Capítulo 4 As distribuições de probabilidade mais
importantes em controle estatístico de qualidade
(CEQ): atributos
Sumário
4.1 Introdução
4.2 Distribuição binomial
4.3 Exemplo da distribuição binomial em aceitação
por amostragem
4.4 Desvio padrão aproximado da distribuição binomial
4.5 Distribuição Poisson
4.6 Questões para discussão e exercícios
4.7 Referências
1
4.1 Introdução
• Embora as variáveis mensuráveis sejam
extremamente importantes na área de CEQ, existe
outro tipo de variável também importante e tem que
ser considerada com atenção especial porque com
elas as equações de variabilidade são diferentes.
• Variáveis discretas assumem valores inteiros. Se
aplicar erradamente fórmulas da distribuição
normal às variáveis discretas, qualquer análise
subsequente estará sob suspeita.
• Se responder que tem 25 e meio elementos numa
amostra, então tem algo errado, pois meia peça
observada não existe.
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4.2 Distribuição binomial (população infinita)
Para calcular a probabilidade de ocorrer certo número de defeituosas
(sucessos?) numa amostra (população infinita) temos que ter
o tamanho da amostra (n),
a probabilidade (p) de uma peça ser defeituosa (talvez do histórico da empresa
ou de uma garantia), e
o resultado (d) de número de defeituosas que apareceram na amostra.
n!
n d
P (d ) 
p d 1  p
d!(n  d)!
n! significa uma operação fatorial, por exemplo, 3! = 3*2*1 = 6.
Numa amostra de 100 = n peças, qual é a probabilidade de ter 4 = d
peças não conformes na amostra se historicamente a taxa de rejeição
da fábrica é apenas 1%. Este tipo de questão é a base de inspeção
(aceitação) por amostragem e hoje em dia aparece em contratos legais
entre clientes e fornecedores. Vamos clarificar isso com um exemplo.
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4.3 Exemplo da distribuição binomial em
aceitação por amostragem
•
•
•
•
•
Uma unidade fabril de pregadores de roupa produziu um lote de tamanho
40.000.
O tamanho do lote é muito grande e pode ser considerado infinito, prérequisito para utilizar a distribuição binomial.
Aleatoriamente são escolhidos 100 pregadores para formar uma amostra
representativa da população.
A taxa de pregador defeituoso da fábrica é historicamente 0,8% (um pouco
abaixo de 1%, 8/1000 = p).
No entanto, 8 = d dos pregadores da amostra de tamanho 100 não funcionam e
então são considerados defeituosos.
P(8) 
100!
0,0088 (1 0,008)100  8
8!(100 8)!
P(8) = 186.087.894.300*(0,008)8 (0,992)100-8 =
= 0,0000015 = 15/10.000.000 = 1,5 PPM
rejeição do lote
4
P(d)
Figura 4.1 – As probabilidades P(d) para
valores de d do exemplo dos pregadores
(n=100; p=0,008)
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
d
Em contratos entre fornecedores e compradores o seguinte plano de
amostragem, PL(40.000; 100; 2; 3), quando o lote tem tamanho
40.000, e o tamanho da amostra fica em 100.
Se até 2 pregadores defeituosos são encontrados na amostra ainda o
lote é aceito, mas com 3 ou mais defeituosos é rejeitado.
As normas para amostragem do ABNT, NBR 5426
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4.4 Desvio padrão aproximado
da distribuição binomial
desvio padrão np1  p
np1  p  100* 0,008(0,992)  0,9
.
Zi 
d  np
8  0,8

desvio padrão
0,9
Desvio padrão como
percentagem d/n

= 8,0 desvios padrão
p1  p 
n
6
4.5 Distribuição Poisson
(e d ) * (d d )
P( d ) 

d!
dd
dd
2,718d

d!
2,718d * d!
desvio padrão d
(e 0,8 ) * (0,88 )
P(8) 
 0,0000019 1,9 PPM
8!
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4.6 Questões para discussão e
exercícios
1. Uma unidade fabril de compressores para equipamento médico produziu um
lote de tamanho 1000. Aleatoriamente são escolhidos 25 compressores para
formar uma amostra e testar se a taxa defeituosa do lote é no máximo 4% em
conformidade com o contrato acordado. Dois dos compressores da amostra não
são aceitáveis. Este fato é suficiente para rejeitar o lote como defeituoso
demais? O fato é que dois compressores defeituosos na amostra ainda dando
uma percentagem de defeituosas igual a 8% não são evidencia suficientemente
contundente para rejeitar o lote. Pôr que?
Resposta:
A função de probabilidade binomial para calcular as
probabilidades associadas a esta questão dá um resultado de 19%.
P(2) = [25!/2!*23!]*0,042*0,9623 = 0,19
Isso significa que em aproximadamente 20% das amostras de tamanho 25
haverá dois compressores ruins respeitando a percentagem histórica de
defeituosas em 4%. Nessas circunstâncias que parecem nada fora do comum,
amostras com dois defeituosas são esperadas, e jogar fora um lote de 1000
com fracas evidências como isso aumenta o risco de rejeitar um lote bom e
assim ser errado. O fato é que o Estatístico condena lotes quando as
probabilidades são bem menos, ate mesmo 1% ou menos. Se fosse utilizada a
distribuição Poisson a resposta é praticamente igual, 18%.
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4.7 Referências
NBR 5426 - Planos de amostragem e procedimentos na inspeção
por atributos. Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT
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