2. PRODUTOS NOTÁVEIS
2.1. EXPANSÃO DE PRODUTOS
Em álgebra, é frequente termos de expandir produtos cujos fatores são expressões
algébricas (polinômios, por exemplo). Para isso, aplicamos a propriedade
distributiva da álgebra. Para recordar, a propriedade se verifica na multiplicação de
um fator por uma soma ou subtração de termos. Sendo a, b e c números reais,
variáveis ou expressões algébricas, a propriedade distributiva da álgebra nos diz que
a(b + c) = ab + ac
a(b – c) = ab – ac
(a + b)c = ac + bc
(a – b)c = ac – bc
Em outras palavras, a multiplicação de um fator é distribuída pelos termos da soma
ou da subtração do outro fator.
Exemplos:
a) (2 + x)y = 2y + xy
b) (z – 5)w = zw – 5w
c) (9 + 3)7 = 9.7 + 3.7 = 63 + 21 = 84
d) (4y – 3)t = 4yt – 3t
Lembramos que na distribuição do produto pelos termos é preciso efetuar corretamente as regras de sinais.
Exercício resolvido:
Expanda as formas abaixo empregando a propriedade distributiva da álgebra:
a) (x – 2)y
b) (x + 3y)(5 – z)
c) (x + 3y – 4)(x – 8)
d) (a + b)(a – c)(b + c)
Resolução:
a) (x – 2)y = xy – 2y
b) Para expandir este produto, aplicamos a distribuição da multiplicação de um
dos fatores para os termos do outro fator, e depois expandimos os termos
obtidos:
(x + 3y)(5 – z) =
= x(5 – z) + 3y(5 – z) =
= 5x – xz +15y – 3yz
Note que 3y.5 = 3.5y = 15y.
c) Semelhante ao caso anterior:
(x + 3y – 4)(x – 8) =
= x(x – 8) + 3y(x – 8) – 4(x – 8) =
= x2 – 8x + 3yx – 24y – 4x + 32 =
= x2 – 12x + 3yx – 24y + 32
Note que 3y(– 8) = – 24y, (– 4)(– 8) = 32 e – 8x – 4x = – 12x.
d) Para efetuar esta multiplicação com três fatores é conveniente fazer por
partes, obtendo primeiramente a multiplicação de dois fatores – por exemplo,
os dois primeiros – e em seguida substituir o resultado na expressão original
para multiplicar com o fator restante:
(a + b)(a – c) = a(a – c) + b(a – c) = a2 – ac + ba – bc
Assim, temos
(a + b)(a – c)(b + c) =
= (a2 – ac + ba – bc)(b + c) =
= a2(b + c) – ac(b + c) + ba(b + c) – bc(b + c) =
= a2b + a2c – abc – ac2 + ab2 + abc – b2c – bc2 =
= a2b + a2c – ac2 + ab2 – b2c – bc2
Note que o termos – abc e +abc se cancelam.
2.2. PRODUTOS NOTÁVEIS
Produtos notáveis são produtos comuns e frequentemente empregados na álgebra . A
memorização de suas formas expandidas, tais quais fórmulas matemáticas, é
conveniente para o seu cálculo, já que isso exige menos esforço do que empregar
diretamente a propriedade distributiva da álgebra.
Sendo x e y números reais, variáveis ou expressões algébricas, os principais produtos
notáveis são:
a) Produto da soma pela diferença:
(x + y)(x – y) = x2 – y2
Isto é, o produto da soma pela de diferença de dois números ou expressões equivale à
diferença de seus quadrados.
Essa identidade, assim como em qualquer produto notável, pode ser facilmente
verificada expandindo o produto diretamente por meio da propriedade distributiva:
(x + y)(x – y) =
= x(x – y) + y(x – y) =
= x2 – xy + yx – y =
= x2 – y2
Exemplos:
a) (2 – 3)(2 + 3) = (2)2 – (3)2 = 4 – 9 = – 5
b) (x + 4)(x – 4) = (x)2 – (4)2 = x2 – 16
c) (7 – y)(7 + y) = (7)2 – (y)2 = 49 – y2
d) (3x + 5y)(3x – 5y) = (3x)2 – (5y)2 = 32x2 – 52y2 = 9x2 – 25y2
b) Quadrado de uma soma:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Exemplos:
a) (5 + 2)2 =
= (5)2 + 2(5)(2) + (2)2 =
= 25 + 20 + 4 =
= 49
De fato, (5 + 2)2 = 72 = 49
b) (x + 1)2 =
= (x)2 + 2(x)(1) + (1)2 =
= x2 + 2x + 1
c) (3y + 4z)2 =
= (3y)2 + 2(3y)(4z) + (4z)2 =
= 32y2 + 24yz + 42z2 =
= 9y2 + 24yz + 16z2
c) Quadrado de uma diferença:
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Exemplos:
a) (5 – 2)2 =
= (5)2 – 2(5)(2) + (2)2 =
= 25 – 20 + 4 =
=9
De fato, (5 – 2)2 = 32 = 9
b) (x – 1)2 =
= (x)2 – 2(x)(1) + (1)2 =
= x2 – 2x + 1
Atenção: na aplicação das fórmulas, não devemos carregar o sinal negativo do
termo –1 para dentro dos parênteses. Isto é, não devemos escrever
(x)2 – 2(x)(–1) + (–1)2, mas (x)2 – 2(x)(1) + (1)2 , como está acima. A regra de
sinal já está contemplada na fórmula.
