × 2, que se uma matriz quadrada real A possui algum autovalor
complexo não-real, então, após mudança de base, A é uma rotação seguida de esticamento em
um subespaço de dimensão 2.
n
Teorema 1 (matriz com autovalores complexos) Seja A uma matriz real 2 × 2 com um
autovalor
λ ∈ C/R
(complexo não-real).

 Então existem
r, θ ∈ R, r ≥ 0, 0 ≤ θ < π
e base
↑ ↑

{u, v} do R tais que se M = u v , então M −1 AM = Ir Rθ , onde Ir = rI é a matriz
↓ ↓
identidade vezes o fator r e Rθ uma rotação por ângulo θ .
Logo, após mudança de base, A é uma rotação seguida de esticamento com fator r .
2
Seja w ∈ C autovetor associado ao autovalor λ. Podemos escrever λ na forma polar:
λ = r(cos θ + i sen θ). Podemos escrever w = u + iv, com u, v ∈ R basta separar a parte
real da complexa. Assim Aw = λw implica (substitua) que
Prova:
n
2
Aw = Au + iAv = λw = r(cos θ + i sen θ)(u + iv) = r(cos θu − sen θv + i(sen θu + cos θv)).
Igualando partes reais e partes imaginárias obtemos que:
Au = r(cos θu − sen θv) e Av = r(sen θu + cos θv).
Utilizando a denição de M e de matriz R de rotação obtemos que AM = rM R . No
próximo parágrafo provaremos que M é inversível. Multiplicando por M dos dois lados e
como R = IR (I é a identidade para produto de matrizes), obtemos o resultado.
Note que M é inversível se, e somente se, u e v são LIs. Vamos supor por absurdo que u = kv
para algum k ∈ R. Então w = (k + i)v e portanto, w = (k − i)v = (k − i)/(k + i)w. Deixamos
para o leitor vericar que w é autovetor associado ao autovalor λ (basta tomar conjugado em
ambos lados da equação Aw = λW e, como entradas de A são reais, A = A). Assim, como λ é
complexo não-real, w não é múltiplo de w (autovetores associados a autovalores distintos são
LIs) mas vimos que w = (k − i)/(k + i)w! Contradição. CQD
θ
θ
−1
θ
θ