Inferências Geográfica:
Classificação contínua
Processo Analítico Hierárquico
Inferência Bayesiana
Análise Multi-Critério
 Classificação
 Inferência
continua (Fuzzy Logic)
Bayesiana
 Suporte
a decisão
 Técnica AHP (Processo Analítico
Hierárquico)
Classificação contínua (Fuzzy Logic)
 Lógica convencional
Paradoxo insolúvel
Eu sempre minto.
Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas
diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%,
não importando as demais condições

baixa
baixa
média
Muito
baixa
1
4
0
Alta
abaixo
média
1
5
0
Alto
Acima
média
1
7
0
Muito
alta
1
9
0
2
1
0
Lógica Fuzzy
 Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica Booleana, que
tem sido estendida para manipular o conceito de
“verdade parcial”, isto é, valores compreendidos
entre “completamente verdadeiro” e “completamente
falso”.
F(z)
1
0
Verdade
F
Falso
z
Lógica Boleana
V
Verdade
1
0
F
Falso
z
Lógica Fuzzy
V
Conjuntos Fuzzy: exemplo
 Exemplo: Altura de Pessoas
 S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta:
 " a que grau uma pessoa “z” é alta?

Z : S = (z, f(z)) especialistas
f(z)
0,
se z  1.5

f ( z ) = ( z - 1.5) /0.6 se 1.5 < z < 2.1
1,
se z  2.1


Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38
ALTO
1
0.5
0
BAIXO
1.5
2.1
z
Conjuntos Fuzzy: exemplo
 Outro exemplo - Declividade
Declividade
f(z) = 0
se z  
1
f(z) = 1/[1+ (z -)2] se  < z < 
0.8
f(z) = 1
0.6
se z  
0.4
f(z) = 0
0.2
f(z) = 1/[1+ 0.025(z -40)2] se  < z < 40
0
f(z) = 1,
Mínimo ()
se z  0.025
Máximo ()
se z  40
Mapeamento para fuzzy

Na prática:
Realizar mapeamento para espaço [0,1]
 determinação de valores limites (mínimo e máximo)
 estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide
Análise Multi-Critério
f(z)
Campo de
Amostras
Grade de
valores
[0,1]
Superfície
contínua
Operadores Fuzzy : E
c = MIN (a, b, c, ......)
A, B, C, .. são os valores de pertinência nos mapas
c = A E A
A
B
0,75 0,60 0,30
0,50 0,65 0,40
0,50 0,60 0,30
0,70 0,55 0,00
0,75 0,55 0,20
0,70 0,55 0,00
0,65 0,40 1,00
0,60 0,40 0,00
0,60 0,40 0,00
Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzy
ocorrendo em cada localização.
Operador apropriado quando todas as evidências devem estar
presentes para a hipótese ser verdadeira.
Operadores Fuzzy : OU
c = Max (a, b, c, ......)
A, B, C, .. são os valores de pertinência nos mapas
c = A OU A
A
B
0,75 0,60 0,30
0,50 0,65 0,40
0,75 0,65 0,40
0,70 0,55 0,00
0,75 0,55 0,20
0,75 0,55 0,20
0,65 0,40 1,00
0,60 0,40 0,00
0,65 0,40 1,00
Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzy
ocorrendo em cada localização.
Operadores Fuzzy: Produto algébrico
c =
n
 i
1= i
onde i é a função de pertinência para o i-ésimo mapa
O valor dessa função combinada
 tende a ser muito pequeno, produto de
valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.
A
B
c
0,75 0,60 0,30
0,50 0,65 0,40
0,37 0,39 0,12
0,70 0,55 0,00
0,75 0,55 0,20
0,52 0,30 0,00
0,65 0,40 1,00
0,60 0,40 0,00
0,39 0,16
0,00
Operadores Fuzzy: Soma algébrica
n
c = 1- (1-i)
1= i
Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição
do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada
1 - A
uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50)
é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .
2
1 - A
(1 - i)
c
0,25 0,40 0,70
1 - B
0,50 0,35 0,60
0,12
0,42
0,87 0,86 0,58
0,30 0,45 1,00
0,25 0,45 0,80
0,07 0,20 0,80
0,92 0,79 0,80
0,35 0,60 0,00
0,40 0,60 1,00
0,14
0,86 0,84 1,00
1= i
0,14
0,36 0,00
 Classificação
 Inferência
continua (Fuzzy Logic)
Bayesiana
 Suporte
a decisão
 Técnica AHP (Processo Analítico
Hierárquico)
Abordagem Bayesiana
Principal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori
Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva
por ano no local.

probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365
Refinamento: dada uma certa época do ano

a posteriori : Fator época do ano (Fépoca do ano)



