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RECURSO DIDÁTICO PARA O ESTUDO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Lenize Rodrigues da Conceição- UNISINOS
Carla Cristine Wittimann Chamorro-UNISINOS
Carolina Rodrigues Dias-UNISINOS
Resumo
Os Pibidianos do subprojeto Matemática – UNISINOS da E.E.E.F. Mário Sperb, em
São Leopoldo/RS, juntamente com a supervisora, desenvolvem atividades que utilizam
recursos didáticos para atribuir significado ao conteúdo algébrico e auxiliar em algumas
dificuldades da álgebra do 8º ano. Utilizamos o Material Azul e Vermelho, que é
constituído por três figuras: quadrados com 8 cm e 2 cm de lado e retângulos de 8 cm x
2 cm, com peças de cor azul e vermelha. Para utilizá-lo, definimos uma legenda, na qual
os lados que medem 8 cm correspondem à incógnita “x” e os de 2 cm, “y”. Uma das
grandes dificuldades no aprendizado de expressões algébricas consiste em decidir quais
termos podem ou não ser agrupados. A utilização do material facilita a visualização das
diferenças entre as peças. Como x³ é representado por um cubo e x² por um quadrado,
não é possível agupá-los, pois não são semelhantes. Do mesmo modo, visualizamos no
material que x²y é diferente de xy². O material possibilita fazer montagens de
retângulos, cubos e paralelepípedos para explorar multiplicação de monômio por
monômio, quando todas as peças utilizadas são iguais ou monômio por polinômio,
quando são diferentes. Também são trabalhados os conceitos de produtos notáveis e
alguns casos de fatoração. Acompanhando as aulas da supervisora, percebemos que
através desse material, os alunos demonstraram motivação e interesse em participar da
aula e resolver os problemas propostos. Além disso, verificaram que não se pode
agrupar figuras não semelhantes, evitando erros. Como não conseguimos atribuir
significado a todas as situações, é importante aproveitar aquelas que possam servir de
ancoragem para as demais.
Palavras-chave: matemática; geometria; álgebra.
1 Introdução
Os Pibidianos do subprojeto Matemática – UNISINOS da Escola Estadual de
Ensino Fundamental Dr. Mário Sperb, em São Leopoldo/RS, juntamente com a
supervisora, desenvolvem atividades que utilizam recursos didáticos para atribuir
significado ao conteúdo algébrico. Com o objetivo de auxiliar em algumas das
dificuldades mais comuns da álgebra do 8º ano, nossa supervisora decidiu utilizar o
Material Azul e Vermelho em suas aulas.
Para dar significado ao estudo de expressões algébricas a supervisora abordou,
num primeiro momento, o uso dos conceitos de perímetro e área de figuras geométricas
planas e, posteriormente, de volume de blocos retangulares.
Esse encaminhamento é feito a fim de ampliar a compreensão do trabalho
algébrico, pois os alunos encontram dificuldades principalmente nas operações entre
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polinômios. Por meio do Material Azul e Vermelho consegue-se mostrar, por exemplo,
que x2 + x3 ≠ x5, pois, ao utilizarmos as representações, teremos uma figura no plano e
outra no espaço, logo não podem ser agrupadas.
A abordagem proposta constitui-se num modo diferenciado daquele pelo qual,
nós pibidianos, aprendemos os conceitos algébricos. Assim, trazemos a sequência
didática desenvolvida para discussão.
2 O estudo da álgebra na escola
O estudo da álgebra pode ser considerado difícil, uma vez que os alunos passam
de uma forma numérica para expressar ideias matemáticas para a forma literal,
generalizada. Esta passagem, muitas vezes, sem significado, faz com que o estudo da
álgebra seja visto como o estudo “com letras”.
Na tentativa de construir significados, materiais didáticos pedagógicos são
desenvolvidos. No entanto, nem sempre atingem tal objetivo, pois conforme salienta
Carraher (1998) para ensinar Matemática, por meio do uso de materiais concretos, não é
simplesmente ter em mãos estes materiais. É necessário estruturarmos as relações entre
os objetos e o conteúdo de tal forma que isso reflita um modelo matemático. Não
precisamos de objetos propriamente ditos em sala de aula, entretanto, necessitamos de
situações que impliquem a utilização de princípios lógicos matemáticos.
