U N IV ERSIDADE DO EST ADO DE SAN T A CAT ARIN A U DESC
^ CIAS T ECN OLOGICAS CCT
CEN T RO DE CI EN
DEP ART AM EN T O DE M AT EM AT ICA DM AT
Exercícios sobre AUTOVALORES e AUTOVETORES
Professora: Graciela Moro
1. Encontre os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas:
(a) T : R2 ! R2 tal que T (x; y) = (2y; x)
(b) T : R2 ! R2 tal que T (x; y) = (x + y; 2x + y)
(c) T : R3 ! R3 tal que T (x; y; z) = (x + y; x
2
y + 2z; 2x + y
z)
2
(d) T : P2 ! P2 tal que T (ax + bx + c) = ax + cx + b
(e) T : M (2; 2) ! M (2; 2) tal que A ! AT
2. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das
2
2
3
2
3
2
1 2 3
1 0 2
6 0
a) A = 4 0 1 2 5 b) A = 4 1 0 1 5 c) A = 6
4 12
0 0 1
1 1 2
0
matrizes
0
2
0
1
1
0
3
0
3
0
1 7
7:
0 5
0
3. (ENADE) Uma transformação linear T : R2 ! R2 faz uma re‡exão em relação ao eixo
horizontal, conforme mostrado na …gura a seguir.
Essa transformação T
a) é dada por T (x; y) = ( x; y):
b) tem autovetor (0; 1) com autovetor associado igual a 2:
c) tem autovetor (2; 0) com autovetor associado igual a 1:
d) tem autovetor de multiplicidade 2:
e) não é inversível.
1
4. Construa uma matriz 2x2 não diagonal com autovalores 1 e
1 :
5. Encontre a transformação linear T : R2 ! R2 ; tal que T tenha autovalores
associados aos autovetores (3y; y) e ( 2y; y) respectivamente.
2e3
6. Que vetores não nulos do plano, quando cisalhados por C(x; y) = (y 3x; y) e em
seguida girados de 45o (no sentido anti-horário) …cam ampliados / reduzidos (na
mesma direção) ? Em quantas vezes ?
7. Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R3 ! R3
obtido quando se faz uma rotação de
rad em torno do eixo x; seguida de uma
1
contração de 2 :
8. Seja T : <2 ! <2 um operador linear que dobra o comprimento do vetor (1; 3) e
triplica e muda o sentido do vetor (3; 1):
(a) Determine T (x; y)
(b) Calcule T (0; 2)
(c) Qual a matriz do operador T na base f(2; 1); (1; 2)g
1 0
0 1
1 0
; v2 =
, v3 =
0 0
0 0
1 0
9. Seja T : M (2; 2) ! M (2; 2) com autovetores v1 =
0 0
associados aos autovalores
1 1
a b
mente. Determine T
:
c d
e v4 =
1
= 1;
2
=
1;
3
= 2;
4
= 0; respectiva-
10. Dada a transformação linear T : <2 ! <2 que é a projeção sobre a reta y =
Encontre os autovalores e autovetores da transformação T:
11. Considere P1 = conjunto dos polinômios de grau
x
.
2
1.
Seja o operador linear D : P1 ! P1 dado por D(p) = x:p0 +p0 .Determine os autovalores
e autovetores de D:
12. Seja A uma matriz quadrada e AT sua transposta. As matrizes A e AT possuem os
mesmos autovalores e autovetores? Justi…que sua resposta.
13. Encontre os autovalores e autovetores da transformação linear que a cada vetor v 2 R3
associa a sua projeção ortogonal no plano x + y = 0:
14. Seja T : V ! V linear
(a) Se
= 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.
(b) A recíproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora,
= 0 é autovalor de T ?
(c) Quais são os autovalores e autovetores do operador derivação D : P2 ! P2 ;
D(p) = p0 :
2
15. Sejam A; B 2 M (n; n) matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe
alguma relação entre seus autovalores? Qual?
16. Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V ! V
associados a um autovalor é um subespaço vetorial de V:
17. Discuta a veracidade da a…rmação: Se não é um autovalor de A, então o sistema
linear (A
I)v = 0 só tem a solução trivial.