P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (Fépoca do ano)
Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje
P(chuva|evidência) = P(chuva) * (Fépoca do ano) * Fdia anterior * Fdia hoje
1
2
1 pode ser tratado com a priori em relação a 2
Abordagem Bayesiana - Exemplos
Ex. 1 – prospecção mineral
Anomalia geoquímica de zinco  > 250 ppm
Prob. A priori > 250 ppm
Fatores (a posteriori)
Mapa geológico
rocha A e B  favorável
rocha C e D  desfavorável
Intensidade de assinatura geofísica
Tipo de vegetação
Baseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências)
Baseado em dados
(dados históricos suficientes)
Ex. 2 – diagnostico médico
Combinação de sintomas clínicos
Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.
Combinação
Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação
1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado
mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2, e que já
tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.
2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 e ocorre somente 1 deposito
em cada celula.
Notação  N{} = contagem de unidades
N{R} = 10.000 unidades de área
N{D} = 200 depósitos conhecidos
com área de 1 km2.
Densidade de depositos
R
N{D}/N{R} = 200/10000=0.02
probabilidade a priori
P{D} = N{D}/N{R} = 0.02
A
Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação
Nova evidencia:
Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180
dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia.
P{D / A} > 0.02
P{D / A} < 0.02
Dado esta evidência, a probabilidade
pode ser expressa por:
R
A
R
AD
AD
A
DA
RA
D
Anomalia (A) = 3600 Celulas
Técnica Bayesiana
P{D / A}
é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’ dado que a
célula está dentro da área de anomalia ‘A’.
P{D∩A} = N{D∩A} / N{R}
é a proporção da área total
onde ocorre simultaneamente
R
A
deposito e anomalia.
AD
P{A} = N{A} / N{R}
AD
DA
RA
D
Técnica Bayesiana
R
A
AD
AD
DA
P{D / A} = 180 / 3600 = 0,05
P{D} = 0.02
D
RA
P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}
Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo
tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de
10.000 km2 para 3.600 km2 .
Anomalia (A)
Não Anomalia (A)
Depósito (D)
N{D∩A} (180)
N{D∩A} (20)
D (200)
Não Depósito (D)
N{D∩A} (3420)
N{D∩A} (6380)
D (9800)
N{A} (3600)
N{A} (6400)
N{R} (10000)
Técnica Bayesiana
P (posteriori) = P(priori) * (Fevidência)
Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo.
Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia ‘A’,
dado que esta célula contém um deposito?
P{A / D} = 180/200=0.9
Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}
Probabilidade a posteriori de
um depósito, dado que a célula
esta na área de anomalia
P(priori) * (Fatorevidência)
Técnica Bayesiana
P{A / D} = 180/200=0.9
P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36
0,9/0,36 = 2,5  fator multiplicativo
A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade
de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.
P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05
Técnica Bayesiana
Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada
a ausência da anomalia.
P{A / D} = 20/200=0.1
P{A} = (10000-3600)/10000=0.64
= 0,1/0,64 = 0,15625 
A probabilidade a posteriori da
ocorrência de depósitos em
posições onde não há anomalia
magnética é 0.15625 vezes
menor do que a probabilidade a
priori.
P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125
Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de
pesquisa de 10.000 km2 para 3600 km2, porque a chance de se
encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor do
que onde há anomalia.
Análise Multi-Critério
 Classificação
 Inferência
continua (Fuzzy Logic)
Bayesiana
 Suporte
a decisão
 Técnica AHP (Processo Analítico
Hierárquico)
Suporte à Decisão - Conceitos Básicos
 Decidir é escolher entre alternativas.
 Podemos encarar o processo de manipulação de dados
num sistema de informação geográfica como uma forma
de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de
estudo.
 O conceito fundamental dos vários modelos de tomada
de decisão é o de racionalidade.
Onde  indivíduos e organizações seguem um
comportamento de escolha entre alternativas, baseado
em critérios objetivos de julgamento, afim de
satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.
Suporte à Decisão - Conceitos Básicos
 Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro
passos:

Definição do problema: formular o problema como uma

Busca de alternativas: estabelecer as diferentes

Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta

Seleção de alternativas: as possíveis soluções são
necessidade de chegar a um novo estado.
alternativas (aqui consideradas como as diferentes
possíveis soluções do problema) e determinar um
critério de avaliação.
é avaliada.
ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou
agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico


Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa
decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de
cada um ?
Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na
lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.
Livro: Multicriteria Decision Making – The Analytical Hierarchy
process Pittsburg, RWS Publications , 1992

Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a
tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de
importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes
fatores, conforme uma escala pré-definida.
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
Escala de Valores AHP para Comparação Pareada
2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade
de compromissos adicionais.
AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIG
Fatores importantes:
hardware, software, serviço de vendas
Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
Passo 1Importância relativa dos fatores entre sistemas.
Critérios objetivos
Hardware
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
Sistema 1
1
4
8
Sistema 2
1/4
1
6
Sistema 3
1/8
1/6
1
A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 é
moderadamente / essencialmente preferido em relação ao
Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extrema
com relação ao Sistema 3.
Sistema 1  Sistema 1 = 1
Sistema 2  Sistema 1 = 1/4
Sistema 3  Sistema 1 = 1/8
Sistema 2  Sistema 3 = 6
Sistema 3  Sistema 2 = 1/6
Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
Passo 2-
Normalizar colunas
Hardware
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
Sistema 1
1
4
8
Sistema 2
1/4
1
6
Sistema 3
1/8
1/6
1
Total
1,375
5,167
15
Hardware
Sistema 1
0,727
0,774
0,533
Sistema 2
0,182
0,194
0,400
Sistema 3
0,091
0,032
0,067
Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores
Passo 3- Média de cada linha normalizada
 representa as prioridades para as três opções alternativas, em
relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema
Hardware
Cálculo da média
Vetor de Média
Sistema 1
(0,727+ 0,774+0,533)/3 =
0,678
Sistema 2
(0,182+0,194+0,400)/3 =
0,259
Sistema 3
(0,091+0,032+ 0,067)/3 =
0,063
Matriz de avaliação dos três fatores
Fator
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
hardware
0,678
0,259
0,063
Software
0,077
0,186
0,737
Serviço de ven.
0,653
0,251
0,096
Matriz de Comparação de Fatores
Passo 4-
Importância relativa entre os fatores.
Fator
Hardware
Software
Serviço Vendas
hardware
1
1/8
1/5
Software
8
1
6
Serviço de ven.
5
1/6
1
Total
14
1,292
7,20
Fator
Matriz normalizada
hardware
0,072
0,097
0,028
Software
0,571
0,774
0,833
Serviço vendas.
0,357
0,129
0,139
Matriz de Comparação de Fatores
Passo 5-
Pesos dos fatores.
Fator
Cálculo da pesos
Vetor de Média
hardware
(0,072 + 0,097 + 0,028)/3 =
0,066
Software
(0,57 + 0,774 + 0,833)/3 =
0,726
Serviço vendas.
(0,357 + 0,129 + 0,139)/3 =
0,208
Fator
Sistema 1
Matriz normalizada
(0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)=
0,236
Sistema 2
(0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)=
0,204
Sistema 3
(0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)=
0,559
O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é o
sistema 3. Então o mais adequado para aquisição
Consistência da seleção realizada
Para aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer
se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso o
parâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência
(RC)
A razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é
estimada pela expressão: RC = IC/IR
Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice tabelado.
IC
IC = ( -n) / (n-1) onde n é o numero de fatores
 = valor médio do vetor de consistência
Consistência da seleção realizada
Estimando IC
Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator
Hardware (tabela abaixo) foi justo
Hardware
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
Sistema 1
1
4
8
Sistema 2
1/4
1
6
Sistema 3
1/8
1/6
1
Hardware
Vetor de Média
Sistema 1
0,678
Sistema 2
0,259
Sistema 3
0,063
 = valor médio do vetor de consistência
Passo 2: Calcula-se o vetor soma ponderada
1,000 4,000 8,000
0,250 1,000 6,000
0,125 0,167 1,000
*
0,678
0,259
0,063
=
1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 =
2,218
0,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 =
0,807
0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 =
0,191
Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência
Vetor de consistência =
2,218/0,678
0,807/0,259
0,191/0,063
3,271
= 3,116
3,032
Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência
 =
(3,0271 + 3,116 + 3,032)/3 = 3,140
Razão de consistência
A razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é
estimada pela expressão: RC = IC/IR
Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatório
conforme tabela abaixo.
IC = ( -n) / (n-1) onde n é o numero de fatores
IC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070
n
IR
2
0,00
3
0,58
4
0,90
5
1,12
6
1,24
7
1,32
8
1,41
RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12
Segundo o método desenvolvido por TS, o valor
de RC deve ser menor que 0,10 para que a
decisão seja consistente
Processo AHP

Passo 1:


Passo 2:




Comparar os critérios dois-a-dois
Verificar a consistência dos dados
Compara a matriz de pesos com uma matriz aleatória
Consistente se a probabilidade da matriz ser aleatória é menor
que 10%
Passo 3:


Produzir os pesos (soma = 1.0)
Fazer uma inferência por média ponderada
A Técnica AHP - Processo Analítico
Hierárquico

Interface