Fortalecendo essa ideia, Fiorentini e Miorin (1990, p. 6) afirmam que:
Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um
“aprender” mecânico, repetitivo, de fazer sem saber o que faz e
porque faz. Muito menos um “aprender” que se esvazia em
brincadeiras. Mas um aprender significativo, do qual o aluno
participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber
historicamente produzido e superando, assim, sua visão
ingênua, fragmentada e parcial da realidade.
Assim, para mostrar que a álgebra é uma forma de generalizar ideias
matemáticas, iniciamos pelo estudo da área de uma planta baixa de uma casa. A partir
do cálculo numérico da área de dois cômodos fizemos relação com a representação
algébrica, conforme figura 1. Intencionamos que o aluno perceba que ab = ba, o que é
importante no reconhecimento dos termos semelhantes ao reduzir uma expressão
algébrica.
Para explorar o conceito de volume utilizamos as unidades do Material Dourado.
Com isso, os alunos primeiramente determinavam a expressão numérica correspondente
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ao volume, verificando que as figuras 8².2 e 8.2², por exemplo, são diferentes tanto em
sua montagem, quanto na quantidade de cubinhos utilizada em cada bloco retangular.
Durante toda a atividade os conceitos algébricos são relacionados com os
numéricos e isso auxilia no significado da álgebra. Quando duas medidas eram iguais,
os alunos percebiam que a face formada era um quadrado e o volume correspondente ao
bloco retangular era V= x²y (com x ≠ y), ou seja, a face quadrada tinha lados com
medida “x”. Se a expressão fosse V= xy², a face quadrada não era mais aquela com
lados “x”, mas sim, com lados “y”. Desse modo, percebe-se facilmente que x²y ≠ xy².
Quando as três medidas eram iguais, a expressão era V= x³, ou seja, a figura formada
era um cubo de aresta “x”.
Material Azul e Vermelho
O Material Azul e Vermelho tem o objetivo de atribuir significado ao conteúdo
algébrico, além de auxiliar em algumas das dificuldades mais comuns da álgebra do 8º
ano. Ele é constituído por três figuras: quadrados com 8 cm e 2 cm de lado e retângulos
com 8 cm x 2 cm, com peças de cor azul e vermelha. Para utilizá-lo, definimos uma
legenda, na qual os lados que medem 8 cm correspondem à incógnita “x” e os de 2 cm,
“y” e, como necessitamos a diferenciação de valores positivos e negativos, combinamos
que as peças azuis seriam as positivas e as vermelhas negativas (mesmo sabendo que
não existem áreas, nem volumes negativos), conforme figura 2.
Este material nos permite trabalhar com a adição e subtração de polinômios
representando as dimensões de figuras planas e espaciais. Uma das grandes dificuldades
no aprendizado de expressões algébricas consiste em decidir quais termos podem ou não
ser agrupados. Nesse sentido, a utilização do material facilita a visualização das
diferenças entre as peças, como podemos verificar na figura 2.
Um exemplo de redução de termos semelhantes é a figura 3, pois por meio do
material é possível representar a expressão 2x2y + y2 - xy + 2x2 + x3 – -x2y + xy – x2 –
3y2. Podemos resolvê-la efetuando o cancelamento das figuras de mesma forma, porém
com cores diferentes. Logo, as figuras de mesma cor e formato serão agrupadas.
Para efetuar a subtração de polinômios (figura 4), ao observar o sinal negativo,
representando a operação, junto ao segundo parêntese, o aluno deve atentar-se à
necessidade de substituir as peças do segundo polinômio, pela cor oposta (porém de
mesma forma geométrica). Esse movimento de trocar o polinômio pelo seu oposto, pela
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substituição de peças, pode impedir o aluno de cometer o equívoco de alterar o sinal
apenas do primeiro termo do polinômio a ser subtraído, erro comumente apontado nos
registros realizados em seu caderno.
O material possibilita fazer montagens de retângulos, cubos e paralelepípedos
para explorar multiplicação de expressões algébricas. Alguns casos de fatoração são
representados neste estudo, bem como situações envolvendo produtos notáveis.
