Capítulo 4 As distribuições de probabilidade mais
importantes em controle estatístico de qualidade
(CEQ): atributos
Sumário
4.1 Introdução
4.2 Distribuição binomial
4.3 Exemplo da distribuição binomial em aceitação por
amostragem
4.4 Desvio padrão aproximado da distribuição binomial
4.5 Distribuição Poisson
4.6 Questões para discussão e exercícios
4.7 Referências
1
4.1 Introdução
•
Embora as variáveis mensuráveis sejam extremamente
importantes na área de CEQ, existe outro tipo de variável
também importante e tem que ser considerada com atenção
especial porque com elas as equações de variabilidade são
diferentes.
•
Variáveis discretas assumem valores inteiros. Se aplicar
erradamente fórmulas da distribuição normal às variáveis
discretas, qualquer análise subseqüente estará sob suspeita.
•
Se responder que tem 25 e meio elementos numa amostra,
então tem algo errado, pois meia peça observada não existe.
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4.2 Distribuição binomial (população infinita)
•Para calcular a probabilidade de ocorrer certo número de defeituosas numa
amostra, (população infinita) temos que ter
•o tamanho da amostra (n),
•a probabilidade (p) de uma peça ser defeituosa (talvez do histórico da
empresa), e
•o resultado (d) de número de defeituosas que apareceram na amostra.
n!
n d
P (d ) 
p d 1  p
d!(n  d)!
•n! significa uma operação fatorial, por exemplo, 3! = 3*2*1 = 6.
•Numa amostra de cem peças, qual é a probabilidade de ter 4 peças
não conformes na amostra se historicamente a taxa de rejeição da
fábrica é apenas 1%. Este tipo de questão é a base de inspeção
(aceitação) por amostragem e hoje em dia aparece em contratos legais
entre clientes e fornecedores. Vamos clarificar isso com um exemplo.
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4.3 Exemplo da distribuição binomial em
aceitação por amostragem
•
•
•
•
•
Uma unidade fabril de pregadores de roupa produziu um lote de
tamanho 40.000.
O tamanho do lote é muito grande e pode ser considerado
infinito, pré-requisito para utilizar a distribuição binomial.
Aleatoriamente são escolhidos 100 pregadores para formar uma
amostra representativa da população.
A taxa de pregador defeituoso da fábrica é historicamente 0,8%
(um pouco abaixo de 1%, 8/1000).
No entanto, 8 dos pregadores da amostra de tamanho 100 não
funcionam e então são considerados defeituosos.
100!
P(8) 
0,0088 (1 0,008)100  8
8!(100 8)!
P(8) = 186.087.894.300*(0,008)8 (0,992)100-8 =
= 0,0000015 = 15/10.000.000 = 1,5 PPM
4
P(d)
Figura 4.1 – As probabilidades P(d) para
valores de d do exemplo dos pregadores
(n=100; p=0,008)
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
d
•contratos entre fornecedores e compradores o seguinte plano de
amostragem, PL(40.000; 100; 2; 3), quando o lote tem tamanho 40.000,
e o tamanho da amostra fica em 100.
•Se até 2 pregadores defeituosos são encontrados na amostra ainda o
lote é aceito, mas com 3 ou mais defeituosos é rejeitado. As normas
para amostragem do ABNT, NBR 5426, no capítulo 6
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4.4 Desvio padrão aproximado
da distribuição binomial
desvio padrão np1  p
np1  p  100* 0,008(0,992)  0,9
.
Zi 
d  np
8  0,8

desvio padrão
0,9
Desvio padrão como
percentagem

= 8,0 desvios padrão
p1  p 
n
6
4.5 Distribuição Poisson
(e d ) * (d d )
P( d ) 

d!
dd
dd
2,718d

d!
2,718d * d!
desvio padrão d
(e 0,8 ) * (0,88 )
P(8) 
 0,0000019 1,9 PPM
8!
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4.6 Questões para discussão e
exercícios
1. Uma unidade fabril de compressores para equipamento médico produziu um
lote de tamanho 1000. Aleatoriamente são escolhidos 25 compressores para
formar uma amostra e testar se a taxa defeituosa do lote é no máximo 4% em
conformidade com o contrato acordado. Dois dos compressores da amostra não
são aceitáveis. Este fato é suficiente para rejeitar o lote como defeituoso
demais? O fato é que dois compressores defeituosos na amostra ainda dando
uma percentagem de defeituosas igual a 8% não são evidencia suficientemente
contundente para rejeitar o lote. Pôr que?
Resposta:
A função de probabilidade binomial para calcular as
probabilidades associadas a esta questão dá um resultado de 19%.
P(2) = [25!/2!*23!]*0,042*0,9623 = 0,19
Isso significa que em aproximadamente 20% das amostras de tamanho 25
haverá dois compressores ruins respeitando a percentagem histórica de
defeituosas em 4%. Nessas circunstâncias que parecem nada fora do comum,
amostras com dois defeituosas são esperadas, e jogar fora um lote de 1000
com fracas evidências como isso aumenta o risco de rejeitar um lote bom e
assim ser errado. O fato é que o Estatístico condena lotes quando as
probabilidades são bem menos, ate mesmo 1% ou menos. Se fosse utilizada a
distribuição Poisson a resposta é praticamente igual, 18%.
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4.7 Referências
NBR 5426 - Planos de amostragem e procedimentos na inspeção
por atributos. Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT
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