1
FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
ROBSON GAEBLER
O USO DA INTERPOLAÇÃO EM UMA ATIVIDADE DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
UNIÃO DA VITÓRIA
2011
2
ROBSON GAEBLER
O USO DA INTERPOLAÇÃO EM UMA ATIVIDADE DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso para
obtenção parcial de título de licenciado pleno
em Matemática pela Faculdade Estadual de
Filosofia, Ciências e Letras – FAFIUV sob a
orientação
do
professor
Nicolau Stelmatchuck.
UNIÃO DA VITÓRIA
2011
Doutor
Simão
3
Dedico esse trabalho aos meus pais Rudi Gaebler e Dinorá
Marçal Gaebler aos meus irmãos Rafael e Elisângela e para
minha fiel companheira Jaqueline.
4
AGRADECIME
TOS
Os agradecimentos iniciais são aos meus pais, Rudi Gaebler e Dinorá Marçal Gaebler
pela compreensão, paciência e dedicação em oferecer-me o tesouro mais precioso do homem,
o conhecimento. E por estarem o tempo todo ao meu lado me ajudando e confiando na minha
recuperação do acidente. Aos meus irmãos Rafael e Elisângela por sempre incentivarem meus
estudos, e pela paciência de estarem ao meu lado o tempo todo. De um modo geral agradeço
pela corrente positiva de todos no momento difícil que passei no hospital.
Agradeço a todos os professores que auxiliaram de alguma maneira em minha
formação acadêmica, em especial aos professores Simão, Áureo, Israel e a professora
Michele.
Em especial agradeço a Jaqueline pela paciência, motivação e companheirismo que só
ela poderia dar.
5
ão nos tornaremos matemáticos, mesmo que decoremos todas
as demonstrações, se o nosso espírito não for capaz, por si, de
resolver qualquer espécie de problema.
René Descartes
6
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 11
2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS..................................................................................................... 13
3 PROPOSTA DE ENSINO ................................................................................................................. 15
3.1 Justificativa ................................................................................................................................. 15
3.2 Proposta de Atividade ................................................................................................................. 15
3.3 Cálculo de Volume de um Sólido de Revolução......................................................................... 17
3.4 Formulação de um plano para a resolução do problema ............................................................. 18
3.5 Interpolação Polinomial .............................................................................................................. 20
3.6 Interpolação Forma de Lagrange................................................................................................. 23
3.7 O uso de tecnologias da informação e comunicação ................................................................... 24
3.8 Algoritmo para interpolação de n pontos na forma de Lagrange para ser executado no Scilab
5.2.2 ................................................................................................................................................... 25
3.9 Uma possível execução do plano de resolução do problema ...................................................... 27
3.10 Cálculo do Volume do Morro do Cristo.................................................................................... 31
3.11 Etapa da verificação dos resultados obtidos .............................................................................. 32
4 CONCLUSÃO ................................................................................................................................... 33
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 34
BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................... 35
7
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 -
Foto retirada do Morro do Cristo........................................................
17
Figura 2 -
Representação gráfica da curva f(x), no qual ocasiona um sólido....
19
Figura 3 -
Foto do morro do Cristo inserida no GeoGebra................................
21
Figura 4 -
Primeiro polinômio característico do contorno do morro...................
33
Figura 5 -
Segundo polinômio característico do contorno do morro..................
34
8
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 -
Primeira série de pontos para o contorno do morro.............................
32
Tabela 2 -
Segunda série de pontos para o contorno do morro.............................
33
9
RESUMO
Acredita-se que um ensino mais significativo dos objetos matemáticos parte quando os alunos
passam a resolver problemas. Neste trabalho é apresentada uma atividade para formação
inicial de professores de Matemática neste modelo, em tal atividade se inicia o estudo de
interpolações polinomiais com a integração do software livre Scilab. Com o foco do problema
apresentado pode-se tornar através da matemática aplicada um significado maior para o
estudo de Interpolação visto no curso de Cálculo Numérico e também para outros objetos
vistos de forma mais tradicional nos cursos de Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, e
Álgebra Linear.
Palavras chaves: Interpolação, Software Livre, Resolução de Problemas
10
ABSTRACT
It is believed that a more meaningful teaching of mathematical objects part when students
begin to solve problems. This work presents an activity for initial training of teachers of
mathematics in this model, such activity begins the study of polynomial interpolation with the
integration of the free software Scilab. With the focus of the presented problem can become
applied mathematics through a greater significance for the study of interpolation seen in the
course of numerical calculation and also for other objects seen in a more traditional courses
in Calculus, Integral Calculus, and Linear Algebra .
Keywords: interpolation, free Software, troubleshooting
11
1 I
TRODUÇÃO
Ao assumir que o papel do educador é oportunizar conhecimento para seus alunos,
D’Ambrosio (1996) aponta como conhecimento os esforços praticados por indivíduos para
encontrar explicações, formas de lidar e conviver com o meio. Logo, para desenvolver
conhecimento matemático se faz necessário o ato de criar e analisar. Acredita-se que um
problema, ainda que simples, pode ocasionar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à
curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução.
