Autovetores e autovalores
Esta aula refere-se ao desmembramento de matrizes em produto de matrizes.
São exemplos disso as decomposições LU e QR. Toda matriz simétrica pode
ser escrita em forma fatorada, A = U . D .U^t, ou seja, como u produto de uma
matriz ortogonal U, uma matriz diagonal D e a transposta de U (U^t).
Essa fatoração é a chave para muitos cálculos com matrizes e sua decomposição é muito útil.
Para fatorarmos uma matriz esta deve ser simétrica ou quadrada.
A utilidade da fatoração de matrizes se evidencia na mudança de base que a originou e resulta
em determinar uma simples matriz que expressa a ação das novas coordenadas. Assim, vamos
discutir a equação Ax =
.Essa equação está muito presente na Álgebra e se ela tiver uma solução
diferente da trivial x, podemos dizer que é um autovalor de A e que x é um autovetor associado a A.
APLICAÇÕES
Os Autovetores e autovalores aparecem em aplicações envolvendo vibrações: elas surgem em
Aerodinâmica, elasticidade, Física Nuclear, Mecânica, Engenharia Química, Biologia, e especialmente
na solução de Equações Diferenciais Lineares.
AUTOVETORES E AUTOVALORES
Vamos iniciar com a equação Ax =
.
Admitindo que a equação acima tenha uma solução não trivial o problema é encontrar um
autovalor
(um escalar), tal que exista um autovetor x, para que a matriz quadrada n x n apresente
esta solução.
DEFINIÇÃO: Seja uma matriz quadrada nxn e um autovalor
(ou valor característico) de A, se
existe um vetor não nulo capaz de satisfazer a equação Ax =
, então o vetor x (autovetor ou
vetor característico) associa-se a .
A equação Ax =
pode ser escrita na forma (A -
Considerações sobre a equação: (A 1)
I) x = 0 (Equação característica)
I) x = 0
Somente será um autovalor de A se a equação característica tem solução não trivial.
2) A equação característica terá uma solução não trivial se e somente se, ( A o determinante de (A - I) deverá ser igual a zero.Det (A - I) = 0
A partir deste determinante, obtemos um polinômio de grau n na variável
P(
) = det (A -
I)
I) é singular e
.
(Polinômio Característico)
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Exemplo 1: Dada a matriz quadrada
e
, verificar se x é um
autovetor desta matriz e a qual autovalor se associa.
Então:
=3x, logo
=3 e
é um autovetor
associado ao autovalor
.
Exemplo 2: Dada a matriz quadrada
, determine seus autovalores e
autovetores.
Assim,
=2 e
=3 (autovalores)
Autovetores associados
Para
= 2 , temos:
Como na terceira equação implica em y = 0 e na segunda x = 0 então o autovetor associado
do tipo v = (0, 0, z), ou seja, (0,0,1).
Para
= 3 e Av = 3v
Tanto na primeira como na segunda equação temos que x = - 2y e na terceira equação temos
que z = y então o autovetor associado é do tipo v= (-2 y, y, y), ou seja, pertencem ao subespaço (-2,
1, 1).
Portanto: ao autovalor = 2 corresponde o autovetor v = (0,0,1) e, ao autovalor
corresponde o autovetor v = (-2, 1, 1)
Exemplo 3: Encontre os autovalores e autovetores associados da matriz A.
=3
A equação característica é:
Logo o autovalor de A é
(A - I) x = 0
=1 . Para encontrar o autovetor associado basta resolver a equação:
(A - 1I) x = 0
Logo qualquer múltiplo de (1,0), é um vetor associado a
Com (A - 1I) =
para o único autovalor
.
tem espaço de anulamento com base (1,0), assim todo autovetor
=1, é um múltiplo de (1,0).
Não existe uma base de autovetores, portanto este é um exemplo de matriz não
diagonalizável.
Quiz
1
Encontre os autovetores e autovalores de
v = (-2,1) é o autovetor associado a
=-4
v = (-1,3) é o autovetor associado a
=-3
v = (2,1) é o autovetor associado a
=4
v = (1,3) é o autovetor associado a
?=3
v = (-2,1) é o autovetor associado a
=-4
v = (-1,3) é o autovetor associado a
?=-3
v = (2,1) é o autovetor associado a
v = (-1,3) é o autovetor associado a
=4
?=-3
Referências
Boldrini, José Luiz et al.Álgebra Linear: 3 ed. São Paulo: Haper & Row do Brasil,1980. P.185 a 186.
Carlen, Eric. A.; Carvalho, Maria da Conceição; Álgebra Linear: desde o início. Tradução de José
Rodolfo Sousa. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Lawson, Terry. Álgebra Linear . tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 1997.
P. 199-204.
Steven, Leon J. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações.Tradução: Valéria de Magalhães Iorio.
Rio de Janeiro: LTC, 1999. P. 212- 215.