c) (3y – 4z)2 =
= (3y)2 – 2(3y)(4z) + (4z)2 =
= 32y2 – 24yz + 42z2 =
= 9y2 – 24yz + 16z2
d) Cubo de uma soma:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Exemplo:
(x + 1)3 =
= (x)3 + 3(x)2(1) + 3(x)(1)2 + (1)3 =
= x3 + 3x2 + 3x + 1
e) Cubo de uma diferença:
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Exemplo:
(2x – 3)3 =
= (2x)3 – 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 – (3)3 =
= 23 x3 – 3.22 x2.3 + 3.2x.32 – 33 =
= 8 x3 – 3.8 x2.3 + 3.2x.9 – 27 =
= 8 x3 – 72x2 + 54x – 27
f) Outros produtos notáveis:
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3 (este resulta numa soma de cubos)
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 (este resulta numa difrença de cubos)
4xy = (x + y)2 – (x – y)2
Há uma infinidade de outros produtos de interesse.
3. FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
A fatoração de um polinômio consiste em colocar um polinômio na forma de um
produto de dois ou mais fatores. Um polinômio em x é qualquer expressão da forma
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0
em que a são constantes reais. Se n é o maior expoente em x, dizemos que o
polinômio possui grau n.
Nem todo polinômio pode ser fatorado. Um polinômio que não pode ser fatorado é
chamado polinômio irredutível ou polinômio primo.
Podemos fatorar polinômios com a ajuda de produtos notáveis. Este é o caso dos
polinômios que correspondem à forma expandida de produtos notáveis.
Descrevemos a seguir como fatorar alguns polinômios.
a) Colocação de fator comum em evidência
Coloca-se em evidência um fator comum aos termos de um polinômio para obter a
forma fatorada.
Exemplos:
x3y + xy3 = (xy)x2 + (xy)y2 = (xy)(x2 + y2)
8x3 + 4x2 – 12x = (4x)2x2 + (4x)x – (4x)3 = (4x)(2x2 + x – 3)
No primeiro exemplo, o fator em comum aos termos é xy; no segundo é 4x.
b) Agrupamento
Agrupam-se termos do polinômio que possuem fatores em comum, e estes então são
colocados em evidência. Em geral há mais de uma forma de efetuar esse procedimento. Nem todo polinômio pode ser fatorado por agrupamento.
Exemplo:
2x3 – x2 + 4x – 2 =
= (2x3 – x2) + (4x – 2) =
= x2(2x – 1) + 2(2x – 1) =
= (x2 + 2)(2x – 1)
No primeiro passo agrupamos os termos dois a dois; no segundo colocamos os
fatores em comum em evidência (apenas dentro de cada grupo); e no terceiro
colocamos o fator 2x – 1 em evidência para obter a forma fatorada final.
c) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos
Trinômios são polinômios com três termos. Os trinômios quadrados perfeitos são o
resultado da expansão do quadrado de uma soma ou do quadrado de uma diferença de
dois termos. Para fatorar um trinômio quadrado perfeito é preciso identificar quais
são esses termos, o que é feito por inspeção.
Exemplos:
4x2 + 2x + 1 = (2x)2 + 2(x)(1) + (1)2 = (2x + 1)2
9x2 – 12x + 4 = (3x)2 – 2(3x)(2) + (2)2 = (3x – 2)2
d) Fatoração de trinômios de 2o. grau
Um trinômio que não é quadrado perfeito pode ser o resultado da expansão de dois
polinômios de 1o. grau:
(ax + b)(cx + d) = Ax2 + Bx + C
Neste caso, os coeficientes a, b, c, d procurados são obtidos a partir das relações
A = ac
B = ad + bc
C = bd
Exercício resolvido:
Fatore o trinômio de 2o. grau 2x2 – 5x – 3
Resposta:
O coeficiente A = 2 é múltiplo dos coeficientes a e c; podemos então admitir
a = 2 e c = 1. O coeficiente C = – 3 é múltiplo dos coeficientes b e d; podemos
admitir, por exemplo, b = 3 e d = – 1. Neste caso, teremos
B = ad + bc = (2)(1) + (3)(–1) = – 1,
o que está incorreto, pois B = – 5. Devemos então tentar outra solução possível
para b e d. Se admitirmos, por exemplo, que b = 1 e d = – 3, teremos
B = ad + bc = (2)(– 3) + (1)(1) = – 5,
que é o correto. De fato,
2x2 – 5x – 3 = (2x + 1)(x – 3)
e) Fatoração da diferença de dois quadrados e de dois cubos
Exemplos:
36x2 – 4 = (6x)2 – (2)2 = (6x + 2)(6x – 2)
x3 – 64 = x3 – 43 = (x – 4)(x2 + 4x + 42) = (x – 4)(x2 + 4x + 16)
Note que a diferença de dois quadrados corresponde ao produto notável de uma
soma por uma diferença. Para compreender a fatoração da diferença de dois
cubos, revise o ítem f) da seção 2.2. de Produtos Notáveis.
f) Fatoração de soma de cubos
Exemplo:
27x3 + 8 = (3x)3 + 23 = (3x + 2)((3x)2 – (3x)(2) + (2)2) = (3x + 2)(9x – 6x + 4)
Para compreender a fatoração da soma de cubos, revise o ítem f) da seção 2.2.
de Produtos Notáveis.