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de
descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas
se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o
resolver, por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da
descoberta. (POLYA, 1995, p.5)
Para que a atividade possa propiciar um ambiente motivador é adotada uma postura no
qual o aluno é inserido em uma situação problemática, assim ele pode vivenciar uma situação
matemática em seu contexto diário. Aqui apresento uma atividade no qual a matemática é
inserida em um contexto diferente àquele geralmente apresentado pelos professores.
Quando uma nova situação é apresentada ao aluno é natural que esse se sinta
incomodado e até mesmo preso a antigos valores de ensino. Para que esse tipo de situação
seja amenizado, as práticas docentes devem ser adequadas. Entretanto, as atividades que
consistem um novo sistema de ensino devem vir formuladas de tal modo que o aluno se sinta
motivado e capacitado em desenvolver suas apreciações.
A atividade apresentada neste trabalho consiste basicamente em encontrar o volume
aproximado, através de uma imagem, do Morro do Cristo localizado na cidade de União da
Vitória no estado do Paraná. O que se pretende é discutir, a luz da educação matemática, uma
maneira de inserir essa atividade em sala de aula, destacando objetos matemáticos que são
desenvolvidos no decorrer do desenvolvimento da situação exposta.
Desenvolvemos neste trabalho uma linha de raciocínio que visa a auxiliar o trabalho
do professor na resolução do problema. Longe de querermos dar um caminho fechado,
simplesmente, adotamos uma postura de orientação, até o ponto de construirmos um
algoritmo para encontrar o polinômio pelo processo de interpolação.
12
13
2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Quando o aluno é inserido em um ambiente no qual ele passa a enfrentar situações que
confrontem sua sensatez, procedimentos são adquiridos para enfrentar tal situação. Resolver
um problema faz com que o aluno se insira nesse tipo de contexto. Uma vez que
procedimentos serão adquiridos quando esses passarem a desenvolver estratégias e heurísticas
para solucionar o problema proposto. São numerosos os casos em que podemos constatar a
construção do conhecimento matemático a partir da busca da solução de um problema.
A História da Matemática está repleta de exemplos da força motivadora que alguns
problemas podem ter, de modo que podemos afirmar: a Matemática não é infalível
ou inquestionável; não está pronta e totalmente estruturada. Ela se desenvolve pela
prática da crítica e da dúvida e move-se a partir de conhecimentos anteriores, em
busca de novos conhecimentos necessários à solução de novos ou antigos, mas não
resolvidos, problemas. (Allevato, 2005, p.38)
Assim sendo, podemos crer que problemas proporcionem o senso de curiosidade e
despertem interesse maior do aluno para com a matemática. Ao mesmo tempo quando esses
passam a resolver tais situações desenvolvimentos cognitivos são adquiridos, tais eles como
criatividade, raciocínio, conceitos e a própria formalidade da matemática como um todo.
Problemas não são chamados de ‘problemas’ se o resolvedor não necessita
identificar situações matemáticas, ou seja, se ele pode resolver o “problema”
utilizando um simples modelo de resolução de outro já resolvido. Tais problemas
não passam de meros exercícios, já que podem ser numerosos, não necessitam da
interpretação do enunciado e envolvem um único conteúdo e uma única
metodologia. Esses proliferam em muitos livros didáticos.” (Medeiros, 2007, p.10)
Tal definição reforça a ideia de que problema tem enunciado e que necessariamente
provoca no resolvedor a necessidade de identificar que situações matemáticas, que estratégias
são adequadas à solução do problema.
Para se resolver um problema Polya (1995) nos atenta a algumas etapas importantes ao
processo do desenvolvimento cognitivo:
• Analisar e Compreender o problema: Para isso é necessário que o enunciado do
problema esteja de forma clara e compreensível para existir a possibilidade de
desenvolvimento deste;
• Elaborar um plano/estratégia para resolver o problema: A partir desse momento
existe a possibilidade de um mesmo problema ser resolvido de forma distinta por um mesmo
14
indivíduo, uma vez que a sua estratégia influencia no método a ser resolvido o problema.
Também se destaca a ideia de que experiências anteriores em resolução de outros
problemas influenciam na forma de desenvolver a resolução de um novo problema;
• Executar o plano de resolução: Uma vez definido o plano para resolver o
problema, a execução do problema é o momento de efetuar cálculos e desenvolver algoritmos;
• Verificação do Resultado obtido: Momento importante, se não o mais
importante, do desenvolvimento da resolução. Agora é o momento de reflexão daquilo que foi
feito, de detectar possíveis erros e validar o resultado obtido com aquilo que foi proposto no
enunciado do problema.