Em relação à multiplicação de monômio por monômio identifica-se esta
operação na construção de figuras, por exemplo, (figura 5), cuja área é determinada pela
expressão 2y.2y, em que os alunos representaram-na por meio de 4 peças y². Também
foi estudada a multiplicação de monômio por polinômio e a de polinômio por
polinômio, por meio da representação espacial. Num dos exemplos utilizados (figura 6),
solicitamos que os alunos montassem uma figura com comprimento 2x, largura x e
altura 2x + y.
Após a montagem da figura, com as peças do material, foi calculado o volume
do bloco retangular multiplicando as expressões correspondentes as dimensões . Ao
encontrar o resultado, reconheceram que este correspondia à quantidade de cada peça
utilizada. Desse modo, o aluno verificava a existência de algum erro ao resolver a
multiplicação dos polinômios, pois a figura permite a visualização do resultado a
encontrar.
O material pode ser utilizado, também, para significar situações envolvendo
produtos notáveis. Por exemplo, se o aluno reconhece no material a expressão (x + y)²,
ele efetuará o quadrado da soma de dois termos (figura 7), um dos casos de produtos
notáveis. Além desta situação, os outros casos de produtos notáveis também podem ser
provados através do material.
Ao abordarmos a fatoração, realizamos a operação inversa dos produtos
notáveis, visto que se faz necessário escrever o polinômio na forma de um produto de
dois ou mais fatores. Nesta situação, os alunos reconhecem que ao estudar a diferença
de dois quadrados, por exemplo, é preciso representar um retângulo, cuja área seja
equivalente a x² - y². Ou seja, após efetuar cancelamentos, deve sobrar apenas a peça do
material x² azul e y² vermelha, quaisquer outras peças utilizadas precisam se anular. O
retângulo formado corresponde à figura 8.
3 Conclusão
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Acompanhando as aulas de nossa supervisora, percebemos que, por meio desta
estratégia de ensino, os alunos demonstraram motivação e interesse em participar da
aula e resolver os problemas propostos. Além disso, o uso do material nos permitiu
intervir no processo de negociação de significados.
A utilização da geometria no estudo da álgebra nos remete aos mais diversos
aprendizados. No princípio, tínhamos alunos desinteressados que não sabiam traçar
linhas precisas, nem desenhar qualquer figura geométrica. Hoje, com a utilização da
geometria envolvendo praticamente todas as aulas, percebemos a evolução dos alunos,
que valorizam e respeitam o trabalho que vem sendo desenvolvido. O estudo da álgebra,
por meio da geometria, traz significados ao conteúdo permitindo a construção do
conhecimento, diferentemente de aulas de Matemática em que os conceitos são
apresentados como regras e as aulas baseiam-se em resolver repetidamente listas de
exercícios. A geometria incentivou nossos alunos que aprendessem, por meio de
material concreto, a representação de desenhos e figuras, diminuindo o abstratismo.
A docência colaborativa tem nos proporcionado novas visões e ideias de ensino,
principalmente a valorizar o que a escola básica pode ensinar à universidade. As trocas
de saberes práticos e teóricos estão auxiliando na construção de docentes mais
empenhados e preparados para proporcionar uma educação de qualidade para nossos
futuros alunos.
4 Referências:
CARRAHER, Terezinha e outros. Na vida dez, na escola zero. São Paulo:
Cortez, 1988.
FIORENTINI, D.; MIORIM, M,A. Uma reflexão sobre o uso de materiais
concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da SBEM. SBM: São Paulo, ano
4, n. 7, 1990.
5 Anexos:
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Figura 1: Planta baixa da casa
Fonte: Produzido pelos autores.
Figura 2: Material Azul e Vermelho
Fonte: Produzido pelos autores
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Figura 3: Redução de termos semelhantes
Fonte: Produzido pelos autores
Figura 4: Subtração de polinômios
Fonte: Produzido pelos autores.
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Figura 5: Multiplicação de monômios
Fonte: Produzido pelos autores.
Figura 6: Multiplicação de polinômios
Fonte: Produzido pelos autores.
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Figura 7: Quadrado da soma de dois termos.
Fonte: Produzido pelos alunos.
Figura 8: Fatoração da diferença de dois quadrados.
Fonte: Produzido pelos autores.