UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em
Engenharia
GRADUAÇÃO BAYESIANA DE TAXAS DE
MORTALIDADE E PROJEÇÃO DAS TAXAS
DE MORTALIDADE DOS PARTICIPANTES
DA FUNDAÇÃO COPEL
Aluno: Guerino Pirollo Junior
Orientadora: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior
Objetivo Geral
 Obter com base nos dados da população
exposta ao
risco de morte da Fundação Copel, probabilidades de
morte que melhor reflitam a mortalidade do grupo,
auxiliando na adoção de Hipóteses de Mortalidade a
serem usadas.
Objetivos Específicos
 Graduar as taxas de mortalidade da população exposta
ao risco através de um modelo Bayesiano não
paramétrico, comparando-as com tábuas de mortalidade
usuais.
 Projetar as taxas de mortalidade futuras do grupo,
utilizando o método de Lee-Carter e modelos Spline
penalizados (P-spline).
Conceitos Iniciais
 Estatística Bayesiana: trata-se de estimação de
parâmetros desconhecidos, agregando aos dados
conhecimentos iniciais (distribuição a priori) sobre
os parâmetros.
 MCMC: simulação estocástica de Monte Carlo via
Cadeias de Markov.
 JAGS: Just Another Gibbs Sampler
 Bootstrap: geração de amostras aleatórias com
reposição a partir de uma amostra inicial
 Força de Mortalidade:
µx,t = P(x<X<x+∆x | X>x) = [F(x+∆x)-F(x)]/1-F(x)
Tábua de Mortalidade
 É o instrumento destinado a medir as probabilidades de
vida e de morte (George King).
 Deve refletir a mortalidade da população exposta ao
risco (aderência);
 É utilizada nos cálculos atuariais - calculo de provisões,
contribuições e prêmios;
 Pode ser estática ou “geracional”, incorporando as
melhorias na mortalidade (Retangularização e Expansão
de s(x)).
Retangularização e Expansão
Graduação Taxas de Mortalidade
 É o processo de suavização das taxas brutas de
mortalidade (rx=dx/lx);
 Normalmente feito através de modelos (paramétricos) –
ajuste de rx ou µx a um modelo matemático: deMoivre,
Gompertz, Makeham e Weibull.
 Torna
as
probabilidades
de
mortes
(qx)
monotonicamente crescentes em relação às idades.
Graduação Taxas de Mortalidade
Graduação Bayesiana
 Atribui-se distribuição de probabilidade (priori) aos
parâmetros desconhecidos µx,t;
 Taxas brutas graduadas em função de µx,t ;
 Considera-se μx,t constante nos intervalos de idades,
onde: qx = 1-exp(-µx,t) ou µx,t=-ln(1-qx) (Bowers,1997);
 Assume-se que os indivíduos com mesma idade morrem
independentemente e com mesma probabilidade;
 O modelo Bayesiano adotado é não paramétrico.
Graduação Bayesiana
 Verossimilhança Poisson:
(dx,t|µx,t) ~Poisson (lx,t.µx,t), com lx,t conhecido
 Distribuição a priori do Parâmetro μx,t:
(µx,t|α,β) ~Gama(α,β) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t), com α=β=0,001 e
idades x=xl,...,xu
 Distribuição a posteriori:
(µx,t|dx,t,α,β) α Gama(µx,t|α*,β*) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t)
OBS:IR(µ) é a função indicadora, assumindo o valor 1 se
µR e zero caso contrário.
Graduação Bayesiana
 Dificuldade: restrição imposta pelo sub conjunto R ao
vetor de parâmetros µ:
µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<B}
 Especificação da priori viável computacionalmente
(MCMC) – evita integração numérica complexa na
estimação dos parâmetros µi.
 Alteração em R e suposição para os µi:
1. µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<1};
2. µ1,µ2,...,µk i.i.d. Gama (α,β), com α conhecido e
constante e β um hiperparâmetro ~ Gama (a,b).
Implementação Modelo - JAGS
 Dados: população de assistidos (aposentados)
 Restrições:
1. Idade inicial x=48 anos, com intervalos de idade
x+i-1 para i=1,...,37
2. Utilizou-se a quantidade de expostos ao risco (lx)
em cada idade x, no inicio do ano;
lx
Data
lx
Data
lx
Data
4425
01/2003
4425
01/2005
4569
01/2007
4437
01/2004
4432
01/2006
4606
01/2008
Implementação Modelo - JAGS
 Obtenção das estimativas µi(r) e qx(r), a partir de
distribuição preditiva do número de mortes
(di(r)|µi)~Poisson(li.µi), i=1,...,37 e x=48, onde:
1. i( r )
d i( r )
 ( r ) , i  1,...,37
li
2. q x( r)i 1  1  exp( i( r ) ), i  1,...,37
Implementação Modelo - JAGS
 Valores iniciais:
1. Valores iniciais (µ1(0),µ2(0),...,µ37(0)) dos par. µi’s
restrito a R, calculados a partir das tábuas AT2000,
AT83 e AT49, com µi=-ln(1-qx+i-1), i=1,...,37
2. 120.000 simulações (60.000 – burn in)
3. Intervalo entre observações (6 em 6)
4. 3 cadeias paralelas (para os µi’s das 3 tábuas)
5. Estimadores pontuais das probabilidades:
qˆ
(r )
x i 1
n
1