Apesar de muitas estratégias poderem resolver o mesmo problema, vemos que uma
orientação é necessária em tais atividades. Sem tal direcionamento a eficácia da metodologia
pode ficar comprometida por vários aspectos, como por exemplo, divagações infrutíferas e
tempo restrito para a resolução do problema.
O processo de construção da identidade do professor ocorre das experiências e práticas
cotidianas do mesmo. Esses saberes são desenvolvidos durante a formação inicial, em outras
formas de formação continuada e durante sua prática. Não se defende aqui que a quantidade
de cursos de formação continuada está vinculada com uma prática pedagógica significativa.
Ou seja, colocar os estudantes, futuros professores, em contato com a atividade de ensinar e
prepará-los para o exercício desta atividade constitui um dos objetivos da Licenciatura. Logo,
para habilitar futuros professores a praticarem resolução de problemas com seus alunos, esses
necessitaram vivenciar em sua formação inicial tal metodologia, de modo que um
determinado objeto matemático tenha sido vivenciado através dessa prática pedagógica.
É razoável supor que, o professor que em sua formação inicial passou por atividades
de resolução de problemas, tenha mais facilidade em aplicar essa metodologia na sua prática
docente.
15
3 PROPOSTA DE E
SI
O
3.1 Justificativa
Para o professor efetivar um ambiente propício para a resolução de problemas em sua
prática pedagógica, é importante que este seja familiarizado com etapas desse processo e o
próprio também tenha passado por situações nas quais um problema acarretou o
desenvolvimento de aprendizagem de um determinado objeto matemático. Para que isso
ocorra é importante que durante sua formação inicial, determinados conteúdos venham a ser
abordados por metodologias de resolução de problemas.
Na formação inicial de professores de Matemática, encontra-se no Cálculo Numérico,
um momento propício para problematizar situações as quais o desenvolvimento de ajuste de
curvas pode ser empregado. Logo, se acredita que este é um importante momento para
vivenciar a prática pedagógica de resolução de problemas, uma vez que é possível resgatar
conteúdos já abordados anteriormente e discutir a luz dessa metodologia um novo objeto de
estudo.
3.2 Proposta de Atividade
Por meio de um problema em aberto, ou seja, aquele no qual o enunciado não se tem
uma estratégia para sua resolução. Busca-se por intermédio das investigações dos alunos
iniciar um novo objeto de estudo: o ajuste de curvas. O problema consiste em determinar o
volume do morro do Cristo, por meio de uma foto retirada deste local, figura 1.
– Fotodoretirada
doCristo
Morro
Figura Figura
1- Foto 1retirada
Morro do
Fonte - O autor (2011)
Fonte: O autor.
do Cristo
16
A etapa de análise e compreensão do problema é desenvolvida de forma gradativa.
Assim, o problema é proposto e a imagem é fornecida, podendo também o professor estimular
seus alunos a fotografarem outra imagem, em um ângulo distinto do fornecido inicialmente.
Isso pode ocasionar debates significativos pelos alunos, uma vez que com imagens distintas o
resultado obtido também pode ser distinto.
Considerações distintas formuladas pelos alunos podem ocorrer, para que a
compreensão do problema se efetive de forma eficiente nos futuros professores, é aceitável
que o professor questione seus alunos com indagações no qual vão auxiliar esses na
compreensão do problema, dando assim condições paras os aprendizes saberem o que fazer.
Na etapa da elaboração de um plano para a resolução, ideias podem surgir com o
desenrolar da compreensão do problema exposto. Se o indivíduo já passou por situação
semelhante, ou seja, por outra situação de resolução de problema, essas experiências
adquiridas anteriormente podem auxiliar na elaboração de um plano. Logo, se conclui que
diferentes planos podem surgir no mesmo problema exposto a turma. Como o ambiente de
formação inicial de professores, é bastante aceitável admitir que conceitos já abordados
anteriormente na sua formação sejam utilizados e tratados de forma aplicável neste problema.
Isso ocorre de forma natural quando os alunos expressam suas heurísticas da situação
problemática, se isto não ocorrer o papel do professor é mediar à situação de tal maneira que
conceitos já abordados anteriormente venham a ser relembrados e até mesmo usados na
situação.
Uma possibilidade de resolução do problema a surgir é o levantamento da hipótese de
que o morro do Cristo seja um sólido. Logo, conceitos abordados anteriormente na sua
formação podem ser empregados em tal situação. Existe também a possibilidade de se
considerar que o morro seja representado por uma superfície. Supondo esse último caso, ou
seja, supondo o morro como uma superfície, teríamos que possuir uma imagem
tridimensional. Desta maneira o aluno poderia utilizar a Integral dupla, dado por integração
em várias variáveis. Entretanto, fica a questão “como identificar tal superfície?”. Existe a
possibilidade que o aluno identifique uma grande dificuldade neste momento, cabendo assim
ao professor o dever de auxiliar, se assim for o caso, propondo uma hipótese simplificadora da
situação, ou seja, olhar a situação como sendo um sólido de revolução. E, assim, se espera o
questionamento de como calcular o volume de um sólido de revolução?
17
Aqui vemos a oportunidade do professor relembrar os conceitos de cálculo diferencial
e integral de uma variável, pois para calcular o volume de um sólido de revolução basta que
encontremos uma curva geratriz. A seguir
seguir relembremos tais conceitos, os quais são retirados
de Guidorizzi (2001).
3.3 Cálculo
lculo de Volume de um Sólido de Revolução
Seja uma função contínua no intervalo , com x 0 nesse intervalo.
intervalo Toma-
se o conjunto obtido pela rotação em torno do eixo ,, do conjunto ( do plano limitado
pelas retas a e b,, pelo eixo x e pelo gráfico , observado na figura 2.. O objetivo é definir o
volume V de .
Sendo uma partição de , temos então : # # com e sendo os pontos de máximo e mínimo respectivamente de em # , #) .
Figura 2 – Representação gráfica da curva f(x)
Fonte - O autor (2011)
Relembramos que a integral é dado por:
&
'
#
lim " # Δ# .
!
18
Como * + , Δ representa o volume do cilindro de altura ℎ. E *, + , Δ representa o volume do cilindro de altura ., ou seja, nesse caso o cilindro
maior que extrapola a função . Logo, se pode afirmar que o volume * do sólido gerado pelas
retas , e pela função é aproximado por:
#
#
" + , Δ ≤ * ≤ " + , Δ .
/
/
Usando a definição de integral concluímos que o volume da região delimitada pelas
retas , e pela função é expressa por:
1
&
* + , .
'
, , no intervalo 1,2.
Exemplo 1: Determine o volume do sólido de revolução, obtido pela rotação da curva
que
Aplicando a fórmula (I), e sendo , com o intervalo definido em 1,2, vemos
,
* + , , .
Efetuando o cálculo e isolando a constante +, tem-se
Como a primitiva de 5 é dada por
então
* + 4 5 .
,
6
,
5
*
8
6
+.
3.4 Formulação de um plano para a resolução do problema
Nem mais fácil e nem menos importante que as outras etapas, é o papel do professor
oferecer aos alunos condições para formular um plano de resolução. Como já existe uma
prática na elaboração de cálculo de volume e área em sólidos de rotação esse momento é
“amenizado”, entretanto outro problema surge também nessa etapa: como determinar uma
19
função que descreva o contorno do morro do Cristo? Dado que é fornecido aos alunos, futuros
professores, a imagem do morro do Cristo, figura 1. O aluno poderá pensar em inserir a
imagem num plano cartesiano e assim determinar pontos nos quais contornem sua forma,
fazendo assim que tais pontos pertençam a uma curva característica de seu contorno. Caso
nenhum aluno expresse tal ideia, porém tendo em vista o tempo e a precisão, o professor pode
induzir tal idéia e oferecer aos alunos algum software de plotagem, tal como GeoGebra,
observamos esse procedimento na figura 3.
Figura 3 – Foto do morro do Cristo inserida no GeoGebra
Fonte - O autor (2011)
contorno do morro do Cristo? Os alunos podem encontrar uma tabela de dados , 9 com
Busca-se uma resposta para o problema: como determinar uma função que descreva o
: 1, … , < que geralmente é representado visualmente por meio de um gráfico, figura 3.
Disso, se espera que haja uma relação entre as variáveis , 9 de tal modo que seria expressa
por uma função 9 .
Ao observar a figura 3, o professor, se for o caso, pode induzir os alunos a ver que
∀ ∈ ? existe um único ∈ @, e questionar como se descreve a curva geratriz. Aqui é
esperado que o conceito de função entre na discussão. A pergunta natural que poderá surgir é:
como descrever tal função? Acredita-se que neste momento os alunos vão encontrar
dificuldade, pois a definição de função esta bem posta, porém uma expressão algébrica é de
20
difícil verificação. Assim, o momento é ideal para o professor iniciar o estudo de ajuste de
curvas.
Como a situação problema requer que encontremos uma função que represente o
∈ ?, a utilização da interpolação se torna favorável ao momento. Contudo como existem
contorno do morro do Cristo, e não requer que encontremos alguma previsão para um dado
diferentes formas de interpolação, entre elas lineares, logarítmicas e polinomiais cabe ao
professor direcionar a escolha dos alunos ao formularem a hipótese de que tipo de função
pode caracterizar o contorno do morro do Cristo. Uma vez que a interpolação linear não
caracteriza de forma eficiente o contorno. A polinomial para um primeiro estudo se torna mais
favorável do que a logarítmica.
3.5 Interpolação Polinomial
aproximar f(x) por um polinômio# , de grau menor ou igual a n, tal que: A Encontramos em Ruggiero (1997) que dado uma série de pontos n+1 o objetivo é
# A ; C 0,1,2,3, … , < . O professor pode passar a questionar seus alunos: existe um
polinômio que satisfaz a hipótese levantada no problema?
Se ! + ! + , ! , + + # ! # é o polinômio que representa a curva F,
então conhecendo os coeficientes ! , , , , , # podemos calcular o volume desejado. Da
hipótese estabelecemos o sistema linear:
+ ! + , ! , + + # ! # ! J !
,
#
H ! + + , + + # ! + , + , , , + + # , # , L
I
⋮
H
G! + # + , # , + + # # # # .
Sendo < + 1 o número de equações e variáveis, a representação matricial do sistema
fica da forma:
1
O
N1
N1
N⋮
M1
!
,
⋮
#
! ,
,
, ,
⋮
# ,
…
⋮
! # !
! R
O
R
# O R
Q N
Q
N
Q
, # Q . N , Q N , Q.
⋮ Q N⋮Q N ⋮ Q
# # P M# P M# P
21
! , , , , , # , de B, a matriz cujos termos são os coeficientes ! , , , , , # e de C, a
Chamemos de A a matriz cujos termos independentes são representados por
matriz dos termos dependentes ! , , , , , # . Logo, um resultado bem
conhecido de sistemas lineares, afirma que quando ST( ≠ 0 teremos uma única solução
para o sistema linear, o que resulta um único polinômio que caracterize a curva F.
Na matriz A nota-se que cada linha representa uma sequência. Alexander Theóphile
Vandermonde foi o principal matemático no estudo de matrizes com essa característica, logo
elas são chamadas de matrizes de Vandermonde.
det( ∏\ZZ − . Usaremos indução para provar que o determinante de A é não nulo.
O determinante de uma matriz de Vandermonde A pode
ser tomado da forma
Para n=2 vemos que:
1
ST ]
1
] , − .
,
Verificado para < 2 supomos que o caso vale para < − 1. Multiplicando a primeira coluna
de A por -1 e somando nas demais colunas, obtemos:
O 1
N N ,
N ⋮
N #^
M
0
, − ,, − ,
⋮
#^
, − #^
0
8 − 8, − ,
⋮
#^
8 − #^
…
⋱
…
0
R
# − Q
#, − , Q.
Q
⋮
Q
##^ − #^ P
Para zerar todos os elementos abaixo de 1 (coluna 1), multiplicamos a linha : por −
e somamos com a linha : + 1 para todo : 1, … , < − 1. Ficando assim:
0
O 1
− ,
N0
N0
, , − ⋮
N⋮
#^,
M0 , , − 0
8 − ,
8 8 − ⋱
⋮
#^,
…
8 8 − 0
R
# − Q
# # − Q.
⋮
Q
#^,
# # − P
Colocando em evidência os termos − , obtemos
1
0
, − # − `` 0
⋮
0
0
1
,
⋮
,#^,
⋱
0
1
# `.
`
⋮
##^,
22
Expandindo este determinante, pela primeira linha, aplicando a hipótese de indução
concluímos que:
det( aZ − \Z
Assim se todo elemento ! , , , , , # é diferente entre si então det( ≠ 0. Em
resumo, obtemos o seguinte teorema:
TEOREMA 1: Existe um único polinômio # de grau ≤ <, tal que # A ,
C 0,1,2, … , < desde que A ≠ Z , b ≠ C.
É importante que o professor apresente pelo menos um exemplo da situação, uma vez
se determinar os coeficientes # do polinômio.
que isso irá acarretar na percepção dos alunos quanto ao trabalho de cálculos efetuados para
Exemplo 2: Dado os pontos (2,3), (3,7), (4,12) e (6, 17). Determine o polinômio p(x)
que interpola os pontos dados.
! + 2 + 4, + 88 3
+ 3 + 9, + 278 7 L
c !
.
! + 4 + 16, + 648 12
! + 6 + 36, + 2168 17
Montando o sistema linear da situação temos:
Tomasse a forma matricial do sistema:
1
1
i1
1
1
1
Dado que a matriz quadrada i1
1
2
3
4
6
2
3
4
6
!
3
8
4
9
27
7
16 64 j . i, j i12j.
36 216 8
17
8
4
9
27
16 64 j possui determinante não nulo, assim ela é
36 216
invertível, isola-se a matriz dos coeficientes ! , , , , 8 para conseguir a seguinte solução
do sistema
!
−0,7894732
−0.3771930
i j k 1,4254386 l.
,
8
−0,1447368
23
Insere-se nesse instante a oportunidade de se tratar de algumas formas de interpolação
polinomial, tais elas como forma de Lagrange e a forma de Newton. Ou seja, existe a
possibilidade de se optar por qualquer uma das duas, nesse trabalho, abordamos a forma de
Lagrange.
3.6 Interpolação Forma de Lagrange
9 , ∀ :, : 0,1,2,3, … , <. Sejam os (n+1) polinômios de grau n dados da forma:
Considerando que se tenha n+1 pontos x0, x1, x2, x3,..., xn distintos entre si, tais que
! − − , … − # − ! − … − # ⋮
# − ! − … − #^ .
Tais polinômios podem ser chamados de polinômios de Lagrange e também podem ser
representados da seguinte forma.
1
#
a m − Z n, : 0, … , <.
e possuem as seguintes propriedades
1,
Z/!,Zo
mZ n 0
Como se deseja encontrar o polinômio interpolador # que satisfaça a condição
# 9 considera-se a combinação linear dos polinômios de Lagrange:
11
#
p# " .
/!
Assim resta determinar os coeficientes # . Tomando o ponto A , 9A tem-se:
Logo
onde
# A ! ! A + A + , , A + + # # A .
# A ! ! A ⟹ A p# A ,
A A 24
# A 9A.
Segue que
A t
Substituindo a igualdade acima em (II), temos
#
rs
s s .
#
9
# "
" 9
/!
/!
De (I) e (II) segue a expressão do polinômio interpolador de Lagrange:
#
#
# " 9 a
Definimos por fim
/!
Z/!,Zo
m − Z n
− Z v
u ∏#Z/!,Zo ^ .
m^ n
w
v
Como u 1 e u mZ n 0, ∀: ≠ b, o polinômio de Lagrange torna-se:
#
# " 9 u .
/!
3.7 O uso de tecnologias da informação e comunicação
Devido à natureza da atividade, o professor deve estar atento quando surgem
oportunidades de se trabalhar com ferramentas disponíveis no cotidiano dos alunos. Observase que, para determinar o polinômio interpolador requer um trabalho prolongado de cálculos,
ocasionando assim na fácil possibilidade de ocorrerem erros. Busca-se amenizar esse
problema com a inserção de recursos tecnológicos como o computador.
Nesse instante abre-se uma nova oportunidade de aprendizagem para o aluno
decorrente de indagações feitas por eles ou por meio de questionamentos investigativos do
professor. Como essa atividade se insere em um momento da disciplina de Cálculo numérico
se espera que os alunos, futuros professores, possuam um breve conhecimento a cerca de
softwares nos quais possam amenizar a problemática encontrada anteriormente.
25
Podemos destacar as planilhas eletrônicas, que possuem uma série de funções, entre
elas o ajuste de curva. As mais populares são a planilha eletrônica Excel que se encontra na
suíte de aplicativos da Microsoft Office e a planilha eletrônica Calc que se encontra na suíte
de aplicativos do Open Office. Tendo em vista a popularidade dessas duas planilhas
eletrônicas, os futuros professores podem vir a utilizarem tais ferramentas. Assim como nas
discussões a cerca de que ferramenta utilizar para a problemática, se abre uma oportunidade
para inserir a noção de programação para tais alunos.
Tendo em vista que a área da computação é baseada em algoritmos e noções de
métodos numéricos, assim nasce uma oportunidade do futuro professor vivenciar isso na sua
formação. Para tal processo ocorrer, pode-se dar uma noção básica do que é algoritmo e
programação, e onde isso ocorre. Devido às distintas formas de linguagem de programação e
de compiladores existentes, o direcionamento do professor para um determinado ambiente
numérico se faz bastante significante.
Através da forma de Lagrange o aluno pode escrever um algoritmo para ser executado
no ambiente numérico livre Scilab em sua versão 5.2.2. Assim se obtêm de forma mais prática
e segura o polinômio característico. Caso a inserção de programação não faça parte da ementa
de cálculo numérico do curso de licenciatura, pode-se optar em oferecer um algoritmo pronto
ao aluno.
3.8 Algoritmo para interpolação de n pontos na forma de Lagrange para
ser executado no Scilab 5.2.2
Abaixo descrevemos um algoritmo, de nossa autoria, para encontrar o polinômio
interpolador. A plataforma que utilizamos é o Scilab 5.2.2, pois este é um software livre, o
qual pode ser disponibilizado para qualquer aluno.
Algoritmo
n=input('Insira o número de pontos a serem interpolados')
X=input('Determine [x0, x1, x2,...,xn]=')
Y=input('Determine [y0, y1, y2,...,yn]=')
z=poly([0 1],'x','coeff');
26
r=0;
for=1:n;
c=1;d=1;
if i<>j
c=c*(z-X(j));
d=d*(X(i)-X(j));
end
end
r=r+Y(i)*(c/d);
end
disp('o polinômio interpolador é')
r
n=input ('Insira o número de pontos a serem interpolados:');
Como linguagem de algoritmos pode não ter sido abordado no curso de Licenciatura,
na sequência damos um pequena explicação sobre os comandos usados.
