GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Secções por Planos Projectantes
Cilindros
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES – Cilindros
Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cilindro, é
necessário identificar o tipo de secção, para cilindros contidos em planos
horizontais ou frontais.
Se o plano secante é paralelo aos planos das bases, a figura de secção é uma
circunferência.
Para situações em que o plano secante não é paralelo aos planos das bases:
Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante é
tangente à superfície ao longo de uma geratriz, a figura de secção é uma recta;
Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante
secciona a superfície ao longo de duas geratrizes, a figura de secção é um
paralelograma;
Se o plano secante não é paralelo ao eixo da superfície do cilindro, a figura de
secção é uma elipse.
Secção Plana de um Cilindro com Bases Horizontais por um Plano
Secante Paralelo aos Planos das Bases
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano horizontal ν2
num cilindro de revolução, com as bases contidas em planos horizontais ν e ν1.
A’2
(fν1)
(fν2)
C2
(fν)
A2
O’2
B’2
Q2
D2
O2
B2
O1 ≡ O’1 ≡ Q1
B1 ≡ B’1 ≡ D1
x
A1 ≡ A’1 ≡ C1
Secção Plana de um Cilindro com Bases Horizontais por um Plano Secante
Não Paralelo aos Planos das Bases, Paralelo ao Eixo da Superfície e
Tangente à Superfície ao Longo de uma Geratriz
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro de
revolução, com as bases contidas em planos horizontais ν e ν1.
g2
fα
(fν1)
A’2
(fν)
A2
O’2
B’2
O2
B2
O1 ≡ O’1
B1 ≡ B’1
x
A1 ≡ A’1
(g1)
hα
Secção Plana de um Cilindro com Bases Horizontais por um Plano Secante
Não Paralelo aos Planos das Bases, Paralelo ao Eixo da Superfície e
Secciona a Superfície ao Longo de Duas Geratrizes
Um sólido resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro de revolução,
com as bases contidas em planos horizontais ν e ν1.
fα
g2
g’2
(fν1)
A’2
C’2
O’2 D’2
B’2
(fν)
A2
C2
O2 D2
B2
x
(g1) ≡ C1≡ C’1
A1 ≡ A’1
O1 ≡ O’1
(g’1) ≡ D1 ≡ D’1
hα
B1 ≡ B’1
Secção Plana de um Cilindro com Bases Frontais por um Plano Secante Não
Paralelo aos Planos das Bases e Não Paralelo ao Eixo da Superfície
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro
oblíquo, com as bases contidas em planos frontais φ e φ1.
fα
Embora também se
possa utilizar o método
dos planos paralelos à
base para obter a
elipse, o método das
geratrizes é o mais
indicado, implicando a
obtenção de pontos de
intersecção de várias
geratizes do sólido com
o plano secante.
g’2
F2
O2
A2
g2
H2
E2
G2
D2
L2
J2
O’2
M2
C2
K2
B2
I2
x
O1
(hφ)
A1
E1 ≡ F1
G1 ≡ H1
M1 ≡ C1 ≡ D1
K1 ≡ L1
I1≡ J1
B1
hα
(hφ1)
g1 ≡ g’1
O’1
É dado um cilindro oblíquo, situado no 1.º diedro, com uma base contida no Plano Frontal de
Projecção. O centro dessa base é o ponto O (0; 0; 4), com 3 cm de raio. O eixo do cilindro está
contido numa recta horizontal que faz um ângulo de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de
Projecção. O sólido tem 7 cm de altura. Um plano vertical α corta o eixo x num ponto com –1,5
de abcissa e faz um ângulo de 60º (a.d.) o Plano Frontal de Projecção. Determina a figura de
secção produzida no cilindro pelo plano α.
y≡ z
fα
A’2
A2
h2
O’2
O2
B2
x
O1
(hφ)
B’2
A1≡ B1
O’1
h1
A’1 ≡ B’1
hα
É dado um cilindro de revolução, situado no 1.º diedro, com 7 cm de altura, e com uma base
contida no Plano Frontal de Projecção. As bases do cilindro têm 3 cm de raio e o eixo do sólido
está contido numa recta de topo com 5 cm de cota. Um plano vertical ψ contém o ponto médio
do eixo do sólido e faz um ângulo de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as
projecções e a V.G. da figura de secção produzida no cilindro pelo plano ψ.
Cr
fψ ≡ e’2
(g2) ≡ C2
(g’’2) ≡ E2
Er
V.G.
Br
Ar A2
(e2) ≡ O2 ≡ O’2 ≡ M2
B2
(g’’’2) ≡ F2
Fr
(g’2)≡ D2
Dr
(e’1)
x
A1
O1
M1 ≡ C1 ≡ D1
E1 ≡ F1
B1
(hφ)
O’1
e1≡ g1≡ g’1
g’’1 ≡ g’’’1
hψ