18. Sejam A e B matrizes n n: Dizemos que uma matriz B é semelhante a uma matriz A
se existir uma matriz inversível P tal que B = P 1 AP: Mostre que se B é semelhante
a A, então as duas matrizes tem o mesmo polinômio característico e, portanto, os
mesmos autovalores.
19. Mostre que se B = R 1 AR e !
v é um autovetor de B associado a um autovalor
!
R v é autovetor de A associado a :
então
20. Seja T : R2 ! R2 o operador linear de…nido por T (x; y) = (7x 4y; 4x+y):Determinar
uma base de autovetores do R2 e mostre que a matriz do operador [T ] é diagonal.
21. Considere uma transformação linear T : V ! V abaixo. Se possível, determinar uma
matriz P que diagonaliza A e calcular P 1 AP:
(a) T : P2 ! P2 de…nida por T (a + bx) = (4a + 2b) + (a + 3b)x:
(b) T : P2 ! P2 de…nida por T (p(x)) = p(x + 1):
22. Veri…car se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que
diagonaliza A e calcular P 1 AP:
(a) A =
5
1
2
1
3
3
1 2 1
(b) A = 4 1 3 15
0 2 2
2
2
1 0
60 2 1
(c) A = 6
40 0 3
0 0 0
3
1
17
7
25
3
23. Considere o operador T : R3 ! R3 de…nido por T (x; y; z) = (5x + 4z; x 5y; 3z) e o
operador S : R3 ! R3 de…nido pela re‡exão através do plano : x + 2z = 0:
(a) Determine S
T:
T é diagonalizável ? Se for, encontre D e P tal que D = P 1 [S T ]P:
0
1
2 k 0
24. Determine o valor de k para que a matriz A = @0 2 1A seja diagona-lizável.
0 0 3
(b) S
3
25. Determine a de modo que a matriz A seja diagonalizável. Para o valor de a encontrado,
determine uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que P 1 AP = D:
2
3
3
2 4
1
60 1 a 0 7
7
A=6
40 0 3 4 5
0 0 0 2
26. Encontre os autovalores de A9 se
27. Calcule A10 para A =
0 1
:
2 1
3
1 3 7 11
6 0 1 3 8 7
2
7
A=6
4 0 0 0 4 5
0 0 0 2
2
28. Seja T um operador linear que preserva o comprimento do vetor v1 = (1; 0; 0); duplica o
comprimento do vetor v2 = (0; 2; 0) e inverte o sentido do vetor v3 = (0; 2; 1): Determine
o operador linear T 20 :
29. Seja T : V ! V o operador linear que tem autovalores
1 = 1; 2 = 2;
=
n
associados
aos
autovetores
v
;
v
;
;
v
respectivamente.
Sabendo que
n
n
2 3 1 2
1
6 2 7
6 7
fv1 ; v2 ;
; vn g e que [v] = 6 .. 7 ; determinar [T (v)] :
4 . 5
n
;
=
30. Veri…que se o operador T : R3 ! R3 dado por T (x; y; z) = (x + y + z; 2x + 4y + 2z; 2z)
é diagonalizável ou não. Em caso a…rmativo, determine T 22 (x; y; z) .
31. Seja A uma matriz inversível. Prove que, se A é diagonalizável, A
1
também é.
32. Seja A uma matriz 4 4 e seja um autovalor de multiplicidade 3: Se A
posto 1; A é diagonalizável ? Explique.
I tem
33. Classi…que cada a…rmação como verdadeira ou falsa. Justi…que cada resposta.
(a) Se A é diagonalizável, então A tem n autovalores distintos.
(b) Se A é inversível então A é diagonalizável.
(c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável.