Input é um comando de entrada de dados, nesse momento pede-se ao usuário que
determine o número de pontos a serem interpolados
X=input('Determine [xo,x1,x2,...,xn]:');
Aqui o usuário irá determinar os valores independentes do eixo da abscissa. Em forma
de vetor.
Y=input('Determine [f(x0),f(x1),f(x2),...,f(xn):');
Posteriormente é solicitado que se insira os valores dependentes do eixo das
ordenadas, também em forma de vetor.
z=poly([0 1],'x','coeff');
poly é o comando que determina o polinômio através dos coeficientes “coeff”.
27
r=0;
for i=1:n
for é um comando de iteração, indicando que o processo do algoritmo decorre de 1 até n, que
é o número de termos a serem interpolados.
c=1;d=1;
for j=1:n
if i<>j
c=c*(z-X(j));
d=d*(X(i)-X(j));
end
end
r=r+Y(i)*(c/d);
r é a variável que guarda o resultado do polinômio interpolador.
end
disp('O polinômio interpolador é:')
Disp é o comando de saída de dados, assim como input porem esse indica o
“resultado” (saída).
r
Polinômio interpolador final gerado pelo algoritmo.
3.9 Uma possível execução do plano de resolução do problema
Seguindo a sequência proposta para resolver um problema, observamos que nos
capítulos 3 e 4 foi desenvolvido a fase de planejamento, ou seja, construímos um plano para a
resolução. Neste momento, vamos à execução do plano proposto. Aqui, cabe ressaltar que a
nossa resolução é uma forma particular e outras podem ser encontradas.
Inicialmente, devem-se determinar quais pontos serão utilizados para a interpolação e
assim determinar o polinômio . Para isso a imagem inicial do morro, representado na
figura 1, foi inserida no software Geogebra, observe figura 4, a fim de determinar com maior
28
precisão as coordenadas dos pontos, e para verificar se o polinômio interpolador se adéqua
bem ao contorno do morro do Cristo, figuras 4 e 5.
Para isso, uma possível tentativa é utilizando o algoritmo desenvolvido anteriormente,
ocorre para seis pontos a serem interpolados, como segue na tabela 1, os mesmos pontos
podem ser utilizados para o caso da utilização do Excel ou Calc.
Tabela 1 – Primeira série de pontos para o contorno do morro
x
0
3.42
7.12
10.5
13.3
15.9
f(x)
0.68
1.36
1.64
2.76
1.76
0.76
Fonte - O autor (2011)
Utilizando o algoritmo desenvolvido no Scilab, se encontra o polinômio :
0.68 + 1.5519786 − 0.7478837 , + 0.1325582 8 − 0.0094354 5
+ 0.0002309 6
29
Figura 4 – Primeiro polinômio característico do contorno do morro
Fonte - O autor (2011)
Aqui, existe uma resolução para o problema do polinômio interpolador. Podemos
então partir para a última fase da proposta de resolução de um problema: a verificação de
resultados. Aqui o professor, pode questionar o aluno sobre a validad
validade de suas escolhas, e
espera-se
se que o aluno se auto avalie sobre seus resultados.
O aluno poderá observar que a curva c representada na figura 4 não é adequada, note
que entre os dois primeiros nós,
nó entre os pontos A e B, a “barriga” de p
p
não representa de
forma adequada o contorno do morro. Na verdade apenas entre os nós C e D, D e E a curva se
comporta de forma que satisfaz a imagem. Intuitivamente,
Intuitivamente a primeira solução que se imagina
é inserir mais um ponto entre os dois primeiros nós. Determinando assim um novo polinômio
a partir de sete pontos. Com o novo ponto surge uma nova série de dados, tabela 2. Uma
alternativa é aproximar os pontos C,
C D e E. Resultando em novo conjunto de sete pontos
expostos na tabela 2:
Tabela 2 – Segunda série de pontos para o contorno do morro
x
0
1.48
3.42
7.12
10.5
13.3
15.9
Fonte – O autor (2011)
f(x)
0.68
0.96
1.36
1.64
2.76
1.76
0.76
30
O novo polinômio fica assim determinado:
0.68 − 0.1091154
1091154 + 0.35868 , − 0.13311 8 + 0.0200841
0200841 5 − 0.0013125 6
+ 0.0000307
0000307 x
Figura 5 – Segundo polinômio característico do contorno do morro
Fonte - O autor (2011)
O aluno pode observar que as alterações nos três nós surtiram efeito, todavia perde-se
um pouco de realismo
lismo entre os dois últimos nós,
nós pontos E e F. Assim, ele pode seguir
uma resolução para o cálculo do volume, utilizaremos o polinômio 0.68 −
introduzindo uma quantidade de nós que o satisfaça. Em nosso caso, com a finalidade de dar
0.1091154 + 0.35868 , − 0.13311 8 + 0.0200841 5 − 0.0013125
0013125 6 + 0.0000307 x
conseguido com a inclusão do ponto G.
