Semelhança de Triângulos
Problemas envolvendo o teorema da
Semelhança de Triângulos
1)
Um engenheiro precisa determinar a altura de
um prédio que vai ser demolido. Esse
engenheiro, que teve aulas de informática
com o Nishimura, pensou rapidamente em
utilizar a semelhança de Triângulos e fincou a
2 metros do edifício uma estaca que media
1,5m. Sabendo que o prédio projeta uma
sombra de 40 metros na direção de uma
estaca fixada pelo homem responda:
Representação
SEM ESCALA da
situação.
• Como foi o raciocínio deste homem para
determinar a altura do prédio?
Solução
• Segundo o teorema de Tales:
H/h = D/d
Em que H- altura do prédio
h- altura da barra
D- sombra do prédio
d- distância da barra
• Logo:
x/1,5 = 40/2
2x = 60
x = 30
Portanto, com o raciocínio do teorema de Tales de
Mileto, que utiliza a semelhança de triângulos, é
possível determinar facilmente a altura do
edifício.
2)
Uma determinada construtora precisa
determinar a área do terreno 1 em que irá
construir uma casa. Segundo cálculos dos
especialistas, para cada metro quadrado a ser
construído gastam-se R$ 975,00 em material.
O desenho a seguir mostra a localização do
terreno no bairro escolhido para realização da
obra.
Representação
SEM ESCALA
da situação
• Sabendo que a área do terreno 2, que é
quadrado, vale 900 m² como é possível
calcular o gasto total para se construir a casa?
Solução
• Primeiramente, como a área de um quadrado
é dada por lado elevado ao quadrado, fica fácil
descobrir o lado desse terreno:
A= L²
900= L²
=L
L= 30 m
• Agora, já conhecemos um dos lados da
medida do terreno 1. Mais precisamente,
conhecemos a medida da base do triângulo do
terreno.
Para determinar a altura, basta usar o
teorema de Tales:
H/h = D/d
Em que H- distancia da rua D- distância da rua
h- altura do terreno d- base do terreno
• Aplicando a fórmula temos:
40/h= 60/30
60x= 1200
x= 1200/60
x= 20
Como agora temos a altura do terreno, basta
lembrar que a área de um triângulo é (base x
altura)/2:
(30 x 20)/2= 300
• Para determinar o gasto total com essa obra
basta multiplicar o gasto por metro quadrado
pela área total:
975,00 x 300 = R$ 292.500,00
Portanto, para se construir a casa serão gastos
um total de 292.500 reais.
3)
• Estamos todos em uma fazenda, e precisamos
determinar a largura de um rio para construir
uma ponte. Como poderemos realizar essa
medida sem ter que atravessar esse rio?
- Simples, basta utilizar a Semelhança de triângulosdisse um dos fazendeiros, que também era
matemático nas horas vagas.
Solução
• Ele fixou uma estaca (A) a 1,6 metros de uma
das margens do rio em linha reta com um
ponto de referência do outro lado, no caso
uma pedra. Em seguida, para formar um
ângulo reto, ele estica um barbante preso na
estaca até um ponto onde fixa outra estaca
(B) como na figura a seguir:
• A seguir, ele conta quatro metros e fixa um
outra estaca (C) na mesma direção de B.
• Brilhantemente, o fazendeiro caminha,
formando ângulo reto com a estaca C, até um
ponto (D) em que a estaca B esconda
completamente a pedra, ou seja, esteja em
linha reta com a pedra como na figura:
• Agora todas as medições podem ser
realizadas na parte de baixo do rio. Observe o
próximo desenho, já com as medidas
encontradas:
• Agora fica fácil determinar a medida da
largura do rio utilizando a semelhança de
triângulos:
X/12,8 = 15/4
4x= 192
x= 192/4
x= 48 m
• Pronto? Quase, agora sabemos que a distância
total é 48, basta subtrair a distância da estaca
A até a margem:
48-1,6= 46,4 m
Logo, a largura desse rio mede 46,4 m
Nomes
Catherine de Santana Silva nº 7
Lucas Barbosa nº 26
Rafaela Diane dos Santos nº 35
Renan Carneiro da Rocha nº 36
Talita Aparecida Nogueira nº 38
TURMA: Báltica