(d) Se A é diagonalizável, então cada um de seus autovalores tem multiplicidade 1:
(e) Se nenhum dos autovalores de A é nulo, então det A 6= 0:
(f) Se u e v são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos
1 e 2 ; então u + v é um autovetor de A associado ao autovalor 1 + 2 :
(g) Se v é autovetor dos operadores T : V ! V e S : V ! V então v é autovetor do
operador T + S:
4
34. Mostre que se é autovalor de uma matriz inversível A associado ao autovetor v; então
1
é autovalor de A 1 associado ao autovetor v:
ALGUMAS RESPOSTAS:
p
p
p
p
1. a) Para 1 =
2 tem-se v1 = (
2y; y) e para 2 = 2 tem-se v2 = ( 2y; y)
p
p
p
b) Para 1 = 1 + 2 tem-se v1 = 22 y; y e para 2 = 1
2 tem-se v2 =
c) Para 1 = 2 tem-se v1 = (x; 3x; x); para
3 = 2 tem-se v3 = (y; y; y)
2
1
=
2
= 1 tem-se p1 (x) = ax2 +bx+b e para
e) Para
1
=
2
= 1 tem-se A1 =
2. a) Para
1
=
2
=
3
2
y; y
2
1 tem-se v2 = ( 2z; 4z; z) e para
=
d) Para
a b
e para
b c
p
2
4
=
=
1 tem-se p2 (x) =
1 tem-se A2 =
0
c
bx+b
c
0
= 1 tem-se v1 = (x; 0; 0)
b) Para 1 = 1 tem-se v1 = ( z; 2z; z); para
3 = 3 tem-se v3 = (x; 0; x)
1
x; 0; x; 0 ; para
c) Para 1 = 1 tem-se v1 =
3
1
x;
0;
x;
0
=
6
tem-se
v
=
3
3
4
2
= 1 tem-se v2 = ( x; x; 0) e para
2
= 1 tem-se v2 = (0; t; 0; t) e para
3. letra c)
4.
5. T (x; y) = ( 6y; x + y)
p
6. Para 1 = 23 2 tem-se v1 = x; 35 x e para
7. Para
1
=
2
=
a b
c d
tem-se v1 = (x; 0; 0) e para
29x 15y 15x+21y
; 8
8
8. a) T (x; y) =
9. T
1
2
=
2
a+c d
2c 2d
11
24
51
8
c)
=
2
p
=
2 tem-se v2 = (0; y)
3
=
1
2
tem-se v2 = (0; y; z)
51
8
175
24
b
0
10. Para
1
= 0 tem-se v1 = (2y; y) e para
11. Para
1
= 1 tem-se p1 (x) = a e para
= 0 tem-se v2 = (x; 2x)
2
2
= 1 tem-se p2 (x) = b + bx
12. Para concluir que os autovalores são os mesmos, mostre que A e AT tem o mesmo
polinômio característico.
13. Para
14. c)
1
= 0 tem-se v1 = (x; x; 0) e para
2
= 0 ) p(x) = 0
15.
16.
5
=
3
= 1 tem-se v2 = ( y; y; z)
17. Verdadeiro
1
18. Partir da hipótese A = P BP
1
;1
2
=
20.
21. a)
; ( 2; 1) e [T ] =
= f( 1; 1); (2; 1)g e D =
b) Não existe base para
2
0 2
4
22. a) Não
b) P = 1 1
2 2
23. a) (S
T )(x; y; z) = (3x; x
e mostrar que det(A
2
1
61
25. a = 4; P = 6
40
0
2 1533
1 256
1
6
0
512
26. A9 = 6
40 0
0 0
27. A10 =
15
16
4
1
3191
128
3
256
342 341
682 683
0
0
2 0
0 5
a qual exita a matriz diagonalizadora P .
3
1
05
c) Não
1
5y; 4x
3
2
0
1
7
6
27
0
eD=6
5
4
1
0
0
0
3
107909
1
0
0
0
5z)
0
2
0
0
4
38229
8
7
7
1024 5
512
28. T 20 (x; y; z) = (x; 1048576y
2 3
1
647
6 7
6 7
29. [T (v)] = 6 9 7
6 .. 7
4.5
n2
I):
1 0
0 9
b) Para 1 = 0 tem-se v1 = (0; y; 0); para
5 tem-se v3 = (0; y; y) e
3 =
24. k = 0
I) = det(B
2097150z; z)
33. F F F F F V V
6
0
0
3
0
2
= 3 tem-se v2 =
3
0
07
7
05
3
2z;
7
z; z
3
e para