Outra maneira de se obter o polinômio interpolador é utilizando planilha eletrônica
Calc. Além da resolução em si do problema, o Calc pode auxiliar na verificação de
31
resultados. Um exemplo é dado na figura 6, que pode ser observado abaixo.
Figura 6 – Polinômio característico do contorno do morro, utilizando Calc
Fonte - O autor (2011)
3.10 Cálculo do Volume do Morro do Cristo
Na formação do professor, esse momento da resolução do problema é importante para
rever objetos matemáticos e dar um significado maior para esses conceitos, e ainda
a fórmula para o cálculo de volume de um sólido de revolução, onde representa uma
proporcionar o estudo de novas abordagens dentro do Cálculo Numérico. Em (I) encontramos
função. Agora com a curva já determinada basta calcularmos o volume desse sólido.
1
Sendo a nossa escolha
&
* + , '
0.68 − 0.1091154 + 0.35868 , − 0.13311 8 + 0.0200841 5 −
32
0.0013125 6 + 0.0000307 x
De (I) segue que:
*y + 4!
0.0000307 x − 0.0013125 6 + 0.0200841 5 − 0.13311 8 + 0.35868 , −
6.z
Um cálculo simples mostra que
0.1091154+0.682.
*y 148.5532.
Como o volume do morro *{ é a metade do volume do sólido *y de revolução, basta
*y
74.2766 |<:S} S ~S: S €|~S
2
dividir esse valor encontrado por dois, resultando em:
*{ Aqui esclarecemos que a medida volume é algo a ser precisado, pois ela depende do
tamanho
da
foto
tirada
em
comparação
com
a
realidade.
|<:S} S ~S: S €|~S por um rigor matemático necessário.
Mantemos
3.11 Etapa da verificação dos resultados obtidos
O retrospecto feito por cada passo do plano elaborado se torna de grande importância
para o desenvolvimento do conhecimento, e possibilita que possíveis erros sejam detectados.
É de extrema importância verificar os resultados obtidos se esses estão de acordo com as
condições impostas pelo problema. Essa análise pode ser inicialmente feita pelo próprio
aluno, e posteriormente apresentada aos demais colegas. Isso ocasiona em um ambiente de
reflexão e discussão a cerca de outras formas de se ver o problema.
O professor tem o importante papel de lembrar, de que por mais que ele tenha
conduzido o aluno a ter uma ideia para a situação, foi o aluno que desenvolveu e analisou o
processo, ocasionando assim na satisfação do resolvedor do problema.
Na possível execução do plano de resolução apresentado neste trabalho, capítulo 5,
percebe-se que o algoritmo desenvolvido no Scilab resultou em um polinômio de igualdade
aquele apresentado pela planilha eletrônica Calc. Logo, tem-se que tal algoritmo é eficiente
para o caso, ocasionando assim em um polinômio interpolador aceitável para a situação.
33
4 CO
CLUSÃO
Quando os alunos estudam conteúdos matemáticos relacionados com o seu contexto
existe a possibilidade de gerar discussões acerca de questões sociais, entre outras. No possível
desenvolvimento da resolução deste problema, nota-se que existe a possibilidade de discussão
a cerca da utilização de softwares livres ou pagos para o desenvolvimento da atividade.
Desenvolvendo assim a possibilidade de uma visão crítica e reflexiva da situação em estudo.
Para que isso ocorra é adequado que o professor conviva com situações semelhantes na sua
formação inicial.
A adoção dessa atividade em contexto de formação inicial de professores viabiliza que
situações matemáticas já trabalhadas sejam tratadas de forma mais significativa, entre elas
destacam-se integrais, conceitos de álgebra linear e estudo de interpolação através de um
ambiente numérico.
Poderia ser feita a adoção da problemática para se achar o volume de alguma garrafa
ou algum recipiente, entretanto, a análise da forma de um morro parece ser um elemento
motivador no ensino dos objetos matemáticos destacados anteriormente.
34
REFERÊ
CIAS
ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à solução de problemas fechados:
análise de uma experiência. Tese de doutorado. Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
UNESP - Rio Claro, 2005.
D’AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Vol. 1. Rio de Janeiro. LTC. 2001.
MEDEIROS JUNIOR, R. J. Resolução de Problemas e Ação Didática em Matemática no
Ensino Fundamental. Dissertação de Mestrado, UFPR, 2007.
POLYA, G. A Arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Ed. Interciência, 1995.
RUGGIERO, M. A. G. LOPES, V. L. R. Cálculo umérico Aspectos Teóricos e
Computacionais, Makron, 2ª edição, 1997.
35
BIBLIOGRAFIA
LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. São Paulo. Harbra. 1994.
LIMA, E. L., Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2ª edição, 1996.