qx( r)i 1 , m  60.000, n  120.000, i  1,...,37

n  m r m1
Diagnóstico - CODA
Resultados e Comparação
Projeção Taxas de Mortalidade
 Modelo de Lee-Carter:
log μx,t = a(x)+b(x)k(t)+ε(x,t)
a(x):descreve a forma geral do perfil de mortalidade por
idade;
b(x):descreve o padrão de desvios do perfil da idade
conforme o parâmetro k(t) varia;
k(t):descreve a mudança na mortalidade como um todo;
ε(x,t):termo de erro aleatório
Modelos P-spline
 Spline: mecanismo usado para traçar curvas, é uma





função polinomial que aproxima pontos em um
determinado espaço.
Ajusta os pontos de forma “local”.
Podem ser ajustadas usando-se qualquer modelo de
regressão (linear, sobrevivência, logístico etc).
Nos modelos P-spline combina-se suavidade e
bondade de ajuste através de penalidades:
Grande - preferência por suavidade nos coef. βi;
Pequena – preferência por bondade de ajuste.
Modelos P-spline
 Modelo proposto - variável preditora é Ex,t e a
Variável resposta é Dx,t, com Dx,t~Poisson(Ex,t.Dx,t).
 Para descrever a relação entre μx e as variáveis x e
t, uma possibilidade é escolher um número de
funções polinomiais base b1(x,t),b2(x,t),...,bn(x,t),
representando μx como uma combinação linear:
μx ≈ β1b1(x,t)+β2b2(x,t)+...+βnbn(x,t)
BIBLIOGRAFIA
 [1] BOWERS, N.L. el al. Actuarial Mathematics. The
Society of Actuaries, 1997.
 [2] EHLERS, R.S. Métodos Computacionalmente
Intensivos em Estatísitca. Notas de Aula, Universidade
Federal do Paraná, 2004.
 [3] LEE, R.D.; CARTER, L. Modeling and
Forecasting the Time Series of US Mortality. Journal
of the American Statistical Association, v87, 419: 659671, 1992.
BIBLIOGRAFIA
 [4] NEVES, C.R. Graduação Bayesiana de Taxas
de Mortalidade. Funenseg, Caderno de Seguros –
Teses, v.10, 28, 2005.
 [5] SANTOS, R.R Técnicas de modelagem do
improvement para construção de tábuas
geracionais. Pontifícia Universidade Católica do
Rio de Janeiro, Dissertação de Mestrado, 2007.
 [6] SPIEGELHALTER, D.J. et al. Markov Chain
Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall,
London, 1997.
AGRADECIMENTOS
 Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Junior;
 Coordenador(a)
do curso: Dra Liliana Madalena
Gramani Cumin;
 A todos os professores